习题二 1.假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不 是三等品，求它是一等品的概率 解设A=‘任取一件是i等品’i=1,2,3, 所求概率为 P41a)=P44) P(A) 因为A=A+A2 所以P(A)=P(A)+P(A,)=0.6+0.3=0.9 P(AA)=P(A)=0.6 故 P413)-g号 2.设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品， 求另一件也是不合格品的概率， 解设A=‘所取两件中有一件是不合格品' B=‘所取两件中恰有i件不合格’i=1,2. 则 A=B +B, P(A)=P(B)+P(B2)= cci.ci Cio' 所求概率为 P(B1A)=P(B.)=Ci 1 P(A)CC+=5 3.袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色 是黑色的概率 解设A=‘发现是同一颜色'，B=‘全是白色'，C=‘全是黑色'，则 A=B+C
习 题 二 1．假设一批产品中一、二、三等品各占 60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不 是三等品，求它是一等品的概率. 解 设 Ai = ‘任取一件是 i 等品’ i =1, 2, 3， 所求概率为 1 3 1 3 3 ( ) ( | ) ( ) P A A P A A P A = ， 因为 A A A 3 1 2 = + 所以 3 1 2 P A P A P A ( ) ( ) ( ) 0.6 0.3 0.9 = + = + = 1 3 1 P A A P A ( ) ( ) 0.6 = = 故 1 3 6 2 ( | ) 9 3 P A A = = . 2．设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品， 求另一件也是不合格品的概率. 解 设 A = ‘所取两件中有一件是不合格品’ Bi = ‘所取两件中恰有 i 件不合格’ i =1, 2. 则 A B B = +1 2 1 1 2 4 6 4 1 2 2 2 10 10 ( ) ( ) ( ) C C C P A P B P B C C = + = + ， 所求概率为 2 2 4 2 1 1 2 4 6 4 ( ) 1 ( | ) ( ) 5 P B C P B A P A C C C = = = + . 3．袋中有 5 只白球 6 只黑球，从袋中一次取出 3 个球，发现都是同一颜色，求这颜色 是黑色的概率. 解 设 A = ‘发现是同一颜色’， B = ‘全是白色’， C = ‘全是黑色’，则 A B C = +
所求概率为 P(CIA)=P(AC)=P(C) P(A)P(B+C)C/CH+CIC=3 4.从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概 率 解设A=‘至少有3张黑桃'，B=‘5张中恰有i张黑桃'，i=3,4,5, 则 A=B3+B4+B, 所求概率为 P(B,1A)=P(AB.) P(B) C 9 P(A)P(B+B+B)CiC+CiC +Ci1686 5.设P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B|A)=0.8求P(AUB)与P(B-A) 解P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=1.1-P(A0P(B|A)=1.1-0.4=0.7 P(B-A=P(B)-P(AB)=0.6-0.4=0.2 6.甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放 入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。 解设A=‘从乙袋中取出的是白球'，B,=‘从甲袋中取出的两球恰有i个白球' i=0,1,2 由全概公式 P(A)=P(B)P(AB)+P(B)P(AB)+P(B2)P(AB2) -C.4+CC.1C.6-3 C10C32C1025 7.一个盒子中装有15个乒乓球，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取3只，比赛 后仍放回原盒中：在第二次比赛时同样地任取3只球，求第二次取出的3个球均为新球的概 率。 解设A=‘第二次取出的均为新球'， B=‘第一次取出的3个球恰有i个新球’i=0,1,2,3
所求概率为 3 3 6 11 3 3 3 3 6 11 5 11 ( ) ( ) 2 / ( | ) ( ) ( ) / / 3 P AC P C C C P C A P A P B C C C C C = = = = + + 4．从 52 张朴克牌中任意抽取 5 张，求在至少有 3 张黑桃的条件下，5 张都是黑桃的概 率. 解 设 A = ‘至少有 3 张黑桃’， Bi = ‘5 张中恰有 i 张黑桃’， i = 3, 4,5， 则 A B B B = + + 3 4 5 ， 所求概率为 5 5 5 3 4 5 ( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) P AB P B P B A P A P B B B = = + + 5 13 3 2 4 1 5 13 39 13 39 13 9 1686 C C C C C C = = + + . 5．