1 群伦导引
群伦导引 1
回顾 2 口1:等价关系与等价类 等价关系:自反、对称、传递;等价关系将元素分成等 价类;所有等价类的集合为商集,商集即划分 口2:偏序关系、偏序集及其特殊元素、偏序格 口偏序关系:自反、反对称、传递;偏序集;哈斯图 口偏序集中的特殊元素:最大元、最小元、极小元、极大 元;上届、上确界、下届、下确界 口偏序格:任意两个元素均有上下确界;对偶原理
回顾 1:等价关系与等价类 等价关系:自反、对称、传递;等价关系将元素分成等 价类;所有等价类的集合为商集,商集即划分 2:偏序关系、偏序集及其特殊元素、偏序格 偏序关系:自反、反对称、传递;偏序集;哈斯图 偏序集中的特殊元素:最大元、最小元、极小元、极大 元;上届、上确界、下届、下确界 偏序格:任意两个元素均有上下确界;对偶原理 2
本节提要 3 口问题1:什么是代数系统? ▣问题2:代数系统相关性质? 口问题3:什么是群? ▣问题4:群具有哪些性质?
本节提要 问题1:什么是代数系统? 问题2:代数系统相关性质? 问题3:什么是群? 问题4:群具有哪些性质? 3
引言 口代数系统一般称为“抽象代数(abstract algebra)”或“近世代数”,20世纪初被 命名,但其研究的主要内容却于19世纪便 已开展 口代数系统研究的主要内容:代数结构、群、 环、域、模、向量空间、格、布尔代数、 李代数等等
代数系统一般称为“抽象代数(abstract algebra)”或“近世代数”,20世纪初被 命名,但其研究的主要内容却于19世纪便 已开展 代数系统研究的主要内容:代数结构、群、 环、域、模、向量空间、格、布尔代数、 李代数等等 4 引言
运算的函数定义 口函数f:An→B称为(从A到B的)n元运算 口以下主要讨论二元运算 口例如:利用普通四则运算定义实数集上的一个 新运算“*”: X*y=X+y一Xy 则:2*3=-1;0.5*0.7=0.85
函数𝑓:𝐴 𝑛 → 𝐵称为(从𝐴到𝐵的) 𝒏元运算 以下主要讨论二元运算 例如:利用普通四则运算定义实数集上的一个 新运算“∗”: 𝒙 ∗ 𝒚 = 𝒙 + 𝒚 − 𝒙𝒚 则:2 ∗ 3 = −1;0.5 ∗ 0.7 = 0.85 5 运算的函数定义
运算表 通常用于定义有限集合(一般元素很少)上的一 元或二元运算(如在集合{a,b,c,d上定义如下的运算*) a b d 米 a 1 ⑧ M b & 6 K M 7 6 0 口 d G
通常用于定义有限集合(一般元素很少)上的一 元或二元运算 (如在集合{𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}上定义如下的运算∗) * a b c d a 1 M b & 6 K M c 7 6 Q 0 d G # ~ 6 运算表
运算的封闭性 口对于运算f:An→B,若B二A,则称该运算在集 合A上封闭(closeness) 口例: 口加法在自然数集上封闭,但减法在自然数集上不封闭 口减法在整数集上封闭,但除法在整数集上不封闭 口对集合A={1,2,3,…,10},gcd运算封闭,1cm则否
对于运算𝑓:𝐴 𝑛 → 𝐵 ,若𝑩 ⊆ 𝑨,则称该运算在集 合𝐴上封闭(closeness) 例: 加法在自然数集上封闭,但减法在自然数集上不封闭 减法在整数集上封闭,但除法在整数集上不封闭 对集合𝐴 = {1,2,3, ⋯ , 10},gcd运算封闭,lcm则否 7 运算的封闭性
例:证明运算封闭 普通加法在正整数集之子集A={n9|21n}上 封闭 口证明: ▣设x,y是A中任意元素,存在卫,q∈Z+,满足: 21x=9p,21y=9q,则21(x+y)=9(p+q), 由于p+q∈Z+,故9|21(x+y),即x+yEA.口
普通加法在正整数集之子集𝑨 = 𝒏 𝟗|𝟐𝟏𝒏 上 封闭 证明: 设𝑥, 𝑦是𝐴中任意元素,存在𝑝, 𝑞 ∈ ℤ +,满足: 21𝑥 = 9𝑝,21𝑦 = 9𝑞,则21 𝑥 + 𝑦 = 9(𝑝 + 𝑞), 由于𝑝 + 𝑞 ∈ ℤ +,故9|21(𝑥 + 𝑦),即𝑥 + 𝑦 ∈ 𝐴. □ 8 例:证明运算封闭
代数系统(简称代数) 口定义(代数系统): 口给定1个非空集合(其元素可以是任何对象); 口给定1个或者若干个运算(以下主要讨论存在1个 二元运算的情况); 口运算对上述集合封闭. 口记法:(S,) 口例子: 口整数集与普通加法:(亿,+〉构成代数系统
代数系统(简称代数) 定义(代数系统): 给定1个非空集合(其元素可以是任何对象); 给定1个或者若干个运算(以下主要讨论存在1个 二元运算的情况); 运算对上述集合封闭. 记法: 𝑺, ∘ 例子: 整数集与普通加法: ℤ, + 构成代数系统 9
例:一个较复杂的代数系统 ▣设集合S=R一{0,1},定义S上的6个函数如下: ▣f1(x)=X, f2(x)=(1-x)-1 ▣f3(x)=x-1(x-1),f4(x)=x-1 ▣f5(x)=x(x-1)-1,f6(x)=1-x ▣则({f,f2,f3,f4,f5,f6},〉是代数系统,其中o是函数的 复合运算 只需考虑运算的封闭性。例如:f2of3=f1,∫4f5=f2 f3°f6=f4等
设集合𝑆 = ℝ − {0,1} ,定义𝑆上的6个函数如下: 𝑓1 𝑥 = 𝑥, 𝑓2 𝑥 = 1 − 𝑥 −1 𝑓3 𝑥 = 𝑥 −1 𝑥 − 1 , 𝑓4 𝑥 = 𝑥 −1 𝑓5 𝑥 = 𝑥 𝑥 − 1 −1 , 𝑓6 𝑥 = 1 − 𝑥 则 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3, 𝑓4, 𝑓5, 𝑓6 , ∘ 是代数系统,其中∘是函数的 复合运算 只需考虑运算的封闭性。例如:𝒇𝟐 ∘ 𝒇𝟑 = 𝒇𝟏 , 𝒇𝟒 ∘ 𝒇𝟓 = 𝒇𝟐 , 𝒇𝟑 ∘ 𝒇𝟔 = 𝒇𝟒等 10 例:一个较复杂的代数系统