23物理与工程Vol.20No.122010均质半圆盘质心计算的微元选取及讨论赵素贵！江海燕”·储德林！（解放军炮兵学院物理教研室，安徽合肥230031）（合肥工业大学电子科学与应用物理学院，安徽合肥230009)（收稿日期：2009-06-11)摘要微元分析法是体现大学物理思想的重要研究方法，本文通过均质半圆盘质心计算中质量元的多种选取方案，意在凸显微元法的精妙，给学生以引导和启迪关键词微元法；质心计算DISCUSSIONONTHE SELECTIONOFINFINITESIMALELEMENTINCENTROIDCALCULATIONOFHOMOGENOUSHALF-DISCZhao Sugui' Jiang Haiyan?Chu Delin'(IDepartment of Physics, Artillery College of PLA,Hefei, Anhui 230031)(2 School of Electronic Science and Applied Physics, Hefei University of Technology, Hefei, Anhui 230009)Abstract Infinitesimal element analysis is an important research method to reflect the thoughtof college physics. In this paper,we discuss various selected plans of the quality meta in cen-troid calculation of homogenous half-disc, which is intended to highlight the exquisite infini-tesimal element method and edify the students.KeyWordsinfinitesimal methodcentroid calculation在讨论质点系的运动时，常常引人个非常admydmzdm(2)重要的概念质心，顾名思义，质心就是质量中JAmmm心，是相对于质点系本身的一个特殊位置.由于内在求解过程中，质元dm可有多种取法.本文力和外力的作用，质点系内各个质点的运动情况以均质半圆盘（质量为m，半径为R）的质心计算可能很复杂，但相对于质心，其运动规律可能比较为例，对于如何选取微元，进行一些有益的探讨.简单，仅由质点系所受的合外力决定，基于此，质心位置的确定及其测量在工程技术如发动机、车1质元的5种取法辆、船舶、武器装备、火箭、航天器等设计制造上显得尤为重要1.2]1.1矩形质元对于质量连续分布的物体，任一质元dm，建立如图1所示的直角坐标系.在半圆盘上则物体的质心位置可以表示成任取一长为dr、宽为dy的矩形质元[rdmdm = adrdy(1)re-m2m式中，=为半圆盘质量面密度，R为半圆盘半式中，r表示质元的位.计算中常采用直角R2坐标系中的分量式径.根据对称性分析，半圆盘质心在轴上（以下分析同)
物理 与工 程 Vo1．2O No．1 2010 均质 半 圆盘 质 心计 算 的微 元选 取及 讨 论 赵 素 贵 江 海燕。 ‘储 德林 (解 放军 炮兵 学 院物理 教 研 室 ，安 徽 合肥 230031) (。合 肥 工 业大 学 电子科 学 与应用 物理 学 院 ，安 徽 合肥 230O09) (收 稿 日期 ：2009—0611) 摘 要 微 元分 析 法是 体现 大 学物理 思想 的重 要研 究方 法．本 文通 过 均质 半 圆盘 质 心计 算 中质 量 元 的 多种选 取 方案 ，意在 凸显微 元 法的精 妙 ，给 学生 以引 导和 启迪． 关键 词 微 元 法 ；质 心计 算 DISCUSSION ON THE SELECTION OF INFINITESIM AL ELEM EN T IN CENTRoID CALCULATIoN oF HoM oGENoUS HALF—DISC ZhaoSugui Jiang Haiyan ChuDelin ( Departm ent。fPhysics，Artillery CollegeofPIA ，H efei，Anhui230031) (。SchoolofElectronicScienceandApplied Physics，HefeiUniversity ofTechnology，Hefei，Anhui230009) Abstract Infinitesimalelementanalysisisan importantresearch methodtoreflectthethought ofcollegephysics．In thispaper，wediscussvariousselected plansofthequalitym etain cen— troid calculation ofhomogenoushalf～disc，which is intended to highlighttheexquisiteinfini— tesima1elementmethod and edify thestudents． KeyW ords infinitