补充题 一、填空题 1.设事件A,B都不发生的概率为0.3，且P(A)+P(B)=0.8,则A,B中 至少有一个不发生的概率为 P(AB)=P(AUB)=1-P(AUB)=1-P(A)-P(B)+P(AB) =1-0.8+P(AB)=0.3 P(AB)=0.1 P(AUB)=P(AB)=1-P(AB)=1-0.1=0.9 2.设P(A=0.4,P(AUB)=0.7,那么 (1)若A,B互不相容，则P(B)= (2)若A,B相互独立，则P(B)= 解：(1)P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)→P(B) =P(AUB)-P(A)+P(AB)=0.7-0.4=0.3 (由已知AB=中) (2)P(B)=P(AUB)-P(A)+P(AB)=0.7-0.4+P(A)P(B)=0.3+0.4P(B) 06P(=03=P8=月 3.设A,B是任意两个事件，则P{AUB(AUB(AUB)(AUB)}= P((AU B);(AU B)(AU B)(AUB);=P((AAUAB)U(ABUB)(AUB)(AB)) P((ABUB)(AUB)(AB)) ·131·
·131· 补 充 题 一、填空题 1．设事件 A B, 都不发生的概率为 0.3，且 P A P B ( ) ( ) 0.8 + = ，则 A B, 中 至少有一个不发生的概率为__________. 解： P AB P A B P A B ( ) ( ) 1 ( ) = = − = − − + 1 ( ) ( ) ( ) P A P B P AB = − + = 1 0.8 ( ) 0.3 P AB P AB ( ) 0.1 = P A B P AB P AB ( ) ( ) 1 ( ) 1 0.1 0.9 = = − = − = 2．设 P A P A B ( ) 0.4, ( ) 0.7 = = ，那么 （1）若 A B, 互不相容，则 P B( ) = __________; （2）若 A B, 相互独立，则 P B( ) = __________. 解：（1） P A B P A P B P AB P B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + − = − + = − = P A B P A P AB ( ) ( ) ( ) 0.7 0.4 0.3 （由已知 AB = ） （2） P B P A B P A P AB ( ) ( ) ( ) ( ) = − + = − + 0.7 0.4 ( ) ( ) P A P B = + 0.3 0.4 ( ) P B 1 0.6 ( ) 0.3 ( ) 2 P B P B = = 3.设 A B, 是任意两个事件，则 P A B A B A B A B { ( )( )( )} = _______. 解： P A B A B A B A B P AA AB AB B A B AB {( )}( )( )( )} {( ) ( )( )( )} = = P AB B A B AB {( )( )( )}
=P(ABUBB(AB)=P(AB)(AB)=P()=0. 4.从0,1,2，…，9中任取4个数，则所取的4个数能排成一个四位偶数的概率 为 解：设A=取4个数能排成一个四位偶数，则P氏)=1-P(团=1-C-4 C42 5.有5条线段，其长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，所取 的3条线段能拼成三角形的概率为 33 解：设A=能拼成三角形，则P(A)= 6.袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，甲、乙两人依次各取 一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为 解1：由抓阄的模型知乙取到黄球的概率为 5 解：设A=乙取到黄球，则PA)=CC+CC_2 或 P(A)= 2019,3020_2 504950495 7.设事件AB,C两两独立，且ABC=O,P4)=P(B)=P(C)<2， 1 P(AUBUC)=9/16,P(A)= P(AUBUC)==P(4)+P(B)+P(C)-P(AB)-(4C)-P(BC)+P(ABC) =3P(A)-3P(A0] 16P(A0]-16P(4)+3=0. P=或P0-由P0<行P0= 8.在区间(0,1)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于6/5”的概率 ·132·
·132· = = = = P AB BB AB P AB AB P {( )( )} {( )( )} ( ) 0. 4．从 0,1,2,…,9 中任取 4 个数，则所取的 4 个数能排成一个四位偶数的概率 为__________. 解：设 A = 取4个数能排成一个四位偶数，则 4 5 4 10 41 ( ) 1 ( ) 1 42 C P A P A C = − = − = 5．有 5 条线段，其长度分别为 1,3,5,7,9，从这 5 条线段中任取 3 条，所取 的 3 条线段能拼成三角形的概率为__________. 解：设 A = 能拼成三角形，则 3 5 3 3 ( ) 10 P A C = = 6．袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个黄球，30 个白球，甲、乙两人依次各取 一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为__________. 