设 P A P B P B A ( ) 0.5, ( ) 0.6, ( | ) 0.8 = = = 求 P A B ( ) 与 P B A ( ) − . 解 P A B P A P B P AB P A P B A ( ) ( ) ( ) ( ) 1.1 ( ) ( | ) 1.1 0.4 0.7 = + − = − = − = P B A P B P AB ( ) ( ) ( ) 0.6 0.4 0.2 − = − = − = . 6．甲袋中有 3 个白球 2 个黑球，乙袋中有 4 个白球 4 个黑球，今从甲袋中任取 2 球放 入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。 解 设 A = ‘从乙袋中取出的是白球’， Bi = ‘从甲袋中取出的两球恰有 i 个白球’ i = 0,1,2 . 由全概公式 0 0 1 1 2 2 P A P B P A B P B P A B P B P A B ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) = + + 2 1 1 2 2 3 2 3 2 2 2 5 5 5 4 1 6 13 10 2 10 25 C C C C C C C = + + = . 7．一个盒子中装有 15 个乒乓球，其中 9 个新球，在第一次比赛时任意抽取 3 只，比赛 后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取 3 只球，求第二次取出的 3 个球均为新球的概 率。 解 设 A = ‘第二次取出的均为新球’， Bi = ‘第一次取出的 3 个球恰有 i 个新球’ i = 0, 1, 2, 3
由全概公式 P(A)=P(B)P(AB)+P(B)P(AB)+P(B )P(AB,)+P(B )P(AB) 8+8+答g88 =} 528 ≈0.089. 5915 8.电报发射台发出‘’和‘-’的比例为5：3，由于干扰，传送()时失真的概率为 25,传送‘-’时失真的概率为1/3，求接受台收到‘’时发出信号恰是‘·的概率。 解设A=‘收到‘’，B=‘发出‘·’， 由贝叶斯公式 53 P(B)P(AB) 853 P(BIA)-P(B)P(B)+P(B)(4 8583 9.在第6题中，已知从乙袋中取得的球是白球，求从甲袋中取出的球是一白一黑的概 率」 解事件如第6题所设，所求概率为 P(B)=P(B )P(AI B.)2 15 P(A) 13 26 25 10.已知一批产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率 是0.02，一个次品被误认为是合格品的概率是0.05，求在检查后认为是合格品的产品确是合 格品的概率。 解设A=‘任取一产品，经检查是合格品'， B=‘任取一产品确是合格品’， 则 A=BA+BA P(A)=P(B)P(AB)+P(B)P(AB) =0.96×0.98+0.04×0.05=0.9428, 所求概率为
由全概公式 0 0 1 1 2 2 3 3 P A P B P A B P B P A B P B P A B P B P A B ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) = + + + 3 3 1 2 3 2 1 3 3 3 6 9 9 6 8 9 6 7 9 6 3 3 3 3 3 3 3 3 15 15 15 15 15 15 15 15 C C C C C C C C C C C C C C C C C C = + + + 528 0.089 5915 = . 8．电报发射台发出‘·’和‘–’的比例为 5:3，由于干扰，传送（·）时失真的概率为 2/5，传送‘–’时失真的概率为 1/3，求接受台收到‘·’时发出信号恰是‘·’的概率。 解 设 A = ‘收到‘·’’， B = ‘发出‘·’’， 由贝叶斯公式 5 3 ( ) ( | ) 3 8 5 ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) 4 5 3 3 1 8 5 8 3 P B P A B P B A P B P A B P B P A B = = = + + . 9．在第 6 题中，已知从乙袋中取得的球是白球，求从甲袋中取出的球是一白一黑的概 率. 解 事件如第 6 题所设，所求概率为 1 1 2 3 2 5 1 1 1 1 / ( ) ( | ) 15 2 ( | ) ( ) 26 13 25 C C C P B P A B P B A P A = = = 10．已知一批产品中 96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率 是 0.02，一个次品被误认为是合格品的概率是 0.05，求在检查后认为是合格品的产品确是合 格品的概率。 解 设 A = ‘任取一产品，经检查是合格品’， B = ‘任取一产品确是合格品’， 则 A BA BA = + P A P B P A B P B P A B ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) = + = + = 0.96 0.98 0.04 0.05 0.9428， 所求概率为
