习题四 1.一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字1,2,2,3，今从袋中任 取一球后不放回，再从袋中任取一球，以X,Y分别表示第一次，第二次取出的 球上的标号，求(X,Y)的分布列. 解(X,Y)的分布列为 2 3 1 1 0 1 12 2 6 6 6 1 1 3 12 6 0 其中P(X=1,Y=1)=P(X=1)P(Y=1|X=1)=0 P(X=1,Y=2)=P(X=1)P(Y=2|X=1) 121 436 余者类推。 2.将一枚硬币连掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三 次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出(X,Y)的分布列及边 缘分布列。 解 一枚硬币连掷三次相当于三重贝努里试验，故X~B(3, PX=k)=C(,k=0,12,3,于是(X,)的分布列和边缘分布为 ·34·
·34· 习 题 四 1．一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字 1,2,2,3，今从袋中任 取一球后不放回，再从袋中任取一球，以 X Y, 分别表示第一次，第二次取出的 球上的标号，求 ( , ) X Y 的分布列. 解 ( , ) X Y 的分布列为 1 2 3 1 1 1 0 6 12 1 1 1 2 6 6 6 1 1 3 0 12 6 其中 P X Y P X P Y X ( 1, 1) ( 1) ( 1| 1) 0 = = = = = = = P X Y P X P Y X ( 1, 2) ( 1) ( 2 | 1) = = = = = = 1 2 1 4 3 6 = = 余者类推。 2．将一枚硬币连掷三次，以 X 表示在三次中出现正面的次数，以 Y 表示三 次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出 ( , ) X Y 的分布列及边 缘分布列。 解 一 枚硬 币连 掷 三次 相当 于三 重贝 努里 试 验， 故 1 ~ (3, ). 2 X B 3 3 1 ( ) ( ) , 0,1,2,3 2 k P X k C k = = = ，于是 ( , ) X Y 的分布列和边缘分布为 X Y
0 12 3 P.i 3 0 0 ① 8 5-8 8 3 8 0 0 8 2-8 Pi. 3 3 8 8 其中P(X=0,Y=1)=P(X=0)P(Y=1川X=0)=0, P(X-1Y-D-P(X-DP-X-D-Cx- 余者类推。 3.设(X,Y)的概率密度为 f(x,y)= 6-x-y0<x<2,2<y<4 8 0 ，其它 又(1)D-{(x,y)川x<1,y<3}:(2)D={(x,y)川x+y<3}。求P{(X,Y)∈D 解 DPWeD1=g6-x-hd (2)P( =3-∫。x--8--4s r+1=3 5 24 4.设(X,Y)的概率密度为 ·35·
·35· 0 1 2 3 3 3 6 1 0 0 8 8 8 1 1 2 3 0 0 8 8 8 1 3 3 1 8888 j i p p 其中 P X Y P X P Y X ( 0, 1) ( 0) ( 1| 0) 0 = = = = = = = ， 1 3 3 1 3 ( 1, 1) ( 1) ( 1| 1) ( ) 1 2 8 P X Y P X P Y X C = = = = = = = = ， 余者类推。 3．设 ( , ) X Y 的概率密度为 1 (6 ), 0 2, 2 4, ( , ) 8 0 , . x y x y f x y − − = 其它 又（1） D x y x y = {( , ) | 1, 3} ；（2） D x y x y = + {( , ) | 3} 。求 P X Y D {( , ) } 解 （1） 1 3 0 2 1 {( , ) } (6 ) 8 P x y D x y dxdxy = − − 1 1 9 4 3 6 8 2 2 8 − = − − = ； （2） 1 3 0 2 1 {( , ) } (6 ) 8 x P X Y D x y dxdy − = − − 1 1 2 0 0 1 1 3 (1 ) [(3 ) 4] 8 2 x x dx x dx = − − − − − 5 24 = . 4．设 ( , ) X Y 的概率密度为 Y X x x+y=3 4 2 2 y
JC(R-VR+y),2+y≤R, fx=0, 其他 求(1)系数C:(2)(X,)落在圆x2+y2≤r2(r<R)内的概率 解（1)1=C,∬(R-VR+y)kd=CπR-C可。∫。rdhd0 2+2 -c-2]-cs C=3 (2)设D={(x,y)川x2+y2≤2}，所求概率为 H刀e明=R-Ta 3 -2- 5.己知随机变量X和Y的联合概率密度为 4y,0≤x≤1,0≤y≤1 f(x,y)= 0,其它 求X和Y的联合分布函数. 解：设(X,Y)的分布函数为F(x,y),则 ·36·
