习题六 1.某厂生产玻璃板，以每块玻璃上的泡疵点个数为数量指标，已知它服从 均值为元的泊松分布，从产品中抽一个容量为n的样本X,X2,…,Xn,求样本 的分布 解样本(X1,X2,…,X)的分量独立且均服从与总体相同的分布，故样本 的分布为 PX=4,名=kX.=)-Pg=)- e-ni k=0,1,…,i=1,2,…,n kIk2…kn 2.加工某种零件时，每一件需要的时间服从均值为1/入的指数分布，今以 加工时间为零件的数量指标，任取n件零件构成一个容量为n的样本，求样本分 布。 解零件的加工时间为总体X，则X~E(2),其概率密度为 e,x>0, f(x)= 0,x≤0 于是样本(X1,X2,…,Xn)的密度为 x>0 i=1,2,…,n 0 ，其它 3.一批产品中有成品L个，次品M个，总计N=L+M个。今从中取容 量为2的样本（非简单样本），求样本分布，并验证：当N→0，M/N→p时 样本分布为(6.1)式中n=2的情况。 ·82·
·82· 习 题 六 1．某厂生产玻璃板，以每块玻璃上的泡疵点个数为数量指标，已知它服从 均值为 的泊松分布，从产品中抽一个容量为 n 的样本 1 2 , , , X X Xn ，求样本 的分布. 解 样本 1 2 ( , , , ) X X Xn 的分量独立且均服从与总体相同的分布，故样本 的分布为 1 1 2 2 1 ( , , , ) ( ) n n n i i i P X k X k X k P X k = = = = = = 1 ! i n k i i e k − = = 1 1 2 ! ! ! n i i n k n e k k k = − = 0,1, i k = ，i n =1, 2, , , 2．加工某种零件时，每一件需要的时间服从均值为 1/ 的指数分布，今以 加工时间为零件的数量指标，任取 n 件零件构成一个容量为 n 的样本，求样本分 布。 解 零件的加工时间为总体 X ，则 X E ~ ( ) ，其概率密度为 , 0, ( ) 0 , 0. x e x f x x − = 于是样本 1 2 ( , , , ) X X Xn 的密度为 1 1 2 1 ( , , , ) , 0 0 , . n i i i n x x n i n i f x x x e e x = − − = = = 其它 i n =1, 2, , 3．一批产品中有成品 L 个，次品 M 个，总计 N L M = + 个。今从中取容 量为 2 的样本（非简单样本），求样本分布，并验证：当 N M N p → → , / 时 样本分布为（6.1）式中 n = 2 的情况
解总体X~0-)即PX=0)=片PX=)=兴 于是样本(X1,X2)的分布如下 Px=0X=0叭=长号x=0名==片 PX=L名=0=岩名Ag=X--M N N-1 N N-1 M 若N→∞时N→P,则六→l-p,所以 P(X1=0,X2=0)→(1-p)2=p*(1-p)2-0 P(X,=0,X2=1)→p1-p)=p1-p)2- P(X,=1,X2=0)-→p1-p)=po1-p)2- P(X,=1,X2=1)→p2=p(1-p)2-2 以上恰好是(6.1)式中n=2的情况. 4.设总体X的容量为100的样本观察值如下： 1520 1520 2525 30 15 30 25 1530 25 35 30 35 20 35 30 25 20 30 20 25 35 30 25 20 30 25 35 25 25 25 30 35 25 35 40 15 25 4 20 2 25 40 25 2 35 20 15 35 25 25 25 25 30 43 25 43 22 20 23 20 25 15 25 20 25 30 43 35 45 30 45 30 45 45 35 作总体X的直方图 ·83·
·83· 解 总体 X ~ (0 1) − ，即 ( 0) , ( 1) L M P X P X N N = = = = 于是样本 1 2 ( , ) X X 的分布如下 1 2 1 ( 0, 0) 1 L L P X X N N − = = = − ， 1 2 ( 0, 1) 1 L M P X X N N = = = − 1 2 ( 1, 0) 1 M L P X X N N = = = − ， 1 2 1 ( 1, 1) 1 M M P X X N N − = = = − 若 N → 时 M p N → ，则 1 L p N → − ，所以 2 0 0 2 0 1 2 P X X p p p ( 0, 0) (1 ) (1 ) + − = = → − = − 0 1 2 1 1 2 P X X p p p p ( 0, 1) (1 ) (1 ) + − = = → − = − 1 0 2 1 1 2 P X X p p p p ( 1, 0) (1 ) (1 ) + − = = → − = − 2 1 1 2 2 1 2 P X X p p p ( 1, 1) (1 ) + − = = → = − 以上恰好是（6.1）式中 n = 2 的情况. 4．设总体 X 的容量为 100 的样本观察值如下： 15 20 15 20 25 25 30 15 30 25 15 30 25 35 30 35 20 35 30 25 20 30 20 25 35 30 25 20 30 25 35 25 15 25 35 25 25 30 35 25 35 20 30 30 15 30 40 30 40 15 25 40 20 25 20 15 20 25 25 40 25 25 40 35 25 30 20 35 20 15 35 25 25 30 25 30 25 30 43 25 43 22 20 23 20 25 15 25 20 25 30 43 35 45 30 45 30 45 45 35 作总体 X 的直方图
