
习题七 1.对某一距离进行5次测量,结果如下: 2781,2836,2807,2765,2858(米). 己知测量结果服从N(4,σ2),求参数4和σ2的矩估计. 解4的矩估计为立=X,。2的矩估计为62=之(X-X=S n i=l X=2(2781+2836+2807+2765+2858)=2809.0, S2=5×5854.0=1170.84 所以 4=2809,62=1170.8 2.设X1,X2,…,Xn是来自对数级数分布 P(X=k)=- 1 p* (0<p<1,k=1,2, lu(1-p)k 的一个样本,求p的矩估计 解4-立p -1之p=n-p)'1-p 1n1-p)-nl-p合 1.P (1) 因为卫很难解出来,所以再求总体的二阶原点矩 4-宫rnn”n2wn”n贰gr (2) ln(1-p)1-p)3 D+2)得丝=1-p所以p=么二-4 42 42 。90·
·90· 习 题 七 1.对某一距离进行 5 次测量,结果如下: 2781, 2836, 2807, 2765, 2858 (米). 已知测量结果服从 2 N( , ) ,求参数 和 2 的矩估计. 解 的矩估计为 ˆ = X , 2 的矩估计为 2 2 *2 1 1 ˆ ( ) n i i X X S n = = − = 1 (2781 2836 2807 2765 2858) 2809.0 5 X = + + + + = , *2 1 5854.0 1170.84 5 S = = 所以 2 = = 2809, 1170.8 ˆ 2.设 1 2 , , , X X Xn 是来自对数级数分布 1 ( ) , (0 1, 1,2, ) (1 ) k p P X k p k lu p k = = − = − 的一个样本,求 p 的矩估计. 解 1 1 1 1 1 1 ln(1 ) ln(1 ) ln(1 ) 1 k k k k p p p p p p p = = − = = − = − − − − − (1) 因为 p 很难解出来,所以再求总体的二阶原点矩 1 2 1 1 1 1 ln(1 ) ln(1 ) ln(1 ) k k k k k k x p p p kp kp x p p p − = = = = − = = − = − − − − 2 1 ln(1 ) 1 ln(1 ) (1 ) x p p x p p x p p = = − = − − − − − (2) (1) (2)得 1 2 1 p = − 所以 2 1 2 p − =

所以得p的矩估计 12x- p= n i=l =1- 2 ni 3.设总体X服从参数为N和p的二项分布,X1,X2,…,Xn为取自X的 样本,试求参数N和p的矩估计 解 4=p, 42=p1-p)+(Wp)2 解之得N=4P, I-p)+N=, 即 N=凸, p=1-- 凸 所以N和p的矩估计为 D p=1-8* 8= 4.设总体X具有密度 cx x>C, f(x,)= 0 其他 其中参数00,从中抽得一个样本, X1,X2,…,Xm,求0的矩估计 ·91·
·91· 所以得 p 的矩估计 2 1 2 2 1 1 1 1 n i i n i i X X n X p X n = = − = = − 3.设总体 X 服从参数为 N 和 p 的二项分布, 1 2 , , , X X Xn 为取自 X 的 样本,试求参数 N 和 p 的矩估计 解 1 2 2 , (1 ) ( ) Np Np p Np = = − + 解之得 1 N p = / , 2 1 (1 ) p Np − + = , 即 1 N p = , 2 2 1 1 p 1 − = − , 所以 N 和 p 的矩估计为 ˆ X N p = , *2 1 S p X = − . 4.设总体 X 具有密度 1 1 1 (1 ) , , ( ; ) 0 , . C x x C f x − + = 其他 其中参数 0 1, C 为已知常数,且 C 0 ,从中抽得一个样本, 1 2 , , , X X Xn ,求 的矩估计

w-a 0 =C8 1 0-1 c-ci-o 解出0得 于是0的矩估计为 01-月 5.设总体的密度为 (a+1)x,0<x<1, fx,={0 ,其他 试用样本X1,X2,…,Xn求参数α的矩估计和极大似然估计. 解先求矩估计: 4=r-a*+nr"-2r- a+21 解出a得 a=1-24 4-19 所以a的矩估计为 1-2x a-x-1 再求极大似然估计: L(X1,…,Xna)=(a+1)x=(a+1)(xx2…xn), hL=mina+)+a2n关, ·92·
·92· 解 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 C C EX C x dx C x + + − − = = = − 1 1 1 ( ) 1 1 C C C C − = − = − − , 解出 得 1 1 , C = − 于是 的矩估计为 1 C X = − . 5.设总体的密度为 ( 1) , 0 1, ( ; ) 0 , . x x f x + = 其他 试用样本 1 2 , , , X X Xn 求参数 的矩估计和极大似然估计. 解 先求矩估计: 1 1 1 2 1 0 0 1 1 ( 1) , 2 2 EX x dx x + + + + = = + = = + + 解出 得 1 1 1 2 , 1 − = − 所以 的矩估计为 1 2 1 X X − = − . 再求极大似然估计: 1 1 2 1 ( , , ; ) ( 1) ( 1) ( ) n n n i n i L X X x x x x = = + = + , 1 ln ln( 1) ln n i i L n x = = + +

