习题三 1.掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p(0a则r个球中至少有P-a个黑球，此时k应从r-a开始。 3.一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i个零件是不合格品 的概率B=, (i=1,2,3),以X表示三个零件中合格品的个数，求X的分布 i+1 列。 解设A=‘第i个零件是合格品’i=1,2,3。则 PK=0=a4)-a P(X=1)=P(444+444+444) =P(A 44)+P(A44)+P(444) ·19·
·19· 习 题 三 1．掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为 p (0 1) p ，若以 X 表示直 至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求 X 的分布列。 解 ( ) X k = 表示事件：前 k −1 次出现正面，第 k 次出现反面，或前 k −1 次 出现反面，第 k 次出现正面，所以 1 1 ( ) (1 ) (1 ) , 2,3, . k k P X k p p p p k − − = = − + − = 2．袋中有 b 个黑球 a 个白球，从袋中任意取出 r 个球，求 r 个球中黑球个 数 X 的分布列。 解 从 a b + 个球中任取 r 个球共有 r Ca b+ 种取法， r 个球中有 k 个黑球的取 法有 k r k C Cb a − ，所以 X 的分布列为 ( ) k r k b a r a b C C P X k C − + = = ， k r a r a b r = − − + max(0, ), max(0, ) 1, ,min( , ) ， 此乃因为，如果 r a ，则 r 个球中可以全是白球，没有黑球，即 k = 0 ； 如果 r a 则 r 个球中至少有 r a − 个黑球，此时 k 应从 r a − 开始。 3．一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第 i 个零件是不合格品 的概率 1 ( 1,2,3) 1 p i i i = = + ，以 X 表示三个零件中合格品的个数，求 X 的分布 列。 解 设 Ai = ‘第 i 个零件是合格品’ i =1,2,3 。则 1 2 3 1 1 1 1 ( 0) ( ) 2 3 4 24 P X P A A A = = = = ， 1 2 3 1 2 3 1 2 3 P X P A A A A A A A A A ( 1) ( ) = = + + 1 2 3 1 2 3 1 2 3 = + + P A A A P A A A P A A A ( ) ( ) ( )
=1.1.1+1.2.1+11.3-6 23423423424 P(X=2)=P(A44+A44+A44) =P(A44)+P(444)+P(444) 12.1113123_11 23423423424 1236 PX=3)=P(444)=234-24 即X的分布列为 X012 3 16116 P 24242424 4.一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯 为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概 率均为。，以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的概率 分布。 解 P(X=0)=P(第一个路口即为红灯)=} P(X=)=P(第一个路口为绿灯，第二个路口为红灯)=1-} 224 依此类推，得X的分布列为 X0123 2488 5.将一枚硬币连掷n次，以X表示这n次中出现正面的次数，求X的分 布列。 解X为n重贝努里试验中成功出现的次数，故X~B(n,),X的分布 列为 ·20·
·20· 1 1 1 1 2 1 1 1 3 6 2 3 4 2 3 4 2 3 4 24 = + + = ， 1 2 3 1 2 3 1 2 3 P X P A A A A A A A A A ( 2) ( ) = = + + 1 2 3 1 2 3 1 2 3 = + + P A A A P A A A P A A A ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 1 3 1 2 3 11 2 3 4 2 3 4 2 3 4 24 = + + = ， 1 2 3 1 2 3 6 ( 3) ( ) 2 3 4 24 P X P A A A = = = = . 