哈尔滨工业大学 试卷习题 参数估计_概率论与数理统计第七章

习题七 1.对某一距离进行5次测量，结果如下： 2781,2836,2807,2765,2858(米). 己知测量结果服从N(4,σ2)，求参数4和σ2的矩估计. 解4的矩估计为立=X,。2的矩估计为62=之(X-X=S n i=l X=2（2781+2836+2807+2765+2858)=2809.0, S2=5×5854.0=1170.84 所以 4=2809,62=1170.8 2.设X1,X2,…,Xn是来自对数级数分布 P(X=k)=- 1 p* (0<p<1,k=1,2, lu(1-p)k 的一个样本，求p的矩估计 解4-立p -1之p=n-p)'1-p 1n1-p）-nl-p合 1.P (1) 因为卫很难解出来，所以再求总体的二阶原点矩 4-宫rnn”n2wn”n贰gr (2) ln(1-p)1-p)3 D+2)得丝=1-p所以p=么二-4 42 42 。90·

·90· 习 题 七 1．对某一距离进行 5 次测量，结果如下： 2781, 2836, 2807, 2765, 2858 （米）. 已知测量结果服从 2 N( , )   ，求参数  和 2  的矩估计. 解  的矩估计为  ˆ = X ， 2  的矩估计为 2 2 *2 1 1 ˆ ( ) n i i X X S n  = = − =  1 (2781 2836 2807 2765 2858) 2809.0 5 X = + + + + = ， *2 1 5854.0 1170.84 5 S =  = 所以 2   = = 2809, 1170.8 ˆ 2．设 1 2 , , , X X Xn 是来自对数级数分布 1 ( ) , (0 1, 1,2, ) (1 ) k p P X k p k lu p k = = −   = − 的一个样本，求 p 的矩估计. 解 1 1 1 1 1 1 ln(1 ) ln(1 ) ln(1 ) 1 k k k k p p p p p p p    = = − = = − = −  − − − −   （1） 因为 p 很难解出来，所以再求总体的二阶原点矩 1 2 1 1 1 1 ln(1 ) ln(1 ) ln(1 ) k k k k k k x p p p kp kp x p p p     − = = = =  −   = = − = −   − − −      2 1 ln(1 ) 1 ln(1 ) (1 ) x p p x p p x p p =    = − = −    − − − −   （2） （1）  （2）得 1 2 1 p   = − 所以 2 1 2 p    − =

所以得p的矩估计 12x- p= n i=l =1- 2 ni 3.设总体X服从参数为N和p的二项分布，X1,X2,…,Xn为取自X的 样本，试求参数N和p的矩估计 解 4=p, 42=p1-p)+(Wp)2 解之得N=4P, I-p)+N=, 即 N=凸， p=1-- 凸 所以N和p的矩估计为 D p=1-8* 8= 4.设总体X具有密度 cx x>C, f(x,)= 0 其他 其中参数00,从中抽得一个样本， X1,X2,…,Xm,求0的矩估计 ·91·

·91· 所以得 p 的矩估计 2 1 2 2 1 1 1 1 n i i n i i X X n X p X n  = = − = = −   3．设总体 X 服从参数为 N 和 p 的二项分布， 1 2 , , , X X Xn 为取自 X 的 样本，试求参数 N 和 p 的矩估计 解 1 2 2 , (1 ) ( ) Np Np p Np    =   = − + 解之得 1 N p =  / ， 2 1 (1 ) p Np   − + = ， 即 1 N p  = ， 2 2 1 1 p 1    − = − ， 所以 N 和 p 的矩估计为 ˆ X N p = ， *2 1 S p X = − . 4．设总体 X 具有密度 1 1 1 (1 ) , , ( ; ) 0 , . C x x C f x      − +   =    其他 其中参数 0 1,    C 为已知常数，且 C  0 ，从中抽得一个样本， 1 2 , , , X X Xn ，求  的矩估计

w-a 0 =C8 1 0-1 c-ci-o 解出0得 于是0的矩估计为 01-月 5.设总体的密度为 (a+1)x,0<x<1, fx,={0 ，其他 试用样本X1,X2,…,Xn求参数α的矩估计和极大似然估计. 解先求矩估计： 4=r-a*+nr"-2r- a+21 解出a得 a=1-24 4-19 所以a的矩估计为 1-2x a-x-1 再求极大似然估计： L(X1,…,Xna)=(a+1)x=(a+1)(xx2…xn), hL=mina+)+a2n关， ·92·