解样本值的最小值为15，最大值为45取a=14.5,b=45.5,为保证每 个小区间内都包含若干个观察值，将区间[14.5,45.5]分成8个相等的区间。用 唱票法数出落在每个区间上的样本值的个数n,,列表如下： 分组区间 频数n 频率n/n 14.5-18.5 10 0.10 18.5-22.5 16 0.16 22.5-26.5 29 0.29 26.5-30.5 20 0.20 30.5-34.5 0.04 34.5-38.5 0 0.09 38.5-42.5 2 0.02 42.5-46.5 10 0.10 100 1.00 以组距4为底，以n/4n为高作矩形即得X的直方图 p(x)1 14.522.530.538.546.5 5.某射手独立重复地进行20次打靶试验，击中靶子的环数如下： 84·
·84· 解 样本值的最小值为 15，最大值为 45 取 a =14.5，b = 45.5 ，为保证每 个小区间内都包含若干个观察值，将区间 [14.5, 45.5] 分成 8 个相等的区间。用 唱票法数出落在每个区间上的样本值的个数 i n ，列表如下： 分组区间 频数 i n 频率 / n n i 14.5—18.5 18.5—22.5 22.5—26.5 26.5—30.5 30.5—34.5 34.5—38.5 38.5—42.5 42.5—46.5 10 16 29 20 4 9 2 10 0.10 0.16 0.29 0.20 0.04 0.09 0.02 0.10 100 1.00 以组距 4 为底，以 n n i /4 为高作矩形即得 X 的直方图 5．某射手独立重复地进行 20 次打靶试验，击中靶子的环数如下： ( ) n x 0 14.5 22.5 30.5 38.5 46.5
环数 10 9 频数 2 3 0 9 用X表示此射手对靶射击一次所命中的环数，求X的经验分布函数，并画出其 图像。 解设X的经验分布函数为F(x)则 0,x<4 2 4≤x<5, 20 2 1 5≤x<6, 20 0.75 6 6≤x<7, F(x)= 20 0.51 15 0.3 7≤x<8, 1 1 0.1 201 8≤x<9, 045678910 18 2 9≤x<10, 1, x≥10. 6.设X1,X2,…,X,是来自总体X的简单随机样本，己知 Ex=a,k=12,34证明当n充分大时，随机变量乙，-1 X近似服从正 n ia 态分布，并指出其分布参数. 证因X,X2,…,Xn独立同分布，所以所以X,X,…,X独立同分布， EX=2,DX=EX-(EX)2=a4-,由独立同分布下的中心极限定 理（列维一林德贝格定理），当n充分大时 ·85·
·85· 环数 10 9 8 7 6 5 4 频数 2 3 0 9 4 0 2 用 X 表示此射手对靶射击一次所命中的环数，求 X 的经验分布函数，并画出其 图像。 解 设 X 的经验分布函数为 ( ) F x n 则 0 , 4, 2 , 4 5, 20 2 , 5 6, 20 6 , 6 7, 20 ( ) 15 , 7 8, 20 15 , 8 9, 20 18 , 9 10, 20 1 , 10. n x x x x F x x x x x = 6 ． 设 1 2 , , , X X Xn 是来自总体 X 的简单随机样本，已知 ( 1,2,3,4) k EX k = = k 证明当 n 充分大时，随机变量 2 1 1 n n i i Z X n = = 近似服从正 态分布，并指出其分布参数. 证 因 1 2 , , , X X Xn 独立同分布，所以所以 2 2 2 1 2 , , , X X Xn 独立同分布， 2 EXi =2 ， 2 4 2 2 2 4 2 ( ) DX EX EX i i i = − = − ，由独立同分布下的中心极限定 理（列维一林德贝格定理），当 n 充分大时 0.1 0.3 0.5 0.75 0 4 5 6 7 8 9 10 1
1x:-az n il ni= Jas-an Va-a√n (as-a)/n 近似服从标准正态分布，所以当n充分大时，近似地有 2Ma.) 7.设X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本，X服从参数为入的指数 分有，证明2元2X~产(2m. [证]X1,X2,…,Xn独立同分布，X,~E(2),今先证 21X,~x2(2),i=1,2,…,n.设Y=21X,的分布函数为F(y)则 6)-r列=2X≤功=Xs京- -e益，y>0 0,y≤0 所以Y的密度为 2 y>0, f(y)=2元 y>0, 0 ，y≤0. 0,y≤0 注意到「()=1，则Y的概率密度为 2-1- e2,y>0 f=2 0, y≤0. 可见21X,~X2(2). 由X2分布的可加性立即得到 ·86