即 X 的分布列为 0 1 2 3 1 6 11 6 24 24 24 24 X P . 4．一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯 为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概 率均为 1 2 ，以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求 X 的概率 分布。 解 P X P ( 0) = = (第一个路口即为红灯) 1 2 = , P X P ( 1) = = (第一个路口为绿灯，第二个路口为红灯) 1 1 1 2 2 4 = = ， 依此类推，得 X 的分布列为 0 1 2 3 1 1 1 1 2 4 8 8 X P . 5．将一枚硬币连掷 n 次，以 X 表示这 n 次中出现正面的次数，求 X 的分 布列。 解 X 为 n 重贝努里试验中成功出现的次数，故 1 ~ ( , ) 2 X B n ，X 的分布 列为
x--c) k=0,1,…,n 6.一电话交换台每分钟接到的呼叫次数服从参数为4的泊松分布，求(1) 每分钟恰有8次呼叫的概率：(2)每分钟的呼叫次数大于10的概率。 解设X为每分钟接到的呼叫次数，则X~P(4) 8e 4 (1)P(X=8)= e44 -4=0.2977 (2)PX>10)=4 e4=0.00284. k 7.某商店每月销售某种商品的数量服从参数为5的泊松分布，问在月初至 少库存多少此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.99977以上。 解设X为该商品的销售量，N为库存量，由题意 0999775P=1-P(X>N)=1-PX-K)-1- 即 ￡若000: 查泊松分布表知N+1=15,故月初要库存14件以上，才能保证当月不脱销的 概率在0.99977以上。 8.己知离散型随机变量X的分布列为：P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3, P(X=3)=0.5,试写出X的分布函数。 解X的分布列为 123 P0.20.30.5 ·21·
·21· 1 ( ) 2 n k P X k Cn = = k n = 0, 1, , 6．一电话交换台每分钟接到的呼叫次数服从参数为 4 的泊松分布，求（1） 每分钟恰有 8 次呼叫的概率；（2）每分钟的呼叫次数大于 10 的概率。 解 设 X 为每分钟接到的呼叫次数，则 X P ~ (4) （1） 8 4 4 4 8 4 4 4 ( 8) 0.2977 8! ! ! k k k k q P X e e e k k − − − = = = = = − = （2） 4 11 4 ( 10) 0.00284. ! k k P X e k − = = = 7．某商店每月销售某种商品的数量服从参数为 5 的泊松分布，问在月初至 少库存多少此种商品，才能保证当月不脱销的概率为 0.99977 以上。 解 设 X 为该商品的销售量， N 为库存量，由题意 5 1 1 5 0.99977 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ! k K N K N P X N P X N P X K e k − = + = + = − = − = = − 即 5 1 5 0.00023 ! K K N e k − = + 查泊松分布表知 N + =1 15 ，故月初要库存 14 件以上，才能保证当月不脱销的 概率在 0.99977 以上。 8．已知离散型随机变量 X 的分布列为： P X P X ( 1) 0.2, ( 2) 0.3 = = = = ， P X( 3) 0.5 = = ，试写出 X 的分布函数。 解 X 的分布列为 1 2 3 0.2 0.3 0.5 X P
所以X的分布函数为 0,xa)=P(X<a)成立的a. 解 1)1=∫fxt=c。sinxd=-ccos.x=2c,c=) P(x <a) 11 可见 π cosa=0, ∴.a= 10.设随机变量X的分布函数为 F(x)=A+Barctanx,-o<x+0, 求：(1)系数A与B:(2)P(-1<X≤1)：(3)X的概率密度。 解(1)由分布函数的性质 0=F(-o)=A-B. 2 1=F(+∞)=A+B. 2 于是A三于，B=上，所以X的分布函数为 π F)=+1 。+-arctanx -00<X<十00， 2π ·22·