PB1A0=PB)PAIB-0,96x098=0.998 P(A) 0.9428 11.假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品：第二箱内装30件其 中18件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的 零件均不放回)，试求：(1)先取出的零件是一等品的概率；(2)在先取的零件是一等品的 条件下，第二次取出的零件仍然是一等的概率 解设A=‘第i次取出的零件是一等品'，i=1,2 B=‘取到第i箱'，i=1,2. 则 4)=RB4IA)+P4I马-3-号 (2)P44)=P44)-P44B+A4B) P(A) P(4) P(B)P(AAIB)+P(B )P(AA IB2) P(A) =0.4856 12.玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0,1,2只残次品的概率分别为0.8,0.1， 0.1,一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品， 则买下该箱，否则退回。试求： (1)顾客买下该箱的概率C: (2)在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率阝. 解设A=‘顾客买下该箱'， B=‘箱中恰有i件残次品’，i=0,1,2, (1)a=P(A)=P(Bo)P(AB)+P(B)P(AB)+P(B2)P(AB2) =08+0.1×9+0.1×g0,94: 4 C61C
( ) ( | ) 0.96 0.98 ( | ) 0.998 ( ) 0.9428 P B P A B P B A P A = = = . 11．假设有两箱同种零件：第一箱内装 50 件，其中 10 件一等品；第二箱内装 30 件其 中 18 件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的 零件均不放回），试求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取的零件是一等品的 条件下，第二次取出的零件仍然是一等的概率. 解 设 Ai = ‘第 i 次取出的零件是一等品’， i =1, 2 . Bi = ‘取到第 i 箱’， i =1, 2 . 则 （1） 1 1 1 1 2 1 2 P A P B P A B P B P A B ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) = + 1 1 3 2 ( ) 2 5 5 5 = + = . （2） 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) P A A P A A B A A B P A A P A P A + = = 1 1 2 1 2 1 2 2 1 ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) P B P A A B P B P A A B P A + = 2 2 10 18 2 2 50 30 1 2 9 51 4 0.4856 2 49 29 5 C C C C + = = + = . 12．玻璃杯成箱出售，每箱 20 只，假设各箱含 0，1，2 只残次品的概率分别为 0.8，0.1， 0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品， 则买下该箱，否则退回。试求： （1）顾客买下该箱的概率 ； （2）在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率 . 解 设 A = ‘顾客买下该箱’， B = ‘箱中恰有 i 件残次品’， i = 0,1,2 ， （1） 0 0 1 1 2 2 = = + + P A P B P A B P B P A B P B P A B ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) 4 4 19 18 4 4 20 20 0.8 0.1 0.1 0.94 C C C C = + + ；
(2)B=PB1A0=P4)-0 P(A)0.94 ≈0.85 13.设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别 为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份 (1)求先取到的一份为女生表的概率p: (2)已知后取到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q· 解设A=‘先取到的是女生表’， B=‘后取到的是男生表’， C,=‘取到第i个地区的表'，i=1,2,3 (1)p=P(C)P(AC)+P(C2)P(AIC2)+P(C3)P(AIC3 (2)因为先取出的是女生表的概率为 29 ,所以先取出的是男生表的概率为。0，按抓 90 阄问题的道理，后取的是男生表的概率P(B)= 61 90 于是 (2)q=P(AI B)=P(AB)=P(ABC +ABC:+ABC) P(B) P(B) 4B1G)+PARIC)+P4BIC】 P(B) 1[3.7+7.8+5.20 3L10915142524 20 61 61 90 14.一袋中装有m枚正品硬币，n枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）从袋中 任取一枚，己知将它投掷”次，每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？ 解设A=‘任取一枚硬币掷r次得r个国徽'， B=‘任取一枚硬币是正品’， 则