·36· 2 2 2 2 2 ( ), , ( , ) 0 , . C R x y x y R f x y − + + = 其他 求（1）系数 C ；（2） ( , ) X Y 落在圆 2 2 2 x y r r R + ( ) 内的概率. 解 （1） 2 2 2 2 2 2 3 2 0 0 1 ( ) R x y R C R x y dxdy C R C r drd + = − + = − 3 3 3 2 3 3 R R C R C = − = ， 3 3 C R = . （2）设 2 2 2 D x y x y r = + {( , ) | } ，所求概率为 2 2 2 2 2 3 3 {( , ) } ( ) x y r P X Y D R x y dxdy R + = − + 3 2 2 3 2 3 2 3 2 1 3 3 r r r Rr R R R = − = − . 5．已知随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为 4 , 0 1, 0 1 ( , ) 0 , . xy x y f x y = 其它 求 X 和 Y 的联合分布函数. 解 1 设 ( , ) X Y 的分布函数为 F x y ( , ) ，则
02 x1, ∫gJg4ot, x>1,0≤y≤1， 1, x>1,y>1. 0, x1, x>1,0≤y≤1 1, x>1,y>1 解：由联合密度可见，X,Y独立，边缘密度分别为 2x,0≤x≤1， 2y, 0≤y≤1， fx(x)= 0,其他： y)= 10,其它 边缘分布函数分别为Fx(x),F(y),则 0,x1. 0, y1. 设(X,Y)的分布函数为F(x,y),则 ·37·
·37· ( , ) ( , ) x y F x y f u v dudv − + = 0 0 1 0 0 1 0 0 0 , 0 0, 4 , 0 1, 0 1, 4 , 0 1, 1, 4 , 1, 0 1, 1 , 1, 1. x y x y x y uvdudv x y uydudy x y xvdxdv x y x y = 或 2 2 2 2 0, 0 0, , 0 1, 0 1, , 0 1, 1, , 1, 0 1, 1 , 1, 1. x y x y x y x x y y x y x y = 或 解 2 由联合密度可见， X Y, 独立，边缘密度分别为 2 , 0 1, ( ) 0 , ; X x x f x = 其他 2 , 0 1, ( ) 0 , . Y y y f y = 其它 边缘分布函数分别为 ( ), ( ) F x F y X Y ，则 2 0, 0, ( ) ( ) , 0 1, 1 , 1. x X X x F x f u du x x x − = = 2 0, 0, ( ) ( ) , 0 1, 1 , 1. y Y X y F y f v dv y y y − = = 设 ( , ) X Y 的分布函数为 F x y ( , ) ，则
0, x1, x>1,0≤y≤1， 1 x>1,y>1. 6.设二维随机变量(X,Y)在区域D:0<x<1,ykx内服从均匀分布， 求边缘概率密度。 解(X,Y)的概率密度为 1,(x,y)∈D, f(x,y) 0,其他 关于X和Y的密度为 0, x≤0或x≥1 f()=∫fxw= 2x,0<x<1 ,0<x< 0,其他 0 y≤-1， ,a-1<vs0 1+y,-1<y≤0 f0)=∫fx,y)k= =1-y,0<y<1 0<y<1 0,其他 0, y≥1 - lyk1, 0，其他 7.设(X,Y)的概率密度为 x+1=】 e-,O<x<y, f(x,y)= 0,其他 求边缘密度和概率P(X+Y≤1) ·38·
·38· 2 2 2 2 0, 0 0, , 0 1, 0 1 ( , ) ( ) ( ) , 0 1, 1, , 1, 0 1, 1 , 1, 1. X Y x y x y x y F x y F x F y x x y y x y x y = = 或 6．设二维随机变量 ( , ) X Y 在区域 D x :0 1 ，| | y x 内服从均匀分布， 求边缘概率密度。 解 ( , ) X Y 的概率密度为 1, ( , ) , ( , ) 0, . x y D f x y 其他 关于 X 和 Y 的密度为 0 , 0 1 ( ) ( , ) , 0 1, X x x x x f x f x y dy dy x + − − = = 或 2 , 0 1, 0 , . x x = 其他 1 1 0, 1, , 1 0, ( ) ( , ) , 0 1, 0 , 1. y Y y y dx y f y f x y dx dx y y + − − − − = = 1 , 1 0, 1 , 0 1, 0 , . y y y y + − = − 其他 1 | |, | | 1, 0 , . − y y = 其他 7．设 ( , ) X Y 的概率密度为 , 0 , ( , ) 0 , . y e x y f x y − = 其他 求边缘密度和概率 P X Y ( 1) + y x 0 1 D x+y=1 1 y x 0 x=y
解 -r x≤0,0，x≤0， y≤0,0，y≤0， c油ete Px+Y≤=广fh=0,ed=可e-eea =1-2e2+el. 8.一电子仪器由两个部件组成，以X和Y分别表示两个部件的寿命（单位： 千小时)已知X,Y的联合分布函数为： F(x,y)= 1-es-e5+ea,x≥0，y≥0 0, 其他 (1)问X,Y是否独立？为什么？ (2)求两个部件的寿命都超过100小时的概率. 解(1)先求边缘分布函数： Fx(x)=lim F(x,y)= 1-e05x,x≥0， 0 ，x<0. ,y<0. 因为F(x,y)=Fx(x)F(y),所以X,Y独立. (2)P(X≥0.1，Y≥0.1)=P(X≥0.1)PY≥0.1)=[1-P(X≤0.1]1-P(Y≤0.1] =e0.05.e0,05=e01. ·39·
