四、空间积累定轴转动的功和能力矩的功：ds, = r,dpdA, = F, dr,ds= Fids; cos("/2 -0,)FFull= Fr,·dpsine,ol-Sdo20= M,·dpPziEdA,dA外=i-EM,dp={M,dpi力矩的功@l= M,do
四、定轴转动的功和能（空间积累） 力矩的功: = F r d i i i ⊥ sin i i zi i z dA dA M d M d = = 外 ＝ 2 1 A M d z = 外 -力矩的功 d d A F r i i i = = M d zi i i ds r d = 2 cos( ) F ds i i i = − ⊥
口定轴转动的动能定理动能E手3猜测？Ek-卜E,=ZAm,v?=ZAmro2CAm.r00?72动能定理12@2aa[ JodoJ02Joadp=MddA=22dt@l.A外 = Ek2 -El一一一定轴转动的动能定理合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于它的转动动能的增量
2 2 1 Ek = J 2 1 A Md = 猜测？ A外 = Ek 2 − Ek1 定轴转动的动能定理 Ek = ? 1 2 2 E m v k i i = = 动能 动能定理 2 1 2 2 2 1 2 1 = J − J -定轴转动的动能定理 合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的 功等于它的转动动能的增量。 1 2 2 2 m ri i 1 2 2 ( ) 2 = m ri i 1 2 2 = J d J d dt = = 2 1 J d
定轴转动的功能原理质点系功能原理对刚体仍成立(EA.+A+E)一(E+E)=AEk+AE内非k2ki外1P1P2刚体重力势能：E，=Z△mghi刚体的重力势能与它的质量ZAm;hi集中在质心时的二mgAm;m势能相同CX二mghe当A外=0,A非保=0hehEp+Ek=常量E=01一定轴转动的机械能守恒
定轴转动的功能原理 质点系功能原理对刚体仍成立: A 外 + A 内非 =（ E k2 +E p 2 ）—（E k1 + E p 1 ） 刚体重力势能：E m gh mg m h m mgh p i i i i c = = = C× hc hi Δmi Ep =0 刚体的重力势能 与它的质量 集中在质心时的 势能相同. = Ek + EP —定轴转动的机械能守恒 当A外=0, A非保=0 EP + EK = 常量
例一根长为L、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆确角时的角加速度和角速度。1mL?3x解 M ={ xdmog=g] xdm= mgxC10XLM =mg cosadm2L3gcos0B:mg cos0MJB22Ldm.gdedododoMJOdedtdtde3gsineMde =0adaL
例一根长为L、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固 定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初 棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角加速度和 角速度。 X O dm.g dm x mg cos L M 2 = d d d d d d d d J t J t M = J = = sin 3 L g = = 0 0 Md J d mg cos L M J 2 = = 2 3 1 J = mL 解： L g 2 3 cos = M = xdm• g = g xdm = mgxc
F受力分析：F2F由质心运动定理10cXF - mg sin = ma nmg cos - F, = ma,mg这里质心的切向和法向加速度分别为：3gsine0LLL3g sin03g sin00a,2L223gcoseLBL3g cos 03g cos 02LB222L415F-mg cose解得：Fmg sin42
受力分析： X O mg F F1 F2 c 由质心运动定理： − = − = t n mg F ma F mg ma 2 1 cos sin 这里质心的切向和法向加速度分别为： = = 2 2 2 L a L a t n 解得： sin 2 5 F1 = mg cos 4 1 F2 = mg sin 3 L g = 2 3 sin L L g = 2 2 3 cos L L g = 2 3gsin = L g 2 3 cos = 4 3gcos =
