参数估计
参数估计
提纲 2 口矩估计(The Method of Moments) 口极大似然估计（The Method of Maximum Likelihood) 口估计量的评选标准 口区间估计
提纲 矩估计(The Method of Moments) 极大似然估计（The Method of Maximum Likelihood） 估计量的评选标准 区间估计 2
点估计 3 参数的点估计就是对总体分布中的未知 参数0，以样本X1,X2…X构造统计量 (X1,X2,,Xn)作为参数0的估计，称 0(X1,X2,,Xm)为参数0估计量。 当测得样本值(x,2,x)时，代入， 即可得到参数0估计值：(x,2,…,x)
点估计 3 参数的点估计就是对总体分布中的未知 参数θ, 以样本X1 , X2 , ... Xn构造统计量 作为参数θ的估计, 称 θ ˆ ( , , , ) X X X 1 2 n 为参数θ估计量。 当测得样本值(x1 , x2 ,…, xn)时, 代入 ， 即可得到参数θ估计值： θ ˆ θ 1 2 ˆ ( , , , ) n x x x θ 1 2 ˆ ( , , , ) X X X n
区间估计 参数的区间估计是对总体分布中的未知 参数0，以样本X1,X2,…X构造2个统计 量01(X1,X2,…,Xn)和02(X1,X2,…,Xn), 以区间（⑥，62）作为参数0的估计。 对给定的概率1-0，满足： P(a1(K1,X2,…,Xn)<0<02(X1,X2,,Xn)=1-a
区间估计 4 参数的区间估计是对总体分布中的未知 参数θ, 以样本X1 , X2 , ... Xn构造2个统计 量 𝜽 𝟏 𝑿𝟏,𝑿𝟐, … ,𝑿𝒏 和𝜽 𝟐 𝑿𝟏,𝑿𝟐, … ,𝑿𝒏 ， 以区间 作为参数θ的估计。 对给定的概率1- α，满足： θ θ 1 2 ˆ ˆ ( , ) 𝑃 𝜽 𝟏 𝑿𝟏,𝑿𝟐, … , 𝑿𝒏 < 𝜽 < 𝜽 𝟐 𝑿𝟏,𝑿𝟐, … ,𝑿𝒏 = 𝟏 − 𝜶
矩估计 5 原则：以样本矩作为总体矩的估计， 从而得到参数的估计量
矩估计 5 原则：以样本矩作为总体矩的估计， 从而得到参数的估计量
矩估计 6 对随机变量X和非负整数k,若E(X)存 在，则称E(X)为X的阶原点矩，简称k 阶矩：若E[(x-E(X)]存在，则称 E[(X-E(X)]为X的k阶中心矩. 期望是一阶矩，方差是2阶中心距
矩估计 6 对随机变量𝑿和非负整数𝒌，若𝑬 𝑿 𝒌 存 在，则称𝑬 𝑿 𝒌 为𝑿的𝒌阶原点矩，简称𝒌 阶矩；若𝑬 𝑿 − 𝑬 𝑿 𝒌 存在，则称 𝑬 𝑿 − 𝑬 𝑿 𝒌 为𝑿的𝒌阶中心矩. 期望是一阶矩，方差是2阶中心距
矩估计 设总体X的分布类型已知，X的分布函数为 F(x;01,02,…,0k) 其中，01,02，…，0k为未知参数. 设X,X…,Xn为来自总体X的样本， 若EXm=m(01,02,…,0k)存在(m=1,,k) m阶样本矩为Am=∑=1X(m=1,,k)
矩估计 7 m阶样本矩为𝑨𝒎 = 𝟏 𝒏 σ𝒊=𝟏 𝒏 𝑿𝒊 𝒎 (𝒎 = 𝟏,… , 𝒌) 设总体X的分布类型已知，X的分布函数为 设X1 , X2 , ... , Xn为来自总体X的样本， 𝐹(𝑥; 𝜃1, 𝜃2, … , 𝜃𝑘) 其中，𝜽𝟏,𝜽𝟐,… , 𝜽𝒌为未知参数. 若𝑬𝑿 𝒎 = 𝝁𝒎(𝜽𝟏,𝜽𝟐,… , 𝜽𝒌)存在 (𝒎 = 𝟏,… , 𝒌)
矩估计 8 W1(01,82,,0e)=A1 4k(01,02,,0k)=Ak 这是包含k个未知参数日，…，O的方程组， 从中解出方程组的解，…，。 用8，…，0分别作为0，，O的估计量， 这一方法称为矩估计法。 这种估计量称为矩估计量；矩估计量的 观察值称为矩估计值
矩估计 8 1 1 , , ˆ ˆ k k k 这是包含 个未知参数 的方程组， 从中解出方程组的解 ， ， 。 1 1 ˆ ˆ k k 用 ， ， 分别作为 ， ， 的估计量， 这一方法称为矩估计法。 这种估计量称为矩估计量；矩估计量的 观察值称为矩估计值。 令 ቐ 𝜇1 𝜃1 , 𝜃2 ,… , 𝜃𝑘 = 𝐴1 … 𝜇𝑘 𝜃1 , 𝜃2 ,… , 𝜃𝑘 = 𝐴𝑘
矩估计：一个未知参数 9 1)先求出EX=u(0) 2)解出0=g(EX) 3)=g(X,)为矩估计量。 i≥1
矩估计：一个未知参数 9 1）先求出EX=𝜇(𝜃) 2）解出 𝜃=g(EX) 3） 为矩估计量。 1 1 ˆ ( ) n i i g X n = =
矩估计：两个未知参数 10 1)计算EX,EX2 EX=4(0,02) EX2=42(0,02） 2)解出0,02，用EX,EX2表示 0=f(EX,EX2) 02=f5(EX,EX2) 3)用代替EX,用三x代替EX2,有 日=f(x,2x) n i=l 即为0,0，的矩估计量。 A=(,号2) n i=l
矩估计：两个未知参数 10 1）计算 2 E , E X X 1 1 2 2 2 1 2 E ( , ) E ( , ) X X = = 2）解出 1 2 , ，用 E , E X X 2 表示 2 1 1 2 2 2 (E ,E ) (E ,E ) f X X f X X = = 3）用 X 代替 EX ，用 代替 EX 2 ，有 2 1 1 n i i X n = 2 1 1 1 2 2 2 1 1 ˆ ( , ) 1 ˆ ( , ) n i i n i i f X X n f X X n = = = = 即为 1 2 , 的矩估计量