·22· 所以 X 的分布函数为 0 , 1, 0.2, 1 2, ( ) 0.5, 2 3, 1 , 3. x x F x x x = 9．设随机变量 X 的概率密度为 sin , 0 , ( ) 0 , c x x f x = 其他. 求：（1）常数 C ；（2）使 P X a P X a ( ) ( ) = 成立的 a . 解 （1） 0 0 1 ( ) sin cos 2 f x dx c xdx c x c + − = = = − = ， 1 2 c = ； （2） 1 1 1 1 ( ) sin cos cos 2 2 2 2 a a P X a xdx x a = = − = + ， 0 0 1 1 1 1 ( ) sin cos cos , 2 2 2 2 a a P X a xdx x a = = − = − 可见 cos 0 a = ， 2 a = 。 10．设随机变量 X 的分布函数为 F x A B x ( ) arctan = + ， − + x ， 求：（1）系数 A 与 B ；（2） P X ( 1 1) − ；（3） X 的概率密度。 解 （1）由分布函数的性质 0 ( ) 2 1 ( ) 2 F A B F A B = − = − = + = + 于是 1 2 A = ， 1 B = ，所以 X 的分布函数为 1 1 ( ) arctan 2 F x x = + − + x
@-10 12.设随机变量X的概率密度为 x,0≤x<1, f(x)=2-x,1≤x<2, 0，其他 求X的分布函数. 解f(x)的图形为 X的分布函数为 F(x)=∫fw)dhM ·23·
·23· （2） 1 1 1 1 1 ( 1 1) (1) ( 1) ( ) 2 4 2 4 2 P X F F − = − − = + − − = ； （3） X 的概率密度为 2 1 ( ) ( ) (1 ) f x F x x = = + ， − + x . 11．已知随机变量 X 的概率密度为 1 | | ( ) 2 x f x e− = ， − + x . 求 X 的分布函数. 解 0 0 1 , 0, 2 ( ) ( ) 1 1 , 0, 2 2 x u x x x u e du x F x f u du e dx e du x − − − − = = + 1 , 0, 2 1 1 , 0. 2 x x e x e x − = − 12．设随机变量 X 的概率密度为 , 0 1, ( ) 2 , 1 2, 0 , x x f x x x = − 其他. 求 X 的分布函数. 解 f x( ) 的图形为 X 的分布函数为 ( ) ( ) x F x f u du − =
0 x100, f(x)= 0，x≤100 若一架收音机上装有三个这种管子，求(1)使用的最初150小时内，至少有两 个电了管被烧坏的概率：(2)在使用的最初150小时内烧坏的电子管数Y的分布 列：(3)Y的分布函数。 解Y为在使用的最初150小时内烧坏的电子管数，Y~B(3,p),其中 p=xs150=1g- 所求装率为PW≥2)=PY-2+PT=-=C得号得 7 27 ey的分有到为Pv-=C(6矿（0)”，=0123 ·24·
·24· 0 1 0 1 0 , 0, , 0 1, (2 ) , 1 2, 1 , 2. x x x udu x xdx u du x x = + − 2 2 0 , 0, , 0 1, 2 2 1, 1 2, 2 1 , 2. x x x x x x x = − + − 13．设电子管寿命 X 的概率密度为 2 100 , 100, ( ) 0 , 100. x f x x x = 若一架收音机上装有三个这种管子，求（1）使用的最初 150 小时内，至少有两 个电了管被烧坏的概率；（2）在使用的最初 150 小时内烧坏的电子管数 Y 的分布 列；（3） Y 的分布函数。 解 Y 为在使用的最初 150 小时内烧坏的电子管数， Y B p ~ (3, ) ，其中 150 2 100 100 1 ( 150) 3 p P X dx x = = = ， （1）所求概率为 2 3 2 3 1 2 1 ( 2) ( 2) ( 3) 3 3 3 P Y P Y P Y C = = + = = + 7 27 = ； （2） Y 的分布列为 3 3 1 2 ( ) 3 3 k k k P Y k C − = = ， k = 0,1, 2,3, 0 1 2 x (1，1) f(x)
即 01 23 812 61 P 27272727 (3)Y的分布函数为 0，x<0, 8 0≤x<1 27 20 F(x)= 1≤x<2, 26 27 2≤x<3, 1,x≥3 14.设随机变量X的概率密度为 2x,0<x<1 f(x)= 0,其他 现对X进行n次独立重复观测，以V,表示观测值不大于0.1的观测次数，试求 随机变量V的概率分布。 解V,~B(n,p),其中 p=PX≤0.=j"2d=0o1, 所以'，的概率分布列为 PWn=k)=C(0.01)(0.99)-,k=0,1,…,n. 15.设随机变量X~UU1,6],求方程x2+Xx+1=0有实根的概率 解设A=‘方程有实根'，则 A发生台X2-4≥0即|X≥2，因X~U1,6],所以 ·25·