·86· 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 4 2 4 2 4 2 1 1 ( ) / n n n i i i i i i X n X n X n n n n n = = = − − − = = − − − 近似服从标准正态分布，所以当 n 充分大时，近似地有 2 2 4 2 1 2 1 1 ~ ( , ) n i X N n n = − 7．设 1 2 , , , X X Xn 是来自总体 X 的一个样本， X 服从参数为 的指数 分布，证明 2 1 2 ~ (2 ) n i i X n = . [ 证 ] 1 2 , , , X X Xn 独 立 同 分 布 ， ~ ( ) X E i ，今先证 2 2 ~ (2), 1,2, , X i n i = . 设 Y X = 2 i 的分布函数为 ( ) F y Y 则 ( ) ( ) (2 ) ( ) 2 Y i i y F y P Y y P X y P X = = = 2 1 , 0 0 , 0 y e y y − − = 所以 Y 的密度为 2 2 1 , 0, , 0, ( ) 2 2 0 , 0. 0 , 0; y y Y e y e y f y y y − − = = 注意到 = (1) 1 ，则 Y 的概率密度为 2 1 2 2 2 2 1 , 0 2 ( ) 2 ( ) 2 0 , 0. y Y y e y f y y − − = 可见 2 2 ~ (2) Xi . 由 2 分布的可加性立即得到
22x~x22m, 8.由附表查下列各值：Xs(20),X65(20),6.o1(10),Fo5(12,15), F95(15,12),41 解X6s(20)=31.410,x6s(20)=10.851,o01(10)=2.7638, 1 F0s(12,15)=2.48,F.05(15,12)= 1 =0.4037, ΓFos(12,15)2.48 4.1=1.2800. 9.证明若X~X2(n),则EX=n,DX=2n. 证因X~x2(),所以X可表示为X=∑X,其中名，X,,Xn相 互独立，且均服从N(0,1),于是 EXEXDX,+(EX )]1= Dr-2nw-x-1-创‘zk-川 =23-l=2n 10.己知X~t(n),求证X2~F(L,n) 证X~1m,则X可表示为X=乙，其中Z~N0,1,Y~x2m √rln 且Z,Y相互独立，于是 ·87·
·87· 2 1 2 ~ (2 ). n i i X n = 8．由附表查下列各值： 2 2 0.05 0.95 0.01 0.05 (20), (20), (10), (12, 15) t F , 0.95 0.1 F u (15, 12), 解 2 0.05 (20) 31.410 = ， 2 0.95 (20) 10.851 = ， 0.01 t (10) 2.7638 = ， 0.05 F (12,15) 2.48 = ， 0.05 0.05 1 1 (15,12) 0.4037 (12,15) 2.48 F F = = = ， u0.1 =1.2800 . 9．证明若 2 X n ~ ( ) ，则 EX n DX n = = , 2 . 证 因 2 X n ~ ( ) ，所以 X 可表示为 2 1 n i i X X = = ，其中 1 2 , , , X X Xn 相 互独立，且均服从 N(0,1) ，于是 2 2 1 1 1 [ ( ) ] 1 n n n i i i i i i EX EX DX EX n = = = = = + = = 2 2 4 2 2 4 2 1 1 1 1 [ ( ) ] [ 1] 2 n n n x i i i i i i DX DX EX EX x e dx + − − = = = = = − = − 1 (3 1) 2 . n i n = = − = 10．已知 X t n ~ ( ) ，求证 2 X F n ~ (1, ). 证 X t n ~ ( ) ，则 X 可表示为 / Z X Y n = ，其中 2 Z N Y n ~ (0,1), ~ ( ) 且 Z Y, 相互独立，于是
x=Z-Fd.). Y/n 11.设X,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,2)的简单随机样本， X=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2,求常数a,b,使得X~x2(2). 解X-2X,N020.2-N00X-2X,户-70 2W5 3-4A0mA@-4P70 所以当a= X=a(X1-2X2)2+b3X3-4X4)2~x2(2) 12.设X1,…,Xn,Xm+1,…,Xn+m是分布N(0,o2)的容量为n+m的样本， 试求下列统计量的概率分布： mx m之X (1)y= (2)y- ien+】 解】 -w0o:而2龙-0 龙-N0..等-x0.芝-2m. 所以 (1)Y= ~t(m)月 88