da a+1 解得α的极大似然估计: n a=-(1+ nx i=l 6.已知总体X在[,日]上服从均匀分布,X,…Xn是取自X的样本,求 0,日的矩估计和极大似然估计. 解先求矩估计: 4=EX=8+ 2 4=Ex=8-8上+8+8》_+88+8 12 4 3 解方程组 =9+8 2 e+802+e 3 得 8=4±V342-4), 02=4干√3(42-4) 注意到0<02,得日,82的矩估计为 01=-√5S,02=+V5S 再求极大似然估计 8a-1a日”aa8sksa, 由极大似然估计的定义知,日,,日的极大似然估计为 ·93·
·93· 1 ln ln 0 1 n i i d L n x d = = + + , 解得 的极大似然估计: 1 (1 ) ln n i i n x = = − + . 6.已知总体 X 在 1 2 [ , ] 上服从均匀分布, X X 1 n 是取自 X 的样本,求 1 2 , 的矩估计和极大似然估计. 解 先求矩估计: 1 2 1 2 EX + = = , 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 ( ) ( ) 12 4 3 EX − + + + = = + = 解方程组 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 3 + = + + = 得 2 1 1 2 1 = − 3( ), 2 2 1 2 1 = − 3( ). 注意到 1 2 ,得 1 2 , 的矩估计为 * 1 = − X S3 , * 2 = + X S3 . 再求极大似然估计 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 ( , , ; , ) ( ) n n n i L X X = = = − − , 1 1 2 2 , , , n x x x , 由极大似然估计的定义知, 1 2 , 的极大似然估计为

01=min(X1,…,Xn)=Xo:02=maxX1,…,Xn)=Xm 7.设总体的密度函数如下,试利用样本x,x2,…,xn,求参数日的极大似 然估计 (0a)xa-le-ox",x>0, (1)f(x;8)= 0, 其它;au已知 2)fx)-2e,-0<0<0,-n<x<+o 解)X,,X:0)=exe=6rak…yre空 hux)-nino+alna+(a- 解似然方程 得日的极大似然估计 0= e 22 由极大似然估计的定义得日的极大似然估计为样本中位数,即 n为奇数, 8= 二(X +X。 ),n为偶数 2孕 8.设总体X服从指数分布 ·94·
·94· 1 = = min( , , ) X X X 1 (1) n ; 2 = = max( , , ) X X X 1 ( ) n n . 7.设总体的密度函数如下,试利用样本 1 2 , , , n x x x ,求参数 的极大似 然估计. (1) 1 ( ) , 0, ( ; ) 0 , . x x e x f x − − = 其它; 已知 (2) 1 | | ( ; ) , , 2 x f x e x − − = − + − + . 解 (1) 1 1 1 1 1 1 ( , , ; ) ( ) ( ) n i i i n x x n n n i n i L X X x e x x e = − − − − = = = 1 1 1 ln ( ; ) ln ln ( 1) ln n n n i i i i L X X n n x x = = = + + − − 1 ln 0 n i i d L n x d = = − 解似然方程 1 n i i n x = = , 得 的极大似然估计 1 . n i i n x = = (2) 1 | | | | 1 1 1 1 ( ; ) 2 2 n i i i n x x n n i L X X e e = − − − − = = = 由极大似然估计的定义得 的极大似然估计为样本中位数,即 1 ( ) 2 ( ) ( 1) 2 2 , 1 ( ), . 2 n n n X n X X n + + = + 为奇数, 为偶数 8.设总体 X 服从指数分布