·25· 即 0 1 2 3 8 12 6 1 27 27 27 27 Y P . （3） Y 的分布函数为 0 , 0, 8 , 0 1 27 20 ( ) , 1 2, 27 26 , 2 3, 27 1 , 3. x x F x x x x = 14．设随机变量 X 的概率密度为 2 , 0 1, ( ) 0 , . x x f x = 其他 现对 X 进行 n 次独立重复观测，以 Vn 表示观测值不大于 0.1 的观测次数，试求 随机变量 Vn 的概率分布。 解 ~ ( , ) V B n p n ，其中 0.1 0 p P X xdx = = = ( 0.1) 2 0.01 ， 所以 Vn 的概率分布列为 ( ) (0.01) (0.99) , 0,1, , k k n k P V k C k n n n − = = = . 15．设随机变量 X U~ [1, 6] ，求方程 2 x Xx + + =1 0 有实根的概率. 解 设 A = ‘方程有实根’，则 A 发生 2 − X 4 0 即 | | 2 X ，因 X U~ [1,6] ，所以
A发生台X>2, 所以 P(A0=P(X>2)= 6-2_4=0.8. 6-15 16.设随机变量X~U[2,5],现对X进行3次独立观测，试求至少有两次 观测值大于3的概率 解设Y为三次观测中，观测值大于3的观测次数，则Y~B(3,p)，其中 p=P(X>3)= 5-32 5-231 所求概率为 Pw≥2=w=2+w=)=c30r)-9 17,设顾客在某银行窗口等待服务的时间X(单位：分)，服从参数为的 指数分布。若等待时间超过10分钟，则他就离开。设他一个月内要来银行5次， 以Y表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求Y的分布列及 P(Y≥1)。 解由题意Y~B(5,p),其中 p=Px>10)=∫1e3 =e2 10 于是Y的分布为 PY-k)=C(e2)1-e2)5-kk=0,1,2,3,4,5, P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-(1-e2)5≈0.5167. 18.一大型设备在任何长为1的时间内发生故障的次数N(t)服从参数为t ·26·
·26· A 发生 X 2, 所以 6 2 4 ( ) ( 2) 0.8 6 1 5 P A P X − = = = = − . 16．设随机变量 X U~ [2,5] ，现对 X 进行 3 次独立观测，试求至少有两次 观测值大于 3 的概率. 解 设 Y 为三次观测中，观测值大于 3 的观测次数，则 Y B p ~ (3, ) ，其中 5 3 2 ( 3) 5 2 3 p P X − = = = − ， 所求概率为 2 3 2 3 2 1 2 20 ( 2) ( 2) ( 3) 3 3 3 27 P Y P Y P Y C = = + = = + = . 17．设顾客在某银行窗口等待服务的时间 X （单位：分），服从参数为 1 5 的 指数分布。若等待时间超过 10 分钟，则他就离开。设他一个月内要来银行 5 次， 以 Y 表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求 Y 的分布列及 P Y( 1) 。 解 由题意 Y B p ~ (5, ) ，其中 5 5 2 10 10 1 ( 10) 5 x x p P X e dx e e + + − − − = = = − = ， 于是 Y 的分布为 2 2 5 5 ( ) ( ) (1 ) 0,1,2,3,4,5, k k k P Y k C e e k − − − = = − = 2 5 P Y P Y e ( 1) 1 ( 0) 1 (1 ) 0.5167 − = − = = − − . 18．一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N t( ) 服从参数为 t