（2） 0 0 ( ) 0.8 ( | ) 0.85 ( ) 0.94 P AB P B A P A = = = . 13．设有来自三个地区的各 10 名，15 名和 25 名考生的报名表，其中女生报名表分别 为 3 份、7 份和 5 份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份 （1）求先取到的一份为女生表的概率 p ； （2）已知后取到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 q . 解 设 A = ‘先取到的是女生表’， B = ‘后取到的是男生表’， Ci = ‘取到第 i 个地区的表’， i =1,2,3. （1） 1 1 2 2 3 3 p P C P A C P C P A C P C P A C = + + ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) 1 3 7 5 29 3 10 15 25 90 = + + = ； （2）因为先取出的是女生表的概率为 29 90 ，所以先取出的是男生表的概率为 61 90 ，按抓 阄问题的道理，后取的是男生表的概率 61 ( ) 90 P B = . 于是 （2） 1 2 3 ( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) P AB P ABC ABC ABC q P A B P B P B + + = = = 1 2 3 1 [ ( | ) ( | ) ( | )] 3 ( ) P AB C P AB C P AB C P B + + = 1 3 7 7 8 5 20 3 10 9 15 14 25 24 20 61 61 90 + + = = . 14．一袋中装有 m 枚正品硬币， n 枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）从袋中 任取一枚，已知将它投掷 r 次，每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？ 解 设 A = ‘任取一枚硬币掷 r 次得 r 个国徽’， B = ‘任取一枚硬币是正品’， 则
A=BA+BA, 所求概率为 P(B)P(AB) P(BIA)=P(B)P(AI B)+P(B)P(AI B) m 1) m+n 2 m m n m+n-2' m+n 2 m+n 15.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标 被击中，求甲击中的概率 解设A=‘目标被击中'，B=‘第i个人击中’i-1,2, 所求概率为 PB1A=PB①-P(B) P(B) P(A)P(B +B,)1-P(BB,) 0.6 =0.75 Γ1-0.4×0.5 16。三人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别是，，} 534 求他们将此密码译 出的概率 解1设A=‘将密码译出’，B=‘第i个人译出’i=1,2,3. 则 P(A)=P(B+B,+B)=P(B )+P(B2)+P(B )-P(B B2 )-P(BB -民B)+NB8A-写计兮好 1113 =0.6 5345 解2事件如上所设，则 PM0=1-P4=1-P(EA)=1-4×2×3_3 3=0.6 5345 17.甲、乙、丙三人向一架飞机进行射击，他们的命中率分别为0.4,0.5,0.7。设飞机 中一弹而被击落的概率为0.2，中两弹而被击落的概率为0.6，中三弹必然被击落，今三人各 射击一次，求飞机被击落的概率
A BA BA = + ， 所求概率为 ( ) ( | ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) P B P A B P B A P B P A B P B P A B = + 1 2 1 2 2 r r r m m n m m n m n m n m n + = = + + + + . 15．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为 0.6 和 0.5，现已知目标 被击中，求甲击中的概率. 解 设 A = ‘目标被击中’， Bi = ‘第 i 个人击中’ i =1, 2, 所求概率为 1 1 1 1 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) 1 ( ) P B A P B P B P B A P A P B B P B B = = = + − 0.6 0.75 1 0.4 0.5 = = − . 16．三人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别是 1 1 1 , , 5 3 4 ，求他们将此密码译 出的概率. 解 1 设 A = ‘将密码译出’， Bi = ‘第 i 个人译出’ i =1,2,3. 则 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 P A P B B B P B P B P B P B B P B B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + = + + − − 2 3 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 5 3 4 5 3 5 4 3 4 − + = + + − − − P B B P B B B 1 1 1 3 0.6 5 3 4 5 + = = . 解 2 事件如上所设，则 1 2 3 4 2 3 3 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 0.6 5 3 4 5 P A P A P B B B = − = − = − = = . 17．甲、乙、丙三人向一架飞机进行射击，他们的命中率分别为 0.4，0.5，0.7。设飞机 中一弹而被击落的概率为 0.2，中两弹而被击落的概率为 0.6，中三弹必然被击落，今三人各 射击一次，求飞机被击落的概率