例：长为L，质量为M的均质杆，一端悬挂并可绕o轴在铅直平面内自由转动，开始杆处于静止状态，一质量为m的泥团以水平速度v打在杆的中心并粘住碰撞过程动质点+刚体问题量于恒吗？v碰撞过程角动0量守恒吗？碰撞过程→系统角动量守恒上摆过程一系统机械能守恒
例：长为L，质量为M的均质杆，一端悬挂并可 绕o轴在铅直平面内自由转动，开始杆处于 静止状态，一质量为m的泥团以水平速度v0 打在杆的中心并粘住。 c o v o 质点+刚体问题 碰撞过程动 量守恒吗？ 碰撞过程→系统角动量守恒 上摆过程→系统机械能守恒 碰撞过程角动 量守恒吗？
的另一种解法：棒和地球作为研究系统Q势能零点由于在棒下摆的过程中：X#jh外力（轴对棒的支持力）不做功mg只有重力矩做功系统的机械能守恒 Jo2 + mg(-h.)= 02这里：Lsin 6h. ===mL3233gsin0解得：0L
棒和地球作为研究系统 由于在棒下摆的过程中： 外力（轴对棒的支持力）不做功 只有重力矩做功 系统的机械能守恒 0 2 1 2 J + mg(−hc ) = 这里: 解得： L g 3 sin = 的另一种解法： O X mg F F1 F2 c c h 势能零点 2 3 1 J = mL sin 2 1 hc = L
例：有一子弹,质量为m,以水平速度射0入杆的下端而不复出，求杆和子弹可摆到的最大角度M.lhel解：系统对轴O角动量守恒！( M2 + ml)omlyo=(33mVom.0=3m+M l杆和子弹一起运动过程系统机械能守恒：求出杆和子gM*+m")0*= Mghe+ mgh弹可摆到的最大角度。h。 =↓(1-cos 0)h = l(1- cos0)
例:有一子弹,质量为m,以水平速度v射 入杆的下端而不复出,求杆和子弹 可摆到的最大角度。 m v0 解: 系统对轴O角动量守恒! M.l O = + ) 3 1 ( 2 2 mlv0 Ml ml l v m M m 0 3 3 + = 杆和子弹一起运动过程系统机械能守恒： + = 2 2 2 ) 3 1 ( 2 1 Ml ml hc { }h MghC + mgh (1 cos ) 2 = − l hc h = l(1 − cos ) 求出杆和子 弹可摆到的 最大角度
杆对轴的作用力方向？0子弹打在何处可使轴的横向作用力为零？以子弹与杆为系统写出动量定理：M.IxVo受力:Mg,mg,FNn,Fntm横向：[ F,dt = M + mv - mvo设子弹打在距轴x处，当FNf-0时：0 = Mo×=+mxo-mvo2の可由对轴的角动量守恒求出：mxv。=(_ M2+ ml")2打击中心x=3
m v0 子弹打在何处可使轴的横向作用力为零？ 以子弹与杆为系统写出动量定理： 受力：Mg,mg,FNn,FNt 横向： d Mv mv mv0 F t Nt = + − 设子弹打在距轴x 处，当FNt=0时： 0 2 0 mx mv l = M + − 可由对轴的角动量守恒求出： = + ) 3 1 ( 2 2 mxv0 Ml ml x l 3 2 = 打击中心 M.l O x 杆对轴的作用力方向？
练习.如图所示，长为L的均匀直棒，质量M，上端用光滑水平轴吊起而静止下垂。今有一子弹m，一水平速度射入杆的悬点下距离为处而不复出。问：（1）一子弹和杆为系统，动量是否宇旧（1）轴承力是外力，外力不为零，系统动量不守恒！0（2）作用力是水平还是竖直？（2）都有M.1（3）此力可能为零吗？（3）由于击中点位置不同，水平分力有可能为零Vo4）子弹射入过程什么量守恒？mM（4）对轴的角动量守恒mlyo3mVo:.0mlv =(_ M? + ml")3m+ M7
练习. 如图所示，长为L的均匀直棒，质量M，上端用 光滑水平轴吊起而静止下垂。今有一子弹m，一水平 速度v0射入杆的悬点下距离为d处而不复出。 问：（1）一子弹和杆为系统，动量是否守恒？ （2）作用力是水平还是竖直？ （3）此力可能为零吗? (4) 子弹射入过程什么量守恒? （2）都有 （3）由于击中点位置不同，水平分 力有可能为零 （4）对轴的角动量守恒。 m v0 M.l O (1) 轴承力是外力，外力不为零，系统动量 不守恒！ = + ) 3 1 ( 2 2 mlv0 Ml ml mlv (M m)lv 0 = + l v m M m 0 3 3 + =