其他 试利用样本X,,X,…,Xn求参数日的极大似然估计 解(XX:)=1en=e交 ,x,≥0,i=1,2,…,n. nL=n0-立x dInL =n≠0 de 由极大似然估计的定义,B的极大似然估计为8=x) 9.设X1,X2,…,Xn来自几何分布 PX=k)=p1-p)-,k=1,2,…,0X,-n)In(1-p). ∑x,-n 0 dp p 1-p 解似然方程 -n+X n i=l b 1-p 得p的极大似然估计 p=反 ·95·
·95· ( ) , , ( ; ) 0 , . x e x f x − − = 其他 试利用样本 1 2 , , , X X Xn 求参数 的极大似然估计. 解 1 ( ) 1 1 ( , , ; ) , , 1,2, , . n i i i n x n x n i i L X X e e x i n = − + − − = = = = 1 ln n i i L n X = = − ln 0 d L n d = 由极大似然估计的定义, 的极大似然估计为 (1) = x 9.设 1 2 , , , X X Xn 来自几何分布 1 ( ) (1 ) , 1,2, , 0 1 k P X k p p k p − = = − = , 试求未知参数 p 的极大似然估计. 解 1 1 1 1 ( , , ; ) (1 ) (1 ) n i i i n x n x n n i L x x p p p p p = − − = = − = − , 1 ln ln ( )ln(1 ), n i i L n p X n p = = + − − 1 ln 0, 1 n i i X n d L n dp p p = − = − − 解似然方程 1 1 n i i n X n p p = − + = − , 得 p 的极大似然估计 1 p X =

10.设X1,X2,…,Xn是来自两个参数指数分布的一个样本 凸 x>8, f(x8,82)=02 0,其它 其中-08,1=2 i=1 nl=-nh品-g父x-8) 02a oInL_n0 a802 由极大似然估计的定义,得日的极大似然估计为 01=x0)9 ag安空光-网)0 oInL -n,1 -十 解似然方程得日,的极大似然估计 02=X-x) (2)4=EX=81+8 h=EX2=DX+[E(X)P=0+(8+02)2 解方程组 41=81+82, 42=0+(0+02)2, 得 =42-4, 8=4-V4-4风 ·96·
·96· 10.设 1 2 , , , X X Xn 是来自两个参数指数分布的一个样本. 1 2 1 1 2 2 1 , , ( ; , ) 0 , . x e x f x − − = 其它 其中 1 2 − + + , 0 ,求参数 1 和 2 的(1)极大似然估计;(2) 矩估计。 解 (1) 1 2 1 1 2 1 1 2 1 ( , , ; , ) , , 1,2, , . i x n n i i L X X e x i n − − = = = 2 1 2 1 1 ln ln ( ) n i i L n X n = = − − − 1 2 ln 0 L n = 由极大似然估计的定义,得 1 的极大似然估计为 1 (1) = x ; 2 1 2 2 2 1 ln 1 ( ) 0 n i i L n X n = − = + − 解似然方程得 2 的极大似然估计 2 = − X x(1) (2) 1 1 2 = = + EX 2 2 2 2 2 2 1 2 = = + = + + EX DX E X [ ( )] ( ) 解方程组 1 1 2 2 2 2 2 1 2 , ( ) , = + = + + 得 2 2 2 2 1 = − , 2 1 1 2 1 = − −

所以日,8,的矩估计为 01=元-S, 0=S"=S". 11.罐中有N个硬币,其中有0个是普通硬币(掷出正面与反面的概率各 为0.5)其余N-0个硬币两面都是正面,从罐中随机取出一个硬币,把它连掷 两次,记下结果,但不去查看它属于哪种硬币,如此重复次,若掷出0次、1 次、2次正面的次数分别为,n1,n2,利用(1)矩法:(2)极大似然法去估 计参数0。 解设X为连掷两次正面出现的次数,A=‘取出的硬币为普通硬币’,则 PX=0=PPX=014+P闭PX=01=是=品 Prx==P0Px=I0+PaPX==是cC=品 P(X=2)=P(A)P(X=2A)+P(A)P(X=24) e+N-0_4w-30 4N 即X的分布为 0 2 P 4N-30 4N 2N 4N 0,4N-302N-0 (1)4=2N+2N 解出0得0=N(2-41) 9的矩估计为日=N2-X)=NT2-1m+2n,】 =N(2m-n-2n)-(2m,+m) ·97·
·97· 所以 1 2 , 的矩估计为 * 1 = − X S , *2 * 2 ˆ = = S S . 11.罐中有 N 个硬币,其中有 个是普通硬币(掷出正面与反面的概率各 为 0.5)其余 N − 个硬币两面都是正面,从罐中随机取出一个硬币,把它连掷 两次,记下结果,但不去查看它属于哪种硬币,如此重复 n 次,若掷出 0 次、1 次、2 次正面的次数分别为 0 1 2 nnn , , ,利用(1)矩法;(2)极大似然法去估 计参数 。 解 设 X 为连掷两次正面出现的次数, A = ‘取出的硬币为普通硬币’,则 1 2 ( 0) ( ) ( 0 | ) ( ) ( 0 | ) ( ) , 2 4 P X P A P X A P A P X A N N = = = + = = = 1 2 2 1 ( 1) ( ) ( 1| ) ( ) ( 1| ) ( ) 2 P X P A P X A P A P X A C N = = = + = = 2N = , P X P A P X A P A P X A ( 2) ( ) ( 2 | ) ( ) ( 2 | ) = = = + = 1 4 3 2 ( ) 2 4 N N N N N − − = + = , 即 X 的分布为 0 1 2 4 3 4 2 4 X N P N N N − (1) 1 4 3 2 2 2 N N N N N − − = + = 解出 得 1 = − N(2 ), 的矩估计为 1 2 1 N X N n n (2 ) [2 ( 2 )] n = − = − + 1 2 0 1 (2 2 ) (2 ) N N n n n n n n n = − − = +