解 1：由抓阄的模型知乙取到黄球的概率为 2 5 . 解 2：设 A = 乙取到黄球，则 1 1 1 1 20 19 30 20 1 1 50 49 2 ( ) 5 C C C C P A C C + = = 或 20 19 30 20 2 ( ) 50 49 50 49 5 P A = + = . 7．设事件 A B C , , 两两独立，且 1 , ( ) ( ) ( ) 2 ABC P A P B P C = = = ， P A B C ( ) 9 /16 = ，则 P A( ) = __________. 解： 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 16 P A B C P A P B P C P AB AC P BC P ABC = = + + − − − + 2 = − 3 ( ) 3[ ( )] P A P A 2 16[ ( )] 16 ( ) 3 0 P A P A − + = . 3 ( ) 4 P A = 或 1 ( ) 4 P A = ，由 1 ( ) 2 P A 1 ( ) 4 = P A . 8．在区间（0, 1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 6/5”的概率
为 解：设A=两数之和小于65，两数分别为x,y,由几何概率如图 A发生台0<x<1 0<y<1 6 x+y< 5 12.1 6 -(1-)2 x+y= P(A)= Sa= 5217 STE 1 25 9.假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，今从中随机取 一件产品，结果不是三等品，则它是二等品的概率为 解：A,=取到i等品，A=A+A2一A P414)=PA4)-P4) 0.31 P(4)P(A4)+P(A)0.6+0.33 0,设事件4B满是：P(B10=P(81A=号P(0=写，则 P(B)= 解：P(BA) _P(AB)_P(AB)_P(AUB)1-P(A)-P(B)+P(AB) P(A)P(A)P(A) 1-P(A) 1一5一P(B)+ 9=1 ( 因 为 写 3 111 P(AB)=P(A)P(B/A)= 339 A-号 11.某盒中有10件产品，其中4件次品，今从盒中取三次产品，一次取一 ·133·
·133· 为__________. 解：设 A = 两数之和小于 6/5，两数分别为 x y, ，由几何概率如图 A 发生 0 1 x 0 1 y 6 5 x y + 1 1 2 1 (1 ) 5 2 ( ) 1 S P A S − − = = 阴 正 17 25 = 9．假设一批产品中一、二、三等品各占 60%、30%、10%，今从中随机取 一件产品，结果不是三等品，则它是二等品的概率为__________. 解： Ai = 取到 i 等品， A A A A 3 1 2 2 = + 2 3 2 2 3 3 1 2 ( ) ( ) 0.3 1 ( | ) ( ) ( ) ( ) 0.6 0.3 3 P A A P A P A A P A P A P A = = = = + + 10．设事件 A B, 满足： 1 1 ( | ) ( | ) , ( ) 3 3 P B A P B A P A = = = ，则 P B( ) = __________. 解： ( ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( ) P AB P AB P A B P B A P A P A P A = = = 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) P A P B P AB P A −−+ = − 1 1 1 ( ) 3 9 1 1 3 1 3 − − + P B = = − （因为 1 1 1 ( ) ( ) ( / ) 3 3 9 P AB P A P B A = = = ） 5 ( ) 9 = P B . 11．某盒中有 10 件产品，其中 4 件次品，今从盒中取三次产品，一次取一 0 1 y 1 y y x 6 5 x y + =
件，不放回，则第三次取得正品的概率为 ,第三次才取得正品的概率 为 解：设4=第1次取到正品，i-1,2,3则P(4)=, 10 P(A)=P(A44)+P(444)+P(444)+P(A44) -6.5.4+4.6.54366453 10981098109810985 P4a4)=436-=0.1 109810 12.三个箱子，第一个箱子中有4个黑球，1个白球：第二个箱子中有3个 黑球，3个白球：第三个箱子中有3个黑球，5个白球.现随机地取一个箱子， 再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率为 :已知取出的球 是白球，此球属于第一个箱子的概率为 解：设A=取到第i箱i=1,2,3,B=取出的是一个白球 P-立P4m14)-+23- 53 13 P(4B) P4,)P(B14)-36-20 P(B) 5353 120 13.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，：A发生B不发 生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P(A)= 解：由P(AB)=P(AB)知P(A-B)=P(B-A) 即P(A)-P(AB)=P(B)-P(AB)故P(A)=P(B),从而 P(A=P(B),由题意： )r=PaP(=P(a,所以P(闭=月 ·134·