·88· 2 2 ~ (1, ) / Z X F n Y n = . 11．设 1 2 3 4 XXXX ,,, 是来自 正态总 体 2 N(0,2 ) 的简单随 机样 本， 2 2 1 2 3 4 X a X X b X X = − + − ( 2 ) (3 4 ) ，求常数 a b, ，使得 2 X ~ (2) . 解 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 ~ (0,20), ~ (0,1), ( 2 ) ~ (1), 2 5 20 X X X X N N X X − − − 2 2 2 3 4 3 4 3 4 3 4 1 3 4 ~ (0,10 ), ~ (0,1), (3 4 ) ~ (1), 10 100 X X X X N N X X − − − 所以当 1 1 , 20 100 a b = = 时 2 2 2 1 2 3 4 X a X X b X X = − + − ( 2 ) (3 4 ) ~ (2) 12．设 1 1 , , , , , X X X X n n n m + + 是分布 2 N(0, ) 的容量为 n m+ 的样本， 试求下列统计量的概率分布： （1） 1 1 2 1 n i i n m i i n m X Y n X = + = + = ； （2） 2 1 2 2 1 n i i n m i i n m X Y n X = + = + = 解 2 1 ~ (0, ) n i i X N n = ， 1 1 ~ (0,1), n i i X N n = 2 ~ (0, ) X N i ， 2 2 2 ~ (1) Xi ， 2 2 2 1 1 ~ ( ) n m i i n X m + = + ， 所以 （1） 1 1 1 2 2 2 1 1 1 ~ ( ); 1 / n n i i i i n m n m i i i n i n m X X n Y t m n X X m = = + + = + = + = =
253 1 221” 2 F(n,m). n+m 1 xm 0 i=n+l 13.设X,,X,X是来自总体N4o)的样本，=之X, s-12(X-y,试求统计量T=X n-1 的分布。 n i= Vn+l 解X1-~N(0,n+ o), n o2~X2n-10 于是 X -N(0,1) n+1 X-X n-1 n+1/no =~t(n-1) Vn+l hS3 Va/(n-1) 14.设样本X,,X,和Y,,Y分别来自相互独立的总体N(4,O)和 N(山，O),已知o,=O2,a和B是两个实数，求随机变量 a(-4)+B(-凸2) (n -D)S:+(m-1Si +B) n+n2-2 的分布 解x-4)N0,a)AT-4)N0,Bia),又G=0 n n ·89·
·89· （2） 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 / ~ ( , ). 1 / n n i i n i n m n m i i i n i n m X X n Y F n m n X X m = = + + = + = + = = 13．设 1 1 , , , X X X n n+ 是来自总体 2 N( , ) 的样本， 1 1 n i i X X n = = ， *2 2 1 1 ( ) n i i S X X n = = − ，试求统计量 1 * 1 1 X X n n T S n + − − = + 的分布。 解 2 1 1 ~ (0, ) n n X X N n + + − ， *2 2 2 ~ ( 1) nS n − 于是 1 ~ (0,1) 1 X X n N n n + − + 1 1 * *2 2 1 1 / ~ ( 1) 1 /( 1) n n X X X X n n n T t n S n nS n + + − − − + = = − + − . 14．设样本 1 1 , , n X X 和 2 1 , , n Y Y 分别来自相互独立的总体 2 1 1 N( , ) 和 2 2 2 N( , ) ，已知 1 2 = , 和 是两个实数，求随机变量 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( ) 2 X Y n S n S n n n n − + − − + − + + − 的分布 解 2 2 1 1 1 ( ) ~ (0, ) X N n − ， 2 2 2 2 2 ( ) ~ (0, ) Y N n − ，又 1 2 =