的泊松分布。(1)求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布：(2)求在设备己 经无故障工作了8小时的情况下，再无故障运行8小时的概率。 解(1)设T的分布函数为F(t),则 F(t)=P(T≤t)=1-P(T>) 事件(T>)表示两次故障的间隔时间超过1，也就是说在时间1内没有发生 故障，故N(t)=0,于是 F0=1-PT>)=1-Pw0)=0)=1- -e=1-eu,t>0, 01 可见，T的分布函数为 0-010 1-e",t>0, 即T服从参数为入的指数分布。 (2)所求概率为 PT>161T>8)=PT>16,T>8}-PT>16-e P(T>8) P(>8) es=e-s 19.设随机变量X~N(108,32)。求 (1)P(101.1a)=0.01。 解4)P101.1<X<117.6)=17.6-108)-Φ101.1-108 3 3 =Φ(3·2)-Φ(-2·3)=Φ(3·2)+①(2·3)-1 =0.9993+0.9893-1=0.9886: (2)0.90=PX<a)=a-108 39),查表知 ·27·
·27· 的泊松分布。（1）求相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布；（2）求在设备已 经无故障工作了 8 小时的情况下，再无故障运行 8 小时的概率。 解 （1）设 T 的分布函数为 ( ) F t T ，则 ( ) ( ) 1 ( ) F t P T t P T t T = = − 事件 ( ) T t 表示两次故障的间隔时间超过 t ，也就是说在时间 t 内没有发生 故障，故 N t( ) 0 = ，于是 0 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ( ) 0) 1 1 , 0 0! t t T t F t P T t P N t e e t − − = − = − = = − = − ， 可见， T 的分布函数为 1 , 0, ( ) 0 , 0. t T e t F t t − − = 即 T 服从参数为 的指数分布。 （2）所求概率为 16 8 8 { 16, 8} ( 16) ( 16 | 8) ( 8) ( 8) P T T P T e P T T e P T P e − − − = = = = . 19．设随机变量 2 X N~ (108, 3 ) 。求 （1） P X (101.1 117.6) ；（2）常数 a ，使 P X a ( ) 0.90 = ； （3）常数 a ，使 P X a a (| | ) 0.01 − = 。 解 （1） 117.6 108 101.1 108 (101.1 117.6) ( ) ( ) 3 3 P X − − = − = − − = + − (3 2) ( 2 3) (3 2) (2 3) 1 = + − = 0.9993 0.9893 1 0.9886 ； （2） 108 0.90 ( ) ( ) 3 a P X a − = = ，查表知
a-108=1.28,所以a=111.84: 3 (3)0.01=P(X-a>a)=1-P0X-alsa)=1-P(096)=1-( 6.7)=1-2 24=097,24=2,2=1 24 所求概率为 P60<X<84=84-72)-60-72)=(凸)--13) =2(凸)-1=2x0.8413-1=0.6826. 22.假设测量的随机误差X~N(0,10),试求在100次重复测量中，至少 ·28·
·28· 108 1.28 3 a − = ，所以 a =111.84 ； （3） 0.01 (| | ) 1 (| | ) 1 (0 2 ) = − = − − = − P X a a P X a a P X a 2 108 1 ( ), 3 a − = − 所以 2 108 ( ) 0.99 3 a − = ， 查正态分布表知 2 108 2.33 3 a − = ， 故 a = 57.495。 20．设随机变量 2 X N~ (2, ) ，且 P X (2 4) 0.3 = ，求 P X( 0) 。 解 4 2 0.3 (2 4) ( ) (0) P X − = = − ， 所以 2 ( ) 0.8 = ， 0 2 2 2 P X( 0) ( ) ( ) 1 ( ) 0.2 − = = − = − = 。 21．某地抽样结果表明，考生的外语成绩 X （百分制）近似服从正态分布， 平均成绩（即参数 之值）为 72 分，96 分以上的占考生总数的 2.3%，试求考 生的外语成绩在 60 分至 84 分之间的概率。 解 96 72 24 0.023 ( 96) 1 ( ) 1 ( ) P X − = = − = − 24 24 12 ( ) 0.977, 2, 1. = = = 所求概率为 84 72 60 72 12 12 P X (60 84) ( ) ( ) ( ) ( ) − − = − = − − 12 2 ( ) 1 2 0.8413 1 0.6826. = − = − = 22．假设测量的随机误差 2 X N~ (0,10 ) ，试求在 100 次重复测量中，至少