·134· 件，不放回，则第三次取得正品的概率为__________，第三次才取得正品的概率 为__________. 解：设 Ai = 第 i 次取到正品， i =1,2,3 则 3 6 3 ( ) 10 5 P A = = 或 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 P A P A A A P A A A P A A A P A A A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + + 6 5 4 4 6 5 4 3 6 6 4 5 3 10 9 8 10 9 8 10 9 8 10 9 8 5 = + + + = 1 2 3 4 3 6 1 ( ) 0.1 10 9 8 10 P A A A = = = 12．三个箱子，第一个箱子中有 4 个黑球，1 个白球；第二个箱子中有 3 个 黑球，3 个白球；第三个箱子中有 3 个黑球，5 个白球. 现随机地取一个箱子， 再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率为__________；已知取出的球 是白球，此球属于第一个箱子的概率为__________. 解：设 Ai = 取到第 i 箱 i =1,2,3 ， B = 取出的是一个白球 3 1 1 1 3 5 53 ( ) ( ) ( | ) ( ) 3 5 6 8 120 P B P A P B A = = + + = i i 2 2 2 1 3 ( ) ( | ) 20 3 6 ( | ) ( ) 53 53 120 P A P B A P A B P B = = = 13．设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 1/ 9， A 发生 B 不发 生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相等，则 P A( ) = __________. 解：由 P AB P AB ( ) ( ) = 知 P A B P B A ( ) ( ) − = − 即 P A P AB P B P AB ( ) ( ) ( ) ( ) − = − 故 P A P B ( ) ( ) = ，从而 P A P B ( ) ( ) = ，由题意： 1 2 ( ) ( ) ( ) [ ( )] 9 = = = P AB P A P B P A ，所以 1 ( ) 3 P A =
故 R0=号 (由A,B独立→A与B,A与B,A与B均独立) 14.设在一次试验中，事件A发生的概率为p.现进行n次独立试验，则A 至少发生一次的概率为 ,而事件A至多发生一次的概率为 解：设B=A至少发生一次P(B)=1-(1-p)”, C=A至多发生一次PC)=(1-p)”+p(1-p)”- 15.设离散型随机变量X的分布律为P(X=)=,A（k=0,12,3),则 2+K ,P(X0=1-y=0=1-0-pr=1-9 17.设X~P(),且P(X=1)=P(X=2),则P(X≥1)= P(0<X2<3)= ·135·
·135· 故 2 ( ) 3 P A = . （由 A B, 独立 A 与 B ， A 与 B ， A 与 B 均独立） 14．设在一次试验中，事件 A 发生的概率为 p . 现进行 n 次独立试验，则 A 至少发生一次的概率为__________，而事件 A 至多发生一次的概率为_________. 解：设 B A = 至少发生一次 ( ) 1 (1 ) , n P B p = − − C A = 至多发生一次 1 ( ) (1 ) (1 ) n n P C p np p − = − + − 15．设离散型随机变量 X 的分布律为 ( ) ( 0,1,2,3) 2 A P X k k k = = = + ，则 A = __________, P X( 3) = __________. 解： 3 0 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 k 2 3 4 5 2 3 4 5 AAAA P X K A = = = + + + = + + + = 60 77 = A 1 60 65 ( 3) 1 ( 3) 1 5 77 77 P X P X = − = = − = 16．设 X B p Y B p ~ (2, ), ~ (3, ) ，若 P X( 1) 5/ 9 = ，则 P Y( 1) = ________. 解： X B p ~ (2, ) 2 2 ( ) (1 ) 0,1,2 k k k P X k C p p k − = = − = Y B p ~ (3, ) 3 3 ( ) (1 ) 0,1,2,3. k k k P Y k C p p k − = = − = 0 0 2 2 2 5 ( 1) 1 ( 0) 1 (1 ) 1 (1 ) 9 P X P X C p p p = − = = − − = − − = 2 4 (1 ) 9 − = p 2 1 3 − = p 1 3 p = 3 3 2 19 ( 1) 1 ( 0) 1 (1 ) 1 ( ) 3 27 = − = = − − = − = P Y P Y p . 17．设 X P ~ ( ) ，且 P X P X ( 1) ( 2) = = = ，则 P X( 1) = __________， 2 P X (0 3) = __________