·92· 解 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 C C EX C x dx C x         + + − − = = = −  1 1 1 ( ) 1 1 C C C C     − = −  = − − ， 解出  得 1 1 , C   = − 于是  的矩估计为 1 C X  = − . 5．设总体的密度为 ( 1) , 0 1, ( ; ) 0 , . x x f x     +   =   其他 试用样本 1 2 , , , X X Xn 求参数  的矩估计和极大似然估计. 解 先求矩估计： 1 1 1 2 1 0 0 1 1 ( 1) , 2 2 EX x dx x         + + + + = = + = = + +  解出  得 1 1 1 2 , 1    − = − 所以  的矩估计为 1 2 1 X X  − = − . 再求极大似然估计： 1 1 2 1 ( , , ; ) ( 1) ( 1) ( ) n n n i n i L X X x x x x      = = + = +  ， 1 ln ln( 1) ln n i i L n x   = = + + 

da a+1 解得α的极大似然估计： n a=-(1+ nx i=l 6.已知总体X在[，日]上服从均匀分布，X,…Xn是取自X的样本，求 0,日的矩估计和极大似然估计. 解先求矩估计： 4=EX=8+ 2 4=Ex=8-8上+8+8》_+88+8 12 4 3 解方程组 =9+8 2 e+802+e 3 得 8=4±V342-4), 02=4干√3(42-4) 注意到0<02，得日，82的矩估计为 01=-√5S,02=+V5S 再求极大似然估计 8a-1a日”aa8sksa, 由极大似然估计的定义知，日，，日的极大似然估计为 ·93·

·93· 1 ln ln 0 1 n i i d L n x d  = = + +  ， 解得  的极大似然估计： 1 (1 ) ln n i i n x  = = − +  . 6．已知总体 X 在 1 2 [ , ]   上服从均匀分布， X X 1 n 是取自 X 的样本，求 1 2  , 的矩估计和极大似然估计. 解 先求矩估计： 1 2 1 2 EX    + = = ， 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 ( ) ( ) 12 4 3 EX          − + + + = = + = 解方程组 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 3          + =     + + =  得 2     1 1 2 1 =  − 3( ), 2     2 1 2 1 = − 3( ). 注意到   1 2  ，得 1 2  , 的矩估计为 *  1 = − X S3 ， *  2 = + X S3 . 再求极大似然估计 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 ( , , ; , ) ( ) n n n i L X X   =     = =  − − ， 1 1 2 2 , , , n     x x x ， 由极大似然估计的定义知， 1 2  , 的极大似然估计为

01=min(X1,…,Xn)=Xo:02=maxX1,…,Xn)=Xm 7.设总体的密度函数如下，试利用样本x,x2,…,xn,求参数日的极大似 然估计 (0a)xa-le-ox",x>0, (1)f(x;8)= 0, 其它；au已知 2）fx)-2e,-0<0<0,-n<x<+o 解）X,,X:0)=exe=6rak…yre空 hux)-nino+alna+(a- 解似然方程 得日的极大似然估计 0= e 22 由极大似然估计的定义得日的极大似然估计为样本中位数，即 n为奇数， 8= 二(X +X。 ),n为偶数 2孕 8.设总体X服从指数分布 ·94·

·94· 1  = = min( , , ) X X X 1 (1) n ； 2  = = max( , , ) X X X 1 ( ) n n . 7．设总体的密度函数如下，试利用样本 1 2 , , , n x x x ，求参数  的极大似 然估计. （1） 1 ( ) , 0, ( ; ) 0 , . x x e x f x       − −   =   其它; 已知 （2） 1 | | ( ; ) , , 2 x f x e x    − − = −   + −    + . 解 （1） 1 1 1 1 1 1 ( , , ; ) ( ) ( ) n i i i n x x n n n i n i L X X x e x x e           = − − − − =  = =  1 1 1 ln ( ; ) ln ln ( 1) ln n n n i i i i L X X n n x x      = = = + + − −   1 ln 0 n i i d L n x d    = = − 解似然方程 1 n i i n x   = =  ， 得  的极大似然估计 1 . n i i n x   = =  （2） 1 | | | | 1 1 1 1 ( ; ) 2 2 n i i i n x x n n i L X X e e    = − − − − =  = =  由极大似然估计的定义得  的极大似然估计为样本中位数，即 1 ( ) 2 ( ) ( 1) 2 2 , 1 ( ), . 2 n n n X n X X n  + +   =   +  为奇数, 为偶数 8．设总体 X 服从指数分布

其他 试利用样本X,,X,…,Xn求参数日的极大似然估计 解(XX:)=1en=e交 ，x,≥0，i=1,2,…,n. nL=n0-立x dInL =n≠0 de 由极大似然估计的定义，B的极大似然估计为8=x) 9.设X1,X2,…,Xn来自几何分布 PX=k)=p1-p)-,k=1,2,…,0X,-n)In(1-p). ∑x,-n 0 dp p 1-p 解似然方程 -n+X n i=l b 1-p 得p的极大似然估计 p=反 ·95·

