1 极限理论
极限理论 1
极限理论 2 口大数定律(laws of large numbers)) 口随机变量序列的均值收敛问题 口中心极限定理(central limit theorems) 口随机变量的和的正态分布
极限理论 大数定律(laws of large numbers) 随机变量序列的均值收敛问题 中心极限定理(central limit theorems) 随机变量的和的正态分布 2
实例 3 测量一个工件,由于测量具有误差,以各 次的平均值作为测量结果,只要仪器准确 且测量的次数足够多,总可以达到要求的 精度。这反映了什么统计规律? 口数学表达:如果工件的测量值真值为α,第 n次测量值为Xn,则{Xn}就是一个独立同分 布,均值为α的随机变量序列
实例 测量一个工件,由于测量具有误差,以各 次的平均值作为测量结果,只要仪器准确 且测量的次数足够多,总可以达到要求的 精度。这反映了什么统计规律? 数学表达:如果工件的测量值真值为𝒂,第 𝒏次测量值为𝑿𝒏,则{𝑿𝒏}就是一个独立同分 布,均值为𝒂的随机变量序列。 3
实例 4 口测量的经验就是:当n充分大时,n次测量 的平均值 1 =二(X1+X2+…+Xn) n 应该和真值a很接近。 ▣大量测量值的算术平均值具有稳定性,这 就是大数定律的反映
实例 测量的经验就是:当𝒏充分大时,𝒏次测量 的平均值 𝑿ഥ = 𝟏 𝒏 𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 + ⋯ + 𝑿𝒏 应该和真值𝒂很接近。 大量测量值的算术平均值具有稳定性,这 就是大数定律的反映。 4
依概率收敛 5 ▣设Y1,Y2,…,Yn,…是随机变量序列,a是一 个常数,若对任意∈>0,有 lim P(Yn-al<e=1 n→0o 或 lim P(Yn-al≥e}=0 n→0o 则称Y1,Y2,…,Ynw.依概率收敛于a,记为 YnBa ▣注意区别于数列的收敛性
依概率收敛 设𝒀𝟏, 𝒀𝟐,… , 𝒀𝒏, …是随机变量序列,𝒂是一 个常数;若对任意𝝐 > 𝟎,有 lim 𝒏→∞ 𝑷 𝒀𝒏 − 𝒂 < 𝝐 = 𝟏 或 lim 𝒏→∞ 𝑷 𝒀𝒏 − 𝒂 ≥ 𝝐 = 𝟎 则称𝒀𝟏, 𝒀𝟐,… , 𝒀𝒏, …依概率收敛于𝒂,记为 𝒀𝒏 → 𝑷 𝒂 注意区别于数列的收敛性 5
连续映射定理 6 口若Xn号a,函数g)在点a处连续,则 P g(Xn)→g(a) P P 若Xn→a,Yn→b,函数g(,)在点(a,b)处 连续,则 P g(xnYn)→g(a,b) 口例:Xn+Yn→a+b,XYn ab
连续映射定理 若𝑿𝒏 → 𝑷 𝒂,函数𝒈 ⋅ 在点𝒂处连续,则 𝒈(𝑿𝒏) → 𝑷 𝒈(𝒂) 若𝑿𝒏 → 𝑷 𝒂,𝒀𝒏 → 𝑷 𝒃,函数𝒈 ⋅,⋅ 在点(𝒂,𝒃)处 连续,则 𝒈(𝑿𝒏,𝒀𝒏) → 𝑷 𝒈(𝒂,𝒃) 例: 𝑿𝒏 + 𝒀𝒏 → 𝑷 𝒂 + 𝒃, 𝑿𝒏𝒀𝒏 → 𝑷 𝒂𝒃 6
大数定律:定义 7 设X1,…,X,…是随机变量序列,对任意e>0,有 ▣P2x空E,L P2空小-u 或】 即 xΣx n k= n k=l 则称{X,}服从大数定律。 随机变量的平均值依概率趋向于它们数学期望的平均值
大数定律:定义 7 随机变量的平均值依概率趋向于它们数学期望的平均值
马尔可夫大数定律 8 定理: 设随机序列Xn}满足之D(∑k=1Xk)→0(n→oo), 则{Xn}服从大数定律. 证:0sP2x2x2 切比雪夫不等式 -x.-EEx)esDzx)ie D2X)/e2→0. 四P2x之x小-0即得
马尔可夫大数定律 8 定理: 设随机序列{𝑿𝒏}满足 𝟏 𝒏𝟐 𝑫 σ𝒌=𝟏 𝒏 𝑿𝒌 → 𝟎 𝒏 → ∞ , 则{𝑿𝒏}服从大数定律. 切比雪夫不等式
切比雪夫大数定律 9 定理 设{X}为两两互不相关的随机变量序列,且存在常数 C,使得对每个随机变量Xk,D(Xk)≤C,k=1,2,…, 则{Xn服从大数定律. 不相关 k=1 由马尔可夫大数定律 lim plxE0. 1→c0 k=1
切比雪夫大数定律 9 定理: 设{𝑿𝒏}为两两互不相关的随机变量序列,且存在常数 𝑪,使得对每个随机变量𝑿𝒌,𝑫(𝑿𝒌) ≤ 𝑪,𝒌 = 𝟏,𝟐, … , 则{𝑿𝒏}服从大数定律
独立同分布大数定律 10 定理 设{Xn}为独立同分布的随机变量序列,其E(Xk)= u,D(Xk)=o均存在,则{Xn}服从大数定律,亦即 k=1 注: 口该定理是切比雪夫大数定律的特殊情形。 0 该定理条件D(Xk)=σ2可以省去,即只需期望存 在。(被称为辛钦大数定律)
独立同分布大数定律 注: 该定理是切比雪夫大数定律的特殊情形。 该定理条件𝑫 𝑿𝒌 = 𝝈 𝟐可以省去,即只需期望存 在。(被称为辛钦大数定律) 10 定理: 设{𝑿𝒏}为独立同分布的随机变量序列,其𝑬(𝑿𝒌) = 𝝁,𝑫 𝑿𝒌 = 𝝈 𝟐均存在,则{𝑿𝒏}服从大数定律,亦即 𝟏 𝒏𝒌=𝟏 𝒏 𝑿𝒌 → 𝑷 𝝁