解：PX==e4=e = →1=2(1>0) 1 21 2 PX≥)=1-PX=0)=1- e2=1-e-2 0 P0 2 则4=一P水) 解：F()为连续函数，imF)=lmF(x)=F() 1=4sm23A=1 P0水看=八-看0 f(x)= 0, x≤0， 则A= ,X的分布函数F(x)=」 解∫faw-。e=-2re-j2e =4-2∫。-引。e=-eg-= ·136·
·136· 解： 1 2 2 ( 1) 2( 0) 1! 2! 2 P X e e − − = = = = = 0 2 ( 1) 1 ( 0) 1 1 0! P X P X e e − − = − = = − = − 2 2 P X P X e (0 3) ( 1) 2 − = = = 18．设连续型随机变量 X 的分布函数为 0, 0, ( ) sin , 0 , 2 1, , 2 x F x A x x x = 则 A = __________， | | 6 P X = __________. 解： F x( ) 为连续函数， 2 2 lim ( ) lim ( ) ( ) x x 2 F x F x F → + → − = = 1 sin 1 2 A A = = . 1 (| | ) ( ) ( ) ( ) sin 6 6 6 6 6 6 2 P X P X F F = − = − − = = . 19．设随机变量 X 的概率密度为 2 2 , 0 ( ) 0, 0, x Ax e x f x x − = 则 A = __________， X 的分布函数 F x( ) = __________. 解： 2 2 2 2 2 0 0 0 1 ( ) ( ) 2 2 x x x f x dx Ax e dx A x e xe dx + + + + − − − − = = − − 2 2 2 0 0 0 1 ( ) 1 2 2 4 4 x x x A A A A xde e dx e + + + − − − = − = = − = =
A=4. F(x)= gfeh=4可re=4可。re恤=-2+2x+lex0 0 x≤0 20.设随机变量X的概率密度为 2x, 00 (1)若P(X>1)=1/3,则a= (2)若P(X1),则a= x∈[-a,a] 解：f(x)= 0, 其它 _1_1-→a=3. wx==六a- ar1)=1-P0X≤1)=1-P(Xk1) ·137·
·137· A = 4 . 2 2 2 2 2 2 0 0 0 ( ) 4 4 1 (2 2 1) , 0 ( ) 0 , 0 x x x x u x f x dx x e dx u e du x x e x F x x − − − = = = − + + = 20．设随机变量 X 的概率密度为 2 , 0 1, ( ) 0 , . x x f x = 其他 现对 X 进行三次独立重复观察，用 Y 表示事件 ( 1/ 2) X 出现的次数，则 P Y( 2) = = __________. 解： Y B p ~ (3, ) ，其中 1 1 2 2 2 0 0 1 1 ( ) 2 2 4 p P X xdx x = = = = 2 2 3 1 3 9 ( 2) (1 ) 3 16 4 64 P Y C p p = = − = = 21．设随机变量 X 服从 [ , ] −a a 上均匀分布，其中 a 0 . （1）若 P X( 1) 1/ 3 = ，则 a =__________； （2）若 P X( 1/ 2) 0.7 = ，则 a =__________； （3）若 P X P X (| | 1) (| | 1) = ，则 a =__________. 解： 1 , [ , ] ( ) 2 0, x a a f x a − = 其它 （1） 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) 3. 3 2 2 2 2 3 a P X dx a a a a a = = = − = − = = （2） 1 2 1 1 1 1 1 1 5 ( ) 0.7 ( ) 0.7 2 2 2 2 4 2 4 a P X dx a a − a a a = = = + = + = = （3） P X P X P X P X (| | 1) (| | 1) 1 (| | 1) 1 (| | 1) = = − = −
Nxkn-号2a=a2-。a=2 a 22.设X~N(4,σ2)，且关于y的方程y2+y+X=0有实根的概率为 1/2,则= 解：+y+X=0有实根台A=1-4X20⊙X≤ Px≤=r3=4。)=0=片中u= 23.已知某种电子元件的寿命X(以小时计)服从参数为1/1000的指数分 布.某台电子仪器内装有5只这种元件，这5只元件中任一只损坏时仪器即停止 工作，则仪器能正常工作1000小时以上的概率为 解：Y=仪器正常工作时间，则 le-ix x≥0 0 x<0 P(Y21000)=P(X1≥1000·X,≥1000) =P(X,≥1000)…P(X,≥1000) =[P(X≥1000)1的 Px≥Io0=moea=e .P(Y≥1000)=e5 24.设随机变量X的概率密度为 ·138·
