连续型r.v.的期望 口设X是连续型随机变量，密度函数为 = a<x<b 0其它 在[a,b]上取分点a=xo<x1<x2<…<xn=b, 则X落在区间(x-1,x)的概率是 p;=P(x<x<x) =Jp()≈p(x)Ax 则X可以近似为离散型.v. X x1 X2 Xn D Pi P2 Pn 小区间(x1,x)
连续型r.v.的期望 设𝑿是连续型随机变量，密度函数为 𝒑 𝒙 = ቊ > 𝟎 𝒂 < 𝒙 < 𝒃 𝟎 其它 在[𝒂, 𝒃]上取分点𝒂 = 𝒙𝟎 < 𝒙𝟏 < 𝒙𝟐 < ⋯ < 𝒙𝒏 = 𝒃, 则𝑿落在区间(𝒙𝒊−𝟏, 𝒙𝒊)的概率是 1 则𝑿可以近似为离散型r.v. X x1 x2 … xn p p1 p2 … pn 小区间（xi-1 , xi )
连续型v.的期望 2 口按离散型，X的数学期望近似为 E0≈∑x,=】x4xAx i三1 i=1 令n→o,上式为xp(x)dx 推广到密度函数的一般情况，得到 十00 E(X)= xp(x)dx 00
连续型r.v.的期望 按离散型，𝑿的数学期望近似为 𝑬 𝑿 ≈ 𝒊=𝟏 𝒏 𝒙𝒊𝒑𝒊 = 𝒊=𝟏 𝒏 𝒙𝒊 ⋅ 𝒑 𝒙𝒊 𝚫𝒙𝒊 令𝒏 → ∞，上式为�� 𝒃 𝒙𝒑 𝒙 𝒅𝒙 推广到密度函数的一般情况，得到 𝑬 𝑿 = න −∞ +∞ 𝒙𝒑 𝒙 𝒅𝒙 2
连续型.v.期望定义 3 设连续型随机变量X的概率密度为(c),如 果积分∫p(x)d 绝对收敛，则称该积分为X 的数学期望（或均值），记为EX,即 EX=∫广xpod 如果积分」xp(x)c发散，则称X的数学期 望不存在
连续型r.v.期望定义 3
一些性质 4 类似于离散型，连续型v.期望同样具有线性性 质 X连续型，密度函数为p(x),令Y=g(X)(g(x) 连续)若g(x)p(x)dx绝对收敛，则 E(Y)=ELg(x)]=g(x)p(x)dx. 口类似地，X,Y连续型，联合密度为p(x,y),则 E(Z)=ELg(X,Y)] +00 十00 g(x,y)p(x,y)dxdy
一些性质 类似于离散型，连续型r.v.期望同样具有线性性 质 𝑿连续型，密度函数为𝒑(𝒙),令𝒀 = 𝒈 𝑿 (𝒈(𝒙) 连续).若∞− +∞ 𝒈 𝒙 𝒑 𝒙 𝒅𝒙绝对收敛，则 ∞− = �� �� �� = �� �� +∞ 𝒈 𝒙 𝒑 𝒙 𝒅𝒙. 类似地，𝑿, 𝒀连续型，联合密度为𝒑(𝒙, 𝒚),则 𝑬 𝒁 = 𝑬 𝒈 𝑿,𝒀 = න −∞ +∞ න −∞ +∞ 𝒈 𝒙, 𝒚 𝒑 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒚 4
方差、协方差 5 口离散型rv.的定义可直接推广到连续型rv D(X)-E((x-EXE()-[E(X) ou(X,Y)E((x-E(X))(Y-E(Y)))= o( E(XY-E(XE(Y
方差、协方差 离散型r.v.的定义可直接推广到连续型r.v. 𝑫 𝑿 = 𝑬 𝑿 − 𝑬 𝑿 𝟐 = 𝑬 𝑿 𝟐 − 𝑬 𝑿 𝟐 𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀 = 𝑬 𝑿 − 𝑬 𝑿 𝒀 − 𝑬 𝒀 = 𝑬 𝑿𝒀 − 𝑬 𝑿 𝑬(𝒀) 5