·39· 解 0 , 0, 0, 0, ( ) ( , ) , 0; , 0. X y x x x x f x f x y dy e dy x e x + + − − − = = = 0 0 , 0, 0 , 0, ( ) ( , ) , 0; , 0. Y y y y y y f y f x y dx e dx y ye y + − − − = = = 1 1 1 2 2 1 0 0 1 ( 1) ( , ) ( ) x y x x x x y P X Y f x y dxdy e dy dx e e e dx − − − − + + = = = − 1 2 1 1 2e e − − = − + . 8．一电子仪器由两个部件组成，以 X 和 Y 分别表示两个部件的寿命（单位： 千小时）已知 X Y, 的联合分布函数为： 0.5 0.5 0.5( ) 1 , 0, 0 ( , ) 0 , . x y x y e e e x y F x y − − − + − − + = 其他 （1）问 X Y, 是否独立？为什么？ （2）求两个部件的寿命都超过 100 小时的概率. 解 （1）先求边缘分布函数： 0.5 1 , 0, ( ) lim ( , ) 0 , 0. x X y e x F x F x y x − →+ − = = 0.5 1 , 0, ( ) lim ( , ) 0 , 0. y Y x e y F y F x y y − →+ − = = 因为 ( , ) ( ) ( ) F x y F x F y = X Y ，所以 X Y, 独立. （2） P X Y P X P Y P X P Y ( 0.1, 0.1) ( 0.1) ( 0.1) [1 ( 0.1)][1 ( 0.1)] = = − − 0.05 0.05 0.1 e e e − − − = =
9.设(X,Y)的概率密度为 em,x≥0，Y≥0， fx,-0, 其他 间X,Y是否独立？ 解边缘密度为 因为f(x,y)=fx(x)厂(y),所以X,Y独立. 10.设(X,Y)的概率密度为 8y,0≤xl4xl-x),0≤x≤L 8,0≤x<1.气0，其他： 4y,0≤y≤1 其他；0，其他： 因为f(x,y)≠fx(x)(y),所以X,Y不独立。 11.设(X,Y)的概率密度为 ·40·
·40· 9．设 ( , ) X Y 的概率密度为 ( ) , 0, 0, ( , ) 0 , . x y e x Y f x y − + = 其他 间 X Y, 是否独立？ 解 边缘密度为 0 0 , 0, 0 , 0, ( ) ( , ) , 0; , 0. X x y x x x f x f x y dy e e dy x e x + + − − − − = = = 0 , 0, ( ) , 0. Y y y f y e y − = 因为 ( , ) ( ) ( ) X Y f x y f x f y = ，所以 X Y, 独立. 10．设 ( , ) X Y 的概率密度为 8 , 0 1, ( , ) 0 , . xy x y f x y = 其他 问 X Y, 是否独立. 解 边缘密度 2 1 0 , 0 1, 4 (1 ), 0 1, ( ) ( , ) 8 , 0 1. 0 , X x x x x x x f x f x y dy xydy x + − − = = = 或 其他; 3 0 8 , 0 1, 4 , 0 1, ( ) ( , ) 0 , 0 , y Y xydx y y y f y f x y dx + − = = = 其他; 其他 ; 因为 ( , ) ( ) ( ) X Y f x y f x f y ，所以 X Y, 不独立。 11．设 ( , ) X Y 的概率密度为 y=x 1 y x 0 y x 0
[1+xy f(x,y)= Ixk1,Yk1, 0，其他 试证明X与Y不独立，但X2与Y是相互独立的。 证 先求X,Y的联合分布函数F(x,y) 0 x≤-1或y≤-1 dutw.k .dut.k.y. dudy,x>1,lyk1, 1, x≥1，y21 0 x≤-1或y≤-1 x+0+++产+1k1 50+), x>1,y1, 2 1, x>1,y>1 关于X的边缘分布函数为 0, x1. 关于Y的边缘分布函数为 ·41·
·41· 1 , | | 1, | | 1, ( , ) 4 0 , . xy x Y f x y + = 其他 试证明 X 与 Y 不独立，但 2 X 与 2 Y 是相互独立的。 证 先求 X Y, 的联合分布函数 F x y ( , ) 1 1 1 1 1 1 1 1 0 , 1 1, 1 , | | 1, | | 1, 4 1 ( , ) , | | 1, 1, 4 1 , 1, | | 1, 4 1 , 1, 1; x y x y x y uv dudv x y uv F x y dudv x y uv dudv x y x y − − − − − − − − + + = + 或 2 2 0 , 1 1 1 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1), | | 1, 4 16 1 ( 1), 1, | | 1 2 1 ( 1), | | 1, 1, 2 1 , 1, 1. x y x y x y x y x y x x y x y − − + + + + + = + + 或 关于 X 的边缘分布函数为 0 , 1, 1 ( ) lim ( , ) ( 1), 1 1, 2 1 , 1. X y x F x F x y x x x →+ − = = + − 关于 Y 的边缘分布函数为