解设A=‘飞机被击落'，B=‘飞机中i弹’i=L,2,3. 则 P(A)=P(B)P(AB )+P(B2 )P(AB2)+P(B )P(AB) =0.2P(B)+0.6P(B2)+P(B3) 设C,=‘第i个人命中'，i=1,2,3,则 P(B)=P(C C2C3)+P(C C2 C3)+P(C C2C3) =0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7+0.6×0.5×0.3=0.36, P(B )=P(CC2C;)+P(CC2C:)+P(C C2C; =0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7=0.41, P(B)=P(CC2C3)=0.4×0.5×0.7=014, 所以 P(A)=0.2×0.36+0.6×0.41+0.14=0.458. 18.某考生想借一本书，决定到三个图书馆去借，对每一个图书馆而言，有无这本书的 概率相等：若有，能否借到的概率也相等，假设这三个图书馆采购、出借图书相互独立，求 该生能借到此书的概率 解1设A=‘该生能借到此书'，B=‘从第i馆借到’i=1,2,3. 则 P(B)=P(B2)=P(B)=P(第i馆有此书且能借到) 111 =224 1.11 P(B B2)=P(BB)=P(B2 B ) 4416 1111 P(B B2B)= 44464 于是 P(A)=P(B+B2+B:)=P(B)+P(B2)+P(B)-P(B B2)-P(BB) -P(B,B,)+P(BB,B,)=416+6464 33,137
解 设 A = ‘飞机被击落’， Bi = ‘飞机中 i 弹’ i =1,2,3 . 则 1 1 2 2 3 3 P A P B P A B P B P A B P B P A B ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) = + + = + + 0.2 ( ) 0.6 ( ) ( ) P B P B P B 1 2 3 设 Ci = ‘第 i 个人命中’， i =1,2,3 ，则 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 P B P C C C P C C C P C C C ( ) ( ) ( ) ( ) = + + = + + = 0.4 0.5 0.3 0.6 0.5 0.7 0.6 0.5 0.3 0.36 ， 2 1 2 3 2 3 1 2 3 P B P C C C P CC C P C C C ( ) ( ) ( ) ( ) = + + = + + = 0.4 0.5 0.3 0.4 0.5 0.7 0.6 0.5 0.7 0.41， 3 1 2 3 P B P C C C ( ) ( ) 0.4 0.5 0.7 0.14 = = = ， 所以 P A( ) 0.2 0.36 0.6 0.41 0.14 0.458 = + + = . 18．某考生想借一本书，决定到三个图书馆去借，对每一个图书馆而言，有无这本书的 概率相等；若有，能否借到的概率也相等，假设这三个图书馆采购、出借图书相互独立，求 该生能借到此书的概率. 解 1 设 A = ‘该生能借到此书’， Bi = ‘从第 i 馆借到’ i =1,2,3. 则 1 2 3 P B P B P B P ( ) ( ) ( ) === (第 i 馆有此书且能借到) 1 1 1 2 2 4 = = ， 1 2 1 3 2 3 1 1 1 ( ) ( ) ( ) , 4 4 16 P B B P B B P B B = = = = 1 2 3 1 1 1 1 ( ) 4 4 4 64 P B B B = = . 于是 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 P A P B B B P B P B P B P B B P B B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + = + + − − 2 3 1 2 3 3 3 1 37 ( ) ( ) 4 16 64 64 − + = − + = P B B P B B B