·95· ( ) , , ( ; ) 0 , . x e x f x    − −   =   其他 试利用样本 1 2 , , , X X Xn 求参数  的极大似然估计. 解 1 ( ) 1 1 ( , , ; ) , , 1,2, , . n i i i n x n x n i i L X X e e x i n     = − + − − =  = =  =  1 ln n i i L n X  = = − ln 0 d L n d =  由极大似然估计的定义，  的极大似然估计为 (1)  = x 9．设 1 2 , , , X X Xn 来自几何分布 1 ( ) (1 ) , 1,2, , 0 1 k P X k p p k p − = = − =   ， 试求未知参数 p 的极大似然估计. 解 1 1 1 1 ( , , ; ) (1 ) (1 ) n i i i n x n x n n i L x x p p p p p = − − =  = − = −  ， 1 ln ln ( )ln(1 ), n i i L n p X n p = = + − −  1 ln 0, 1 n i i X n d L n dp p p = − = − −  解似然方程 1 1 n i i n X n p p = − + = −  ， 得 p 的极大似然估计 1 p X =

10.设X1,X2,…,Xn是来自两个参数指数分布的一个样本 凸 x>8, f(x8,82)=02 0,其它 其中-08,1=2 i=1 nl=-nh品-g父x-8) 02a oInL_n0 a802 由极大似然估计的定义，得日的极大似然估计为 01=x0)9 ag安空光-网)0 oInL -n,1 -十 解似然方程得日，的极大似然估计 02=X-x) (2)4=EX=81+8 h=EX2=DX+[E(X)P=0+(8+02)2 解方程组 41=81+82, 42=0+(0+02)2, 得 =42-4, 8=4-V4-4风 ·96·

·96· 10．设 1 2 , , , X X Xn 是来自两个参数指数分布的一个样本. 1 2 1 1 2 2 1 , , ( ; , ) 0 , . x e x f x       −  −   =    其它 其中 1 2 −   +   +   , 0 ，求参数 1 和 2 的（1）极大似然估计；（2） 矩估计。 解 （1） 1 2 1 1 2 1 1 2 1 ( , , ; , ) , , 1,2, , . i x n n i i L X X e x i n       − − = =  =  2 1 2 1 1 ln ln ( ) n i i L n X n    = = − − −  1 2 ln 0 L n    =   由极大似然估计的定义，得 1 的极大似然估计为 1 (1)  = x ； 2 1 2 2 2 1 ln 1 ( ) 0 n i i L n X n    =  − = + −   解似然方程得 2 的极大似然估计 2  = − X x(1) （2）    1 1 2 = = + EX 2 2 2 2 2 2 1 2     = = + = + + EX DX E X [ ( )] ( ) 解方程组 1 1 2 2 2 2 2 1 2 , ( ) ,         = +   = + + 得 2 2 2 2 1    = − , 2     1 1 2 1 = − −

所以日，8，的矩估计为 01=元-S, 0=S"=S". 11.罐中有N个硬币，其中有0个是普通硬币（掷出正面与反面的概率各 为0.5)其余N-0个硬币两面都是正面，从罐中随机取出一个硬币，把它连掷 两次，记下结果，但不去查看它属于哪种硬币，如此重复次，若掷出0次、1 次、2次正面的次数分别为，n1,n2,利用(1)矩法：(2)极大似然法去估 计参数0。 解设X为连掷两次正面出现的次数，A=‘取出的硬币为普通硬币’，则 PX=0=PPX=014+P闭PX=01=是=品 Prx==P0Px=I0+PaPX==是cC=品 P(X=2)=P(A)P(X=2A)+P(A)P(X=24) e+N-0_4w-30 4N 即X的分布为 0 2 P 4N-30 4N 2N 4N 0,4N-302N-0 (1)4=2N+2N 解出0得0=N(2-41) 9的矩估计为日=N2-X)=NT2-1m+2n,】 =N(2m-n-2n)-(2m,+m) ·97·

·97· 所以 1 2  , 的矩估计为 *  1 = − X S , *2 * 2 ˆ  = = S S . 11．罐中有 N 个硬币，其中有  个是普通硬币（掷出正面与反面的概率各 为 0.5）其余 N − 个硬币两面都是正面，从罐中随机取出一个硬币，把它连掷 两次，记下结果，但不去查看它属于哪种硬币，如此重复 n 次，若掷出 0 次、1 次、2 次正面的次数分别为 0 1 2 nnn , , ，利用（1）矩法；（2）极大似然法去估 计参数  。 解 设 X 为连掷两次正面出现的次数， A = ‘取出的硬币为普通硬币’，则 1 2 ( 0) ( ) ( 0 | ) ( ) ( 0 | ) ( ) , 2 4 P X P A P X A P A P X A N N   = = = + = = = 1 2 2 1 ( 1) ( ) ( 1| ) ( ) ( 1| ) ( ) 2 P X P A P X A P A P X A C N  = = = + = =  2N  = , P X P A P X A P A P X A ( 2) ( ) ( 2 | ) ( ) ( 2 | ) = = = + = 1 4 3 2 ( ) 2 4 N N N N N    − − = + = ， 即 X 的分布为 0 1 2 4 3 4 2 4 X N P N N N    − （1） 1 4 3 2 2 2 N N N N N     − − = + = 解出  得 1   = − N(2 ),  的矩估计为 1 2 1 N X N n n (2 ) [2 ( 2 )] n  = − = − + 1 2 0 1 (2 2 ) (2 ) N N n n n n n n n = − − = +