24xX.-(品八(20(2 In L=n(In0-In(4N))+n (Ine-In(2N))+n (In(4N-30)-In(4N)) dlnL-h+-,3-0, d0004N-38 解似然方程 no+m 312 0 4N-301 得日的极大似然估计 4N 0= (n+n). 3n 12.设总体的分布列为截尾几何分布 P(X=k)=0-1(1-0)2k=1,2,…,r, P(X=P+1)=B, 从中抽得样本X1,X2,…,Xn,其中有m个取值为r+1,求0的极大似然估计。 解xX:9=i050-9g-g2-m0-0g In L-(x,-(n-m)+mr)In0+(n-m)In(1-0). -空x-n+m+mga-m侧60 de 解似然方程 X-n+m+m i=l n-m 8 1-8 得日的极大似然估计 ·98
·98· (2) 0 1 2 1 4 3 ( ; ) 4 2 4 n n n n N L X X N N N − = , 0 1 2 ln (ln ln(4 )) (ln ln(2 )) (ln(4 3 ) ln(4 )) L n N n N n N N = − + − + − − 0 1 2 ln 3 0 4 3 d L n n n d N = + − − , 解似然方程 0 1 3 2 , 4 3 n n n N + = − 得 的极大似然估计 0 1 4 ( ) 3 N n n n = + . 12.设总体的分布列为截尾几何分布 1 ( ) (1 ), 1,2, , , k P X k k r − = = − = ( 1) r P X r = + = , 从中抽得样本 1 2 , , , X X Xn ,其中有 m 个取值为 r +1 ,求 的极大似然估计。 解 1 ( ) 1 1 1 ( , , ; ) (1 ) (1 ) , n m i i i n m X n m X mr n m mr n i L X X − = − − − − − = = − = − 1 ln ( ( ) )ln ( )ln(1 ), n m i i L X n m mr n m − = = − − + + − − 1 ln 1 1 ( ) ( ) 0, 1 n m i i d L X n m mr n m d − = = − + + − − − 解似然方程 1 1 n m i i X n m mr n m − = − + + − = − 得 的极大似然估计

艺x-n+m+m2x-n 0=i= 13.设总体X服从正态分布N(4,o2),X1,X2,,Xn是其样本,(1)求C 使得。2=C∑(X-X尸是。2的无偏估计量:(2)求k使得 0=k∑X,-X1为o的无偏估计量 解Eo=c空X-X广=c空IDXm-龙HX-比月 =c(DX41+DX,)=C-20n-1)g 可见当C= 一时,。-c交以x广处o的无偏计量 2a=-空1x-=比x-∑ 阳xΣ刘 zx2x,因号x片a 设 n2 ΣN4),所以zN@"行 Z -~N(0,1). n-1 n ·99·
·99· 1 1 1 1 n m n i i i i n m n i i i i X n m mr X n X mr X m − = = − = = − + + − = = + − . 13.设总体 X 服从正态分布 2 1 2 ( , ), , , , N X X X n 是其样本,(1)求 C 使 得 1 2 2 1 1 ( ) n i i i C X X − + = = − 是 2 的 无 偏 估 计 量 ;( 2 ) 求 k 使 得 1 | | n i i k X X = = − 为 的无偏估计量. 解 (1) 1 1 2 2 1 1 1 1 1 ( ) [ ( ) ( )] n n i i i i i i i i E C E X X C D X X E X X − − + + + = = = − = − + − 1 2 1 1 ( ) 2( 1) n i i i C DX DX C n − + = = + = − 可见当 1 2( 1) C n = − 时, 1 2 2 1 1 ( ) n i i i C X X − + = = − 是 2 的无偏估计量. (2) 1 1 1 | | n i i i j i j i E k E X X k E X X X n n = = − = − − 1 1 1 n i j i j i n k E X X = n n − = − 设 1 1 i i j i n Z X X n n − = − ,因 2 2 2 1 1 ( 1) ~ ( , ) i n n n X N n n n − − − 2 2 1 1 1 ~ ( , ) i j i n n X N n n n − − ,所以 1 2 ~ (0, ) n Z N n − ~ (0, 1) 1 Z N n n −