解2P(A)=1-P(A=1-P(BB,B)=1- 64 解3事件如解1所设，则 A=B +B B2+B B2 B3, 故 P(A)=P(B )+P(B B,)+P(BB,B.) 片+时 19.设P(A)>0,P(B)>0,证明A、B互不相容与A、B相互独立不能同时成立 证若A、B互不相容，则AB=中，于是P(AB)=0≠P(A)P(B)>0所以A、B不 相互独立. 若A、B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)>O,于是AB≠中，即A、B不是互不 相容的。 注：从上面的证明可得到如下结论： 1)若A、B互不相容，则A、B又是相互独立的一P(A)=0或P(B)=0. 2)因A=BA+BA,所以P(A)=P(BA)+P(BA) 如果P(B)=1,则P(BA)=0,从而 P(AB)=P(A)=P(A)P(B) 可见概率是1的事件与任意事件独立，自然，必然事件与任意事件独立 如果P(B)=0,则P(AB)=O=P(A)P(B),即概率是零的事件与任意事件独立，自 然，不可能事件与任何事件独立。 20.证明若三事件A,B,C相互独立，则AUB及A-B都与C独立。 P((AUB)C)=P(ACUBC)=P(AC)+P(BC)-p(ABC) =P(B)P(C)+P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C) =[P(A)+P(B)-P(AB)]P(C)
解 2 3 1 2 3 3 37 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 4 64 P A P A P B B B = − = − = − = . 解 3 事件如解 1 所设，则 A B B B B B B = + + 1 1 2 1 2 3 ， 故 1 1 2 1 2 3 P A P B P B B P B B B ( ) ( ) ( ) ( ) = + + 1 3 1 3 3 1 37 4 4 4 4 4 4 64 = + + = . 19．设 P A P B ( ) 0, ( ) 0 ，证明 A 、 B 互不相容与 A 、 B 相互独立不能同时成立. 证 若 A 、B 互不相容，则 AB = ，于是 P AB P A P B ( ) 0 ( ) ( ) 0 = 所以 A 、B 不 相互独立. 若 A 、 B 相互独立，则 P AB P A P B ( ) ( ) ( ) 0 = ，于是 AB ，即 A 、 B 不是互不 相容的. 注：从上面的证明可得到如下结论： 1）若 A 、 B 互不相容，则 A 、 B 又是相互独立的 = P A( ) 0 或 P B( ) 0 = . 2）因 A BA BA = + ，所以 P A P BA P BA ( ) ( ) ( ) = + 如果 P B( ) 1 = ，则 P BA ( ) 0 = ，从而 P AB P A P A P B ( ) ( ) ( ) ( ) = = 可见概率是 1 的事件与任意事件独立，自然，必然事件与任意事件独立. 如果 P B( ) 0 = ，则 P AB P A P B ( ) 0 ( ) ( ) = = ，即概率是零的事件与任意事件独立，自 然，不可能事件与任何事件独立。 20．证明若三事件 A B C , , 相互独立，则 A B 及 A B− 都与 C 独立。 证 P A B C P AC BC P AC P BC p ABC {( ) } ( ) ( ) ( ) ( ) = = + − = + − P B P C P B P C P A P B P C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + − [ ( ) ( ) ( )] ( ) P A P B P AB P C
=P(AUB)P(C) 即AUB与C独立. P((A-B)C)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=P(AB)P(C) =P(A-B)P(C) 即A-B与C相互独立 21.一个教室里有4名一年级男生，6名一年级女生，6名二年级男生，若干名二年级 女生，为要我们在随机地选择一名学生时，性别和年级是相互独立的，教室里的二年级女生 应为多少名？ 解设还应有N名二年级女生，A=‘任选一名学生为男生’，B=‘任选一名学生为 一年级’，则 PA=、10 N+1 ,P(B)=N+16 10 =96音G 欲性别和年级相互独立，即 P(AB)=P(A)P(B), 4=1010 N+16N+16N+16 所以N=9,即教室里的二年级女生应为9名。 22.图中1,2,3,4,5表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率均为p, 且设各继电器闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率， 解设A=‘L-R是通路'，B=‘第i个接点闭合’i=1,2,3,4,5,则 A=BB,UB B UB B BUB BB, P(A)=P(B B2 )+P(BB)+P(BB:Bs)+P(BB,B2)-P(B2 BB Bs)-P(B B2 B:B) -P(B B2 BB)-P(B B2 B,Bs)-P(BBB Bs)-P(B B2 BB Bs)
= P A B P C ( ) ( ) 即 A B 与 C 独立. P A B C P ABC P A P B P C P AB P C {( ) } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − = = = = − P A B P C ( ) ( ) 即 A B− 与 C 相互独立. 21．一个教室里有 4 名一年级男生，6 名一年级女生，6 名二年级男生，若干名二年级 女生，为要我们在随机地选择一名学生时，性别和年级是相互独立的，教室里的二年级女生 应为多少名？ 解 设还应有 N 名二年级女生， A = ‘任选一名学生为男生’， B = ‘任选一名学生为 一年级’，则 10 ( ) 16 P A N = + ， 10 ( ) 16 P B N = + ， 10 4 4 ( ) 16 10 16 P AB N N = = + + ， 欲性别和年级相互独立，即 P AB P A P B ( ) ( ) ( ) = ， 4 10 10 N N N 16 16 16 = + + + 所以 N = 9 ，即教室里的二年级女生应为 9 名。 