24xX.-(品八(20(2 In L=n(In0-In(4N))+n (Ine-In(2N))+n (In(4N-30)-In(4N)) dlnL-h+-,3-0, d0004N-38 解似然方程 no+m 312 0 4N-301 得日的极大似然估计 4N 0= (n+n). 3n 12.设总体的分布列为截尾几何分布 P(X=k)=0-1(1-0)2k=1,2,…,r, P(X=P+1)=B, 从中抽得样本X1,X2,…,Xn,其中有m个取值为r+1,求0的极大似然估计。 解xX:9=i050-9g-g2-m0-0g In L-(x,-(n-m)+mr)In0+(n-m)In(1-0). -空x-n+m+mga-m侧60 de 解似然方程 X-n+m+m i=l n-m 8 1-8 得日的极大似然估计 ·98

·98· （2） 0 1 2 1 4 3 ( ; ) 4 2 4 n n n n N L X X N N N           − =             ， 0 1 2 ln (ln ln(4 )) (ln ln(2 )) (ln(4 3 ) ln(4 )) L n N n N n N N =  − + − + − −    0 1 2 ln 3 0 4 3 d L n n n d N     = + − − ， 解似然方程 0 1 3 2 , 4 3 n n n   N + = − 得  的极大似然估计 0 1 4 ( ) 3 N n n n  = + . 12．设总体的分布列为截尾几何分布 1 ( ) (1 ), 1,2, , , k P X k k r   − = = − = ( 1) r P X r = + = ， 从中抽得样本 1 2 , , , X X Xn ，其中有 m 个取值为 r +1 ，求  的极大似然估计。 解 1 ( ) 1 1 1 ( , , ; ) (1 ) (1 ) , n m i i i n m X n m X mr n m mr n i L X X        − = − − − − − =  = − = −  1 ln ( ( ) )ln ( )ln(1 ), n m i i L X n m mr n m   − = = − − + + − −  1 ln 1 1 ( ) ( ) 0, 1 n m i i d L X n m mr n m d   − = = − + + − − −  解似然方程 1 1 n m i i X n m mr n m   − = − + + − = −  得  的极大似然估计

艺x-n+m+m2x-n 0=i= 13.设总体X服从正态分布N(4,o2),X1,X2,,Xn是其样本，(1)求C 使得。2=C∑(X-X尸是。2的无偏估计量：(2)求k使得 0=k∑X,-X1为o的无偏估计量 解Eo=c空X-X广=c空IDXm-龙HX-比月 =c(DX41+DX,)=C-20n-1)g 可见当C= 一时，。-c交以x广处o的无偏计量 2a=-空1x-=比x-∑ 阳xΣ刘 zx2x,因号x片a 设 n2 ΣN4),所以zN@"行 Z -~N(0,1). n-1 n ·99·

·99· 1 1 1 1 n m n i i i i n m n i i i i X n m mr X n X mr X m  − = = − = = − + + − = = + −     . 13．设总体 X 服从正态分布 2 1 2 ( , ), , , , N X X X   n 是其样本，（1）求 C 使 得 1 2 2 1 1 ( ) n i i i  C X X − + = = −  是 2  的 无 偏 估 计 量 ；（ 2 ） 求 k 使 得 1 | | n i i  k X X = = −  为  的无偏估计量. 解 （1） 1 1 2 2 1 1 1 1 1 ( ) [ ( ) ( )] n n i i i i i i i i E C E X X C D X X E X X  − − + + + = = = − = − + −   1 2 1 1 ( ) 2( 1) n i i i C DX DX C n  − + = = + =  −  可见当 1 2( 1) C n = − 时， 1 2 2 1 1 ( ) n i i i  C X X − + = = −  是 2  的无偏估计量. （2） 1 1 1 | | n i i i j i j i E k E X X k E X X X n n  =  = − = − −    1 1 1 n i j i j i n k E X X =  n n − = −   设 1 1 i i j i n Z X X n n  − = −  ，因 2 2 2 1 1 ( 1) ~ ( , ) i n n n X N n n n   − − − 2 2 1 1 1 ~ ( , ) i j i n n X N n n n    − −  ，所以 1 2 ~ (0, ) n Z N n  − ~ (0, 1) 1 Z N n n  −