·138· 1 1 1 1 1 1 (| | 1) 2 2. 2 2 2 P X dx a − a a a = = = = = 22．设 2 X N~ ( , ) ，且关于 y 的方程 2 y y X + + = 0 有实根的概率为 1/ 2 ，则 = __________. 解： 2 y y X + + = 0 有实根 1 1 4 0 4 = − X X 1 1 1 1 1 1 4 ( ) ( ) ( ) (0) 4 2 4 2 4 P X F − = = = = = . 23．已知某种电子元件的寿命 X （以小时计）服从参数为 1/1000 的指数分 布. 某台电子仪器内装有 5 只这种元件，这 5 只元件中任一只损坏时仪器即停止 工作，则仪器能正常工作 1000 小时以上的概率为__________. 解： Y = 仪器正常工作时间，则 0 ( ) 0 0 x e x f x x − = 1 5 P Y P X X ( 1000) ( 1000 1000) = 1 5 = P X P X ( 1000) ( 1000) 5 = [ ( 1000)] P X 1000 1 1000 1 ( 1000) 1000 x P X e dx e + − − = = 5 P Y e ( 1000) − = 24．设随机变量 X 的概率密度为
若x∈[0，] f(x)= 29 若x∈[3,6] 0, 其他 若k使得P(X≥k)=2/3,则k的取值范围是 解：x≥=：e=杰+小号 1-k,26-3)_3-k_2 3933 ∴.k=1 1/3 0 1 3 6 ∴.k的取值范围为[1,3] 25.设随机变量X服从(0,2)上均匀分布，则随机变量Y=X2在(0,4)内 的密度函数为(y)= 1 x∈(0,2) 解：f(x)= 0 其它 FO=PY≤0=PXs)={0 P(X)y>0 y≤0 JP-F≤X≤)=F(D)-F(← ）y>0 10 y≤0 60-gon-人7 0<y<4 0 y≤0 当y=X在@内时)=行 ·139·
·139· 1 , [0, 1] 3 2 ( ) , [3, 6] 9 0 , . x f x x = 若 若 其他 若 k 使得 P X k ( ) 2 / 3 = ，则 k 的取值范围是__________. 解： 1 6 3 1 2 ( ) ( ) k k 3 9 P X K f x dx dx dx + = = + 1 2(6 3) 3 2 3 9 3 3 − − − k k = + = = = k 1 k 的取值范围为 [1, 3]. 25．设随机变量 X 服从 (0, 2) 上均匀分布，则随机变量 2 Y X = 在 (0, 4) 内 的密度函数为 ( ) Y f y = __________. 解： 1 (0, 2) ( ) 2 0 x f x = 其它 2 (| | ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 Y P X y y F y P Y y P X y y = = = ( ) ( ) ( ) 0 0 0 P y X y F y F y y X X y − = − − = 1 1 2 2 1 1 1 ( ) ( ) 0 4 ( ) ( ) 2 2 4 0 0 X X Y Y f y y f y y y f y F y y y − − + − = = = 当 2 Y X = 在（0，4）内时 1 ( ) 4 Y f y y = . f(x) 1/3 0 1 3 6
26.设X服从参数为1的指数分布，则Y=min(X,2)的分布函数 F,y)= 解1：F(y)=P(Y≤y)=Pmin(X,2)≤y)=1-P(min(X,2)>y) =1-P(X>y,2>y) 1-P(X>y)=P(X≤y)=Fxy)=0y≤0 =Fx(y)=1-e-x 00, ,<2 0，x≤0， E()=1. z≥2 F,(y)=1-1-Fx(y1-F(y] 0, y≤0， =1-ey, 0<y<2, 1, y≥2. 27.设二维随机变量(X,Y)在由y=1/x,y=0,x=1和x=e2所形成的 区域D上服从均匀分布，则(X,)关于X的边缘密度在x=2处的值为 解：S=(-0)本=lnx=2 ∴.f(x,y)= (x,y)∈D 0其他 f(x)=∫fxy f(2)= ·140·
·140· 26．设 X 服从参数为 1 的指数分布，则 Y X = min( , 2) 的分布函数 ( ) F y Y =__________. 解 1： ( ) ( ) (min( , 2) ) 1 (min( , 2) ) F y P Y y P X y P X y Y = = = − = − 1 ( , 2 ) P X y y 1 ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) 1 0 2 1 0 1 2 X y X P X y P X y F y y F y e y y − − = = = = = − − = 解 2：设 X 的分布函数为 ( ) F x X ，2 的分布函数为 2 F z( ) ，则 1 , 0, ( ) 0 , 0; x X e x F x x − − = 2 0, 2, ( ) 1, 2; z F z z = 2 ( ) 1 [1 ( )][1 ( )] F y F y F y Y X = − − − 0 , 0, 1 , 0 2, 1 , 2. y y e y y − = − 27．设二维随机变量 ( , ) X Y 在由 y x y x = = = 1/ , 0, 1 和 2 x e = 所形成的 区域 D 上服从均匀分布，则 ( , ) X Y 关于 X 的边缘密度在 x = 2 处的值为______. 解： 2 2 1 1 1 ( 0) ln 2 e e S dx x x = − = = 阴 1 ( , ) ( , ) 2 0 x y D f x y = 其他 ( ) ( , ) X f x f x y dy + − = D x 1 y x = y o e 2 1 1 (2) 4 X f =