6 典型连续型随机变量 的分布
典型连续型随机变量 的分布 6
均匀分布(uniform distribution) 7 定义设连续型随机变量X具有概率密度 p对={6-a' a<x<b, 0, 其它， 则称X在区间（α，b)区间上服从均匀分布， 记为X~U(a,b). p(x) 概率密度 函数图形 b
均匀分布(uniform distribution) 7 ~ ( , ). ( , ) , , , , , ( ) X U a b X a b a x b p x b a X 记 为 则 称 在区间 区间上服从均匀分布 其 它 定 义 设连续型随机变量 具有概率密度 = − 0 1 a o b p x ( ) 概率密度 函数图形
均匀分布 8 分布函数 0 ↑F(x) X<a, x-0 F(x)= b-a' u≤x<b, 1, x≥b. L 0 b X
均匀分布 8 − − = 1, . , , 0, , ( ) x b a x b b a x a x a F x 分布函数 o x F(x) • a • b 1•
均匀分布下的数字特征 9 口设X~U(a,b,则E(W=a,D)= (b-a)2 12 证：EX)=日padx= 1 1.b2-a2 a+b b-a 2 2 .b 1 -a3 E(x2)=a 1 b x b-a 3 a2 +ab +b2 3 ÷D(K)=E(K2)-[E(X]2=b-a2 12
均匀分布下的数字特征 设𝑿 ∼ 𝑼 𝒂, 𝒃 ，则𝑬 𝑿 = 𝒂+𝒃 𝟐 , 𝑫 𝑿 = 𝒃−𝒂 𝟐 𝟏𝟐 �� = �� ��:证 𝒃 𝒙 𝟏 𝒃−𝒂 𝒅𝒙 = 𝟏 𝒃−𝒂 ⋅ 𝒃 𝟐−𝒂 𝟐 𝟐 = 𝒂+𝒃 𝟐 𝑬 𝑿 𝟐 = න 𝒂 𝒃 𝒙 𝟐 𝟏 𝒃 − 𝒂 𝒅𝒙 = 𝟏 𝒃 − 𝒂 ⋅ 𝒃 𝟑 − 𝒂 𝟑 𝟑 = 𝒂 𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝒃 𝟐 𝟑 ∴ 𝑫 𝑿 = 𝑬 𝑿 𝟐 − 𝑬 𝑿 𝟐 = 𝒃 − 𝒂 𝟐 𝟏𝟐 9
均匀分布 10 定理 设连续型随机变量X的分布函数F(x)严格 单调递增，令Y=F(X),则Y~U(0,1). 证：根据假设有F(x)存在反函数，记为F-1() 当0<y<1时， Fy)=P(F(X)<)=P(X<F-)=F(F-)) =y 卫y0y)= 其它，即y~U(0,1) 1,0<y<1
均匀分布 10 证：根据假设有𝑭(𝒙)存在反函数，记为𝑭 −𝟏 (⋅) 当𝟎 < 𝒚 < 𝟏时， 𝑭𝒀 𝒚 = 𝑷 𝑭 𝑿 < 𝒚 = 𝑷 𝑿 < 𝑭 −𝟏 𝐲 = 𝑭 𝑭 −𝟏 𝒚 = 𝒚 ∴ 𝒑𝒀 𝒚 = ቊ 𝟏, 𝟎 < 𝒚 < 𝟏 𝟎, 其它，即𝒀 ∼ 𝑼(𝟎, 𝟏) 定理 设连续型随机变量𝑿的分布函数𝑭(𝒙)严格 单调递增，令𝒀 = 𝑭(𝑿)，则𝒀 ∼ 𝑼 𝟎, 𝟏