1 几个典型的离散型随 机变量
几个典型的离散型随 机变量 1
0-1分布 2 如果随机试验只有两个结果：A与A,则称该试 验为伯努利(Bernoulli)试验。 Jacob Bernoulli 口定义随机变量 1 x=0 若A发生 若A不发生 记P(A)=卫，则称X服从0-1分布 Jacob Bernoulli X P1-p
0-1分布 如果随机试验只有两个结果：𝑨与𝑨ഥ，则称该试 验为伯努利(Bernoulli)试验。 定义随机变量 𝑿 = ቊ 𝟏 若𝑨发生 𝟎 若𝑨不发生 记𝑷 𝑨 = 𝒑，则称𝑿服从0-1分布 2 X 0 1 P 1-p p
0-1分布的特点与用途 3 口若X服从参数为卫的0-1分布，则 E(X)=卫=P(X=1). ▣对随机事件A,可以定义指示变量 XA= 1 若A发生 0 若A不发生 则X4服从0-1分布。 引入指示变量是简化问题分析的有效手段
0-1分布的特点与用途 若𝑿服从参数为𝒑的0-1分布，则 𝑬 𝑿 = 𝒑 = 𝑷 𝑿 = 𝟏 . 对随机事件𝑨，可以定义指示变量 𝑿𝑨 = ቊ 𝟏 若𝑨发生 𝟎 若𝑨不发生 则𝑿𝑨服从0-1分布。 3 引入指示变量是简化问题分析的有效手段
例：随机置换的不动点个数 4 0 设p为集合[n]上的一随机置换。对于i∈[n],若 p()=i,则称i为p的一个不动点。求p的不动点个 数X的期望。 口思路：将X分解成个指示变量之和，再利用期望 的线性性质求解。 此方法具有典型意义. 解：对于i∈[n],引入指示变量 X1= 1 若i为p的不动点 00 否则 则E(X,)=P(X:=1)= 因此，E(X)=E(∑iX)=∑iE(X)=1
例：随机置换的不动点个数 设𝝆为集合[𝒏]上的一随机置换。对于𝒊 ∈ [𝒏],若 𝝆 𝒊 = 𝒊,则称𝒊为𝝆的一个不动点。求𝝆的不动点个 数𝑿的期望。 思路：将𝑿分解成𝒏个指示变量之和，再利用期望 的线性性质求解。 解：对于𝒊 ∈ [𝒏],引入指示变量 𝑿𝒊 = ቊ 𝟏 若𝒊为𝝆的不动点 𝟎 否则 则𝑬 𝑿𝒊 = 𝑷 𝑿𝒊 = 𝟏 = 𝟏 𝒏 . 因此，𝑬 𝑿 = 𝑬(σ𝒊𝑿𝒊) = σ𝒊𝑬 𝑿𝒊 = 𝟏 4 此方法具有典型意义
n重伯努利试验 5 口有一类独立重复试验概型，具有如下特点： 口每次试验只有两种结果：A与A 口试验进行n次，每次试验结果相互独立 则称该独立重复试验为n重伯努利试验。 记P(A)=卫，P(A)=1-卫=q. 口设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数， pX=0=(p(1-p)m-,i=0,1,,n 二项分布
𝒏重伯努利试验 有一类独立重复试验概型，具有如下特点： 每次试验只有两种结果：𝑨与𝑨ഥ 试验进行𝒏次，每次试验结果相互独立 则称该独立重复试验为𝒏重伯努利试验。 记𝑷 𝑨 = 𝒑, 𝑷 𝑨ഥ = 𝟏 − 𝒑 = 𝒒. 设𝑿为𝒏重伯努利试验中事件𝑨发生的次数， 𝑷 𝑿 = 𝒊 = 𝒏 𝒊 𝒑 𝒊 𝟏 − 𝒑 𝒏−𝒊 ,𝒊 = 𝟎, 𝟏, … ,𝒏 5 二项分布