0, y1 因为F(X,Y)≠Fx(x)F(y),所以X,Y不独立. 再证X2与Y独立：设X2,Y2的联合分布函数为F(z,),则 >0,1>0 F(E,)=PX2≤，Y2≤)=P-E<x≤VE,-F<Y≤N =F(NE,V)-F(NE,-√-F(-√E,+F(-VE,-N 0 z≤0或t≤0， √E, 0<z<1,0<t<1, i, z21,0<1<1, √E, 0<z<1,t≥1 1 z≥1，t≥1. 关于X(Y2)的边缘分布函数分别为 0,z≤0， F()=lim F (=,t)=,0<<1, 1,z≥1. 0,t≤0， F0={E, 0<t<1, 1,1≥1. 因为F(2,)=Fx(z)F(),所以X2与Y独立. 证？利用随机向量的变换（参见王梓坤《概率基础及其应用》83页） 设Z=X2,T=Y2. ·42
·42· 0 , 1, 1 ( ) ( 1), 1 1, 2 1 , 1. Y y F y y y y − = + − 因为 ( , ) ( ) ( ) F X Y F x F y X Y ，所以 X Y, 不独立. 再证 2 X 与 2 Y 独立：设 2 2 X Y, 的联合分布函数为 1 F z t ( , ) ，则 0, 0 2 2 1 ( , ) ( , ) { , } z t F z t P X z Y t P z x z t Y t = ==== − − = − − − − + − − F z t F z t F z t F z t ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 , 0 0, , 0 1, 0 1, , 1, 0 1, , 0 1, 1, 1 , 1, 1. z t tz z t t z t z z t z t = 或 关于 2 2 X Y( ) 的边缘分布函数分别为 2 1 0 , 0, ( ) lim ( , ) , 0 1, 1 , 1. X t z F z F z t z z z →+ = = 2 0 , 0, ( ) , 0 1, 1 , 1. Y t F t t t t = 因为 1 ( , ) ( ) ( ) 2 2 X Y F z t F z F t = ，所以 2 X 与 2 Y 独立. 证 2 利用随机向量的变换（参见王梓坤《概率基础及其应用》83 页） 设 2 2 Z X T Y = = ,
函数z=x2的反函数为x=√2，x2=-√2；1=y2的反函数为 y=VE,为2=- 1 2 0 a J1三 a小 4z1 0 2W万 于是(X2,Y2)的概率密度函数为 E0-22eyul 1-1-E1同点 0<z<1,0<1<1 0, 其他 ={4VEi 0<z<1,0<1<1, 0， 其它 关于X2的边缘密度为 1 ∫(a)=∫f(,0dh=2E1 0<z<1, 0，其它 关于y2的边缘密度为：(0=2 0<t<1 0，其他 因为f(2,)=fx:(2)∫：()，所以X2,Y2独立. 12.设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)的联合 分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余值填入表中空 ·43
·43· 函 数 2 z x = 的 反 函 数 为 2 1 2 x z x z t y = = − = , ; 的 反 函 数 为 1 2 y t y t = = − , . 1 1 11 1 1 1 , 0 2 1 1 4 , 0 2 x x z t z J y y zt z t t = = = ， 22 11 12 21 1 , 4 J J J J zt = = = − ； 于是 2 2 ( , ) X Y 的概率密度函数为 2 2 1 1 1 ( , ) ( , ) | | i j ij i j f z t f x y J = = = 1 1 [1 1 1 1 ] , 0 1, 0 1, 4 4 0 , . zt zt zt zt z t zt + + − + − + + = 其他 1 , 0 1, 0 1, 4 0 , z t zt = 其它. 关于 2 X 的边缘密度为 2 1 1 , 0 1, ( ) ( , ) 2 0 , . X z f z f z t dt z + − = = 其它 关于 2 Y 的边缘密度为 2 1 , 0 1, ( ) 2 0 , . Y t f t t = 其他 因为 1 ( , ) ( ) ( ) 2 2 X Y f z t f z f t = ，所以 2 2 X Y, 独立. 12．设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出了二维随机变量 ( , ) X Y 的联合 分布律及关于 X 和关于 Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余值填入表中空