所以 al-+-)-N(0.()o) a(-)+BT-)N(0,1 区+ n n2 而 (n-D)S +(n-D)Sn2) 03 所以 a(-4)+B(T-凸) (n-1)S2+(n2-1)S h+乃2-2 n 72 [a(x-4)+B(T-42/ @+ -0 ”n_tm+n-2). a-)S+-Sm+m-2) 15.从正态总体N(3.4,62)中抽取容量为n的样本，如果要求样本均值位 于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应多大？ 解 095≤Pi4<2x<54=m34.34同-小4.34同 =2Φ( 即 5)≥0975，查正态分表得万≥1.96即m≥3457. Φ( 3 故样本容量至少应为35。 ·90·
·90· 所以 2 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ~ (0, ( ) ) X Y N n n − + − + 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ~ (0,1) X Y N n n − + − + 而 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 ( 1) ( 1) ~ ( 2) n S n S n n − + − + − 所以 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( 1) ( 1) 2 X Y n S n S n n n − + − − + − + + − 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 [ ( ) ( )]/ ~ ( 2) ( 1) ( 1) /( 2) X B Y n n t n n n S n S n n − + − + = + − − + − + − . 15．从正态总体 2 N(3.4, 6 ) 中抽取容量为 n 的样本，如果要求样本均值位 于区间（1.4, 5.4）内的概率不小于 0.95，问样本容量 n 至少应多大？ 解 1 1 5.4 3.4 1.4 3.4 0.95 (1.4 5.4) ( ) ( ) 6 6 n i i P X n n n = − − = − 2 ( ) 1 3 n = − 即 ( ) 0.975 3 n ，查正态分表得 1.96 3 n 即 n 34.57 . 故样本容量至少应为 35
16.设总体X~N(80,202),从总体X中抽取一个容量为100的样本， 问样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率是多少？ 解设样本均值为了，则X~N(80, 需-0-N0需 P07-80p3)=1-P0-80k3)=1-w(分+(-3》 =2-2Φ(1.5)=2-2×9332=0.1336. 17.求总体N(20,3)的容量分别为10,15的两个独立样本均值差的绝对值 大于0.3的概率。 解设无和了，为两个独立样本的均值，则又，~N(20,局， 无-N20,于是黑-元-N05即耳-，-N0 P(x1-x20.3)=1-P0x1-x2≤0.3) 0.3 =2-2Φ(0.42)=2-2×0.6628=0.6744. 18.设在总体N(4,G2)中抽取一个容量为16的样本，这里4，o2均为未知， (1)求P(S2/o2≤2.0385)： (2)求DS2. 解(1)PS1a2≤2.0358)=P5S ≤30.537 因为 15S2 。~X05),查x2分布表知 ·91·
·91· 16．设总体 2 X N~ (80, 20 ) ，从总体 X 中抽取一个容量为 100 的样本， 问样本均值与总体均值之差的绝对值大于 3 的概率是多少？ 解 设样本均值为 X ，则 2 2 20 20 ~ (80, ) 80 ~ (0, ) 100 100 X N X N − 3 3 (| 80 | 3) 1 (| 80 | 3) 1 ( ) ( ) 2 2 P X P X − = − − = − + − = − = − = 2 2 (1.5) 2 2 9332 0.1336. 17．求总体 N(20,3) 的容量分别为 10，15 的两个独立样本均值差的绝对值 大于 0.3 的概率。 解 设 X1 和 X2 为两个独立样本的均值，则 1 3 ~ (20, ) 10 X N ， 2 3 ~ (20, ) 15 X N 于是 1 2 15 ~ (0, ) 30 X X N − 即 1 2 1 ~ (0, ) 2 X X N − 1 2 1 2 P X X P X X (| | 0.3) 1 (| | 0.3) − = − − 0.3 0.3 1 ( ) ( ) 1/ 2 1/ 2 − = − + = − = − = 2 2 (0.42) 2 2 0.6628 0.6744 . 18．设在总体 2 N( , ) 中抽取一个容量为 16 的样本，这里 2 , 均为未知， （1）求 2 2 P S( / 2.0385) ； （2）求 2 DS . 解 （1） 2 2 2 2 15 ( / 2.0358) { 30.537} S P S P = 因为 2 2 2 15 ~ (15) S ，查 2 分布表知