二项分布 6 口若随机变量X的分布律为 P(X=)=(p(1-p)m-i,i=0,1,,n 则称X服从参数为n,p的二项分布（其中n为自然数， 0≤p≤1为参数)，记作 X~B(n,p) 口分布律的验证 ▣P(X=)≥0 o∑0P(X=)=1
二项分布 若随机变量𝑿的分布律为 𝑷 𝑿 = 𝒊 = 𝒏 𝒊 𝒑 𝒊 𝟏 − 𝒑 𝒏−𝒊 ,𝒊 = 𝟎, 𝟏, … ,𝒏 则称𝑿服从参数为𝒏, 𝒑的二项分布(其中𝒏为自然数， 𝟎 ≤ 𝒑 ≤ 𝟏为参数),记作 𝑿 ∼ 𝑩(𝒏, 𝒑) 分布律的验证 𝑷 𝑿 = 𝒊 ≥ 𝟎 σ𝒊=𝟎 𝒏 𝑷 𝑿 = 𝒊 = 𝟏 6
二项分布的期望 7 口定理：设随机变量X~B(几，p),则 E(X)=np. 口证明一：利用期望公式+二项式系数转换。 证明二：将二项分布视为若干个0-1分布的和， 并利用期望的线性性质
二项分布的期望 定理：设随机变量𝑿 ∼ 𝑩 𝒏,𝒑 ，则 𝑬 𝑿 = 𝒏𝒑. 证明一：利用期望公式+二项式系数转换。 证明二：将二项分布视为若干个0-1分布的和， 并利用期望的线性性质。 7
例 8 一 张考卷上有10道单项选择题，每题有5个可选 答案，只有一个正确。某学生随机选择，至少 答对8道题的概率是多少？ 口分析：每答一道题相当于做一次伯努利试验， A={答对一道题}，则P(A)=0.2 答10道题相当于做10重伯努利试验。 口解：设X为答对的题数，则X~B(10,0.2),即 P(X=k)=(0)0.2k(1-0.2)10-k,k=0,…,10
例 一张考卷上有10道单项选择题，每题有5个可选 答案，只有一个正确。某学生随机选择，至少 答对8道题的概率是多少？ 分析：每答一道题相当于做一次伯努利试验， 𝑨 = 答对一道题 ，则𝑷 𝑨 = 𝟎. 𝟐 答10道题相当于做10重伯努利试验。 解：设𝑿为答对的题数，则𝑿 ∼ 𝑩 𝟏𝟎, 𝟎. 𝟐 ，即 𝑷 𝑿 = 𝒌 = 𝟏𝟎 𝒌 𝟎. 𝟐 𝒌 𝟏 − 𝟎. 𝟐 𝟏𝟎−𝒌 , 𝒌 = 𝟎, … , 𝟏𝟎 8
9 口所求概率为 P(X≥8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10), 根据计算有P(X≥8)=7.793×10-5. 问题：随机选择，答对多少题的概率最大？
所求概率为 𝑷 𝑿 ≥ 𝟖 = 𝑷 𝑿 = 𝟖 + 𝑷 𝑿 = 𝟗 + 𝑷 𝑿 = 𝟏𝟎 , 根据计算有𝑷 𝑿 ≥ 𝟖 = 𝟕. 𝟕𝟗𝟑 × 𝟏𝟎 −𝟓 . 9 问题: 随机选择，答对多少题的概率最大？
10 ▣答对两道题概率最大 0.35 n=10,p=0.2二项分布 0.3 k Pn(k) 0 0.107374182 0.25 1 0.268435456 2 0.301989888 0.2 3 0.201326592 4 0.088080384 5 0.026424115 0.15 6 0.005505024 7 0.000786432 0.1 8 0.000073728 9 0.000004096 0.05 10 0.000000102 0 0 1 2 3 5 6 7 8 9 10
答对两道题概率最大 10