s1矢量标量：只有大小的量。如温度等。矢量：既有大小又有方向的量。几何表示自由矢量：具有大小和方向而无特定位置的量AAQ!C0'2025/11/9向量代数简介
2025/11/9 向量代数简介 1 §1 矢 量 标量：只有大小的量。如温度等。 矢量：既有大小又有方向的量。 几何表示 自由矢量：具有大小和方向而无特定位置的矢量 O O' A A' a a
[0A =[a]矢量的模：单位矢量：模等于1的矢量。零矢量：模等于0的矢量。逆矢量-a：与模相等而方向相反的矢量zP1x2025/11/9向量代数简介2
2025/11/9 向量代数简介 2 矢量的模： OA a = 单位矢量：模等于1的矢量。 零矢量：模等于0的矢量。 逆矢量 −a ：与 a 模相等而方向相反的矢量。 x y z r P
S2矢量的加法和减法矢量的和：平行四边形法则。a+aa+bb量的差：a-b=a+(-b)32025/11/9向量代数简介
2025/11/9 向量代数简介 3 §2 矢量的加法和减法 矢量的和：平行四边形法则。 a b + a b a b + a b a b − = + −( ) 矢量的差：
S3矢量的数乘aa=-aaaa数乘：uaa- Qua(u+ a)a= aa+ uaa(a+b)= aa+ ab2025/11/9向量代数简介4
2025/11/9 向量代数简介 4 §3 矢量的数乘 数乘： a a a = a a = ( a b a b + = + ) ( + = + ) a a a
S4矢量的正交分解矢量的分量表示e3ae2eia=xei+ye2+zesa=(x,y,z]xa=xei+yie2 +z,e3,b= x,e1 + yze2 +zze3,a+b=(x ±x,)ei +(yi±y2)e2 +(z ±z2)eaa=ax,ei+ay,e2+z,e3,2025/11/9向量代数简介5
2025/11/9 向量代数简介 5 §4 矢量的正交分解 矢量的分量表示 1 e 2 e 3 e x y a a xe ye ze = + + 1 2 3 a x y z = { , , } 1 2 3 1 1 1 1 2 3 2 2 2 , , a x e y e z e b x e y e z e = + + = + + a b x x e y y e z z e = + + ( 1 2 1 2 1 2 ) 1 2 3 ( ) ( ) 1 2 3 1 1 1 a x e y e z e = + +
矢量A的模A=VA?+A?+AA.AyAβ方向角(α,β,y)01AαXx方向余弦AA.Acos β=ZxCOScosα =AAA向量代数简介2025/11/96
2025/11/9 向量代数简介 6 矢量A的模 2 2 2 A A A A = + + 1 2 3 方向角 A x y z O A x A y A z ( , , ) 方向余弦 cos Ax A = cos Ay A = cos A z A =
给定二矢量.A:A=27指向正东，例1B:B=15且指向东偏北40°求 （1)A+B,(2)B-A,（3)A-5By见坐标如图，x正方向为东，解：By正方向为北。A= 27i0xAB=15c0s40°i +15sin40°j于是A+B=(27+15cos40°)i +15sin40°jB- A=(15cos40°-27)i+15sin40° jA-5B=(27-75cos40°)i-75sin40°j72025/11/9向量代数简介
2025/11/9 向量代数简介 7 例1 给定二矢量. 指向正东， 且指向东偏北 . 求（1） （2） （3） A: A = 27 B B: 15 = 40 A B + , B A − , A B −5 . 解： 见坐标如图，x正方向为东， y正方向为北。 x y o A B A i = 27 B i j = + 15 40 15 40 cos sin 于是 A B i j + = + + (27 15 40 15 40 cos sin ) B A i j − = − + (15 40 27 15 40 cos sin ) A B i j − = − − 5 27 75 40 75 40 ( cos sin )
例 2在坐标系Oxy和Oxy"中表示力F,F= 150N.F = 100N,Zx0x'= 30.解：+F2LF2- F2 =±/1502 -1002 ~±111.8F, =±vF=100i ±111.8j0x另外，F=100i±111.8j=F,i'+F,ji'= cos30°i +sin30°j而j'= -sin30°i +cos30°j8向量代数简介2025/11/9
2025/11/9 向量代数简介 8 例 2 在坐标系Oxy和Ox’y’中表示力 , . , ' . 150 100 30 F F N F N xOx = = = x x y o 解: 2 2 F F F = + x y 2 2 2 2 150 100 111 8. F F F y x = − = − F i j =100 111.8 y ' x' 另外, ' ' 100 111.8 ' ' F i j F i F j = = + x y 而 30 30 30 30 i i j j i j = + = − + ' cos sin ' sin cos
F=100i ±111.8j = F,i'+ F,ji°=cos30°i+sin30°ij'=-sin30°i +cos30°jF =100i ±111.8j= Fr. (cos30°i + sin30°7)+ F. (-sin30°i +cos30°j)即[100 = Fr.cos30°-F, sin30°±111.8j= Fr, sin30°+ Fr, cos 30F..F联立求解,可得向量代数简介92025/11/9
2025/11/9 向量代数简介 9 ( ) ( ) 100 111 8 30 30 30 30 ' ' . cos sin sin cos x y F i j F i j F i j = = + + − + 即 100 30 30 111 8 30 30 x y x y F F j F F = − = + ' ' ' ' cos sin . sin cos 联立求解,可得 ' ' , . F F x y . ' ' 100 111.8 ' ' F i j F i F j = = + x y 30 30 30 30 i i j j i j = + = − + ' cos sin ' sin cos
例3某物体位移为3,s=200.写出它在非正交坐标系Oxy中的分解式s=s,i+s,j解:如图所示.由正弦定理得Sx-60°15°sin105°sin15°sin 60°S1sS-S1可解出Sx = 223.1, s, = -59.83 = 223.1i -59.87向量代数简介102025/11/9
2025/11/9 向量代数简介 10 例3 某物体位移为 .写出它在 非正交坐标系Oxy中的分解式 s,s = 200 . x y s s i s j = + 解: x y 15 60 x s y s 如图所示,由正弦定理得 60 105 15 x y s s s = = − sin sin sin 可解出 223 1 59 8 x y s s = = − . , . s i j = − 223.1 59.8