22．图中 1，2，3，4，5 表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率均为 p ， 且设各继电器闭合与否相互独立，求 L 至 R 是通路的概率. 解 设 A = ‘ L R− 是通路’， Bi = ‘第 i 个接点闭合’ i =1,2,3,4,5 ，则 A B B B B B B B B B B = 1 2 4 5 1 3 5 4 3 2 1 2 4 5 1 3 5 4 3 2 2 3 4 5 1 2 3 4 P A P B B P B B P B B B P B B B P B B B B P B B B B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + + − − 1 2 4 5 1 2 3 5 1 3 4 5 1 2 3 4 5 − − − − P B B B B P B B B B P B B B B P B B B B B ( ) ( ) ( ) ( ) L 1 4 5 3 2 R
+P(B B2 B BBs)+P(B B2 B BB)+P(B B2 B BBs) +P(BB,BBBs)-P(BB,BBBs)=2p2+2p-5p+2p 23.一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80/81，求该射 手的命中率。 解设该射手的命中率为p,由题意 10-pr,0-pn1-p-月 1 81 所以p=3 24.设一批晶体管的次品率为0.01，今从这批晶体管中抽取4个，求其中恰有一个次品 和恰有两个次品的概率。 解P(1)=C4(0.01)0.99)3=0.0388 P(2)=C(0.01)2(0.99)2=0.000588 25.考试时有四道选择题，每题附有4个答案，其中只有一个是正确的。一个考生随意 地选择每题的答案，求他至少答对三道题的概率。 解答对每道题的概率为二，所求概率为 e+④-c 13 256 26.设在伯努里试验中，成功的概率为p,求第n次试验时得到第r次成功的概率。 解设A=‘第n次试验时得到第r次成功'，则 A=‘前n-1次试验，成功r-1次，第n次试验出现成功'， 所以 P(A)=P(前n-1次试验，成功r-1次)P(第n次试验成功) =Cp-(1-p)"-r·p=Cp'(1-p)"- 27.设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试， 经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品，不能出厂。现该厂生产了n(n≥2) 台仪器（假定各台仪器的生产过程相互独立）。求(1)全部能出厂的概率：(2)其中恰 有两台不能出厂的概率B:(3)其中至少有两台不能出厂的概率B
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 + + + P B B B B B P B B B B B P B B B B B ( ) ( ) ( ) 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 + − = + − + P B B B B B P B B B B B p p p p ( ) ( ) 2 2 5 2 . 23．一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为 80/81，求该射 手的命中率。 解 设该射手的命中率为 p ，由题意 80 4 1 (1 ) 81 = − − p ， 4 1 (1 ) 81 − = p ， 1 1 3 − = p 所以 2 3 p = . 24．设一批晶体管的次品率为 0.01，今从这批晶体管中抽取 4 个，求其中恰有一个次品 和恰有两个次品的概率。 解 1 3 4 4 P C (1) (0.01)(0.99) 0.0388 = = . 2 2 2 4 4 P C (2) (0.01) (0.99) 0.000588 = = . 25．考试时有四道选择题，每题附有 4 个答案，其中只有一个是正确的。一个考生随意 地选择每题的答案，求他至少答对三道题的概率。 解 答对每道题的概率为 1 4 ，所求概率为 3 4 3 4 4 4 1 3 1 13 (3) (4) 4 4 4 256 P P C + = + = . 26．设在伯努里试验中，成功的概率为 p ，求第 n 次试验时得到第 r 次成功的概率. 解 设 A = ‘第 n 次试验时得到第 r 次成功’，则 A = ‘前 n−1 次试验，成功 r −1 次，第 n 次试验出现成功’， 所以 P A P ( ) = （前 n−1 次试验，成功 r −1 次） P （第 n 次试验成功） 1 1 1 1 1 (1 ) (1 ) r r n r r r n r C p p p C p p n n − − − − − = − = − − − . 27．设一厂家生产的每台仪器，以概率 0.7 可以直接出厂，以概率 0.3 需进一步调试， 经调试后以概率 0.8 可以出厂，以概率 0.2 定为不合格品，不能出厂。现该厂生产了 n n( 2) 台仪器（假定各台仪器的生产过程相互独立）。求（1）全部能出厂的概率 ；（2）其中恰 有两台不能出厂的概率 ；（3）其中至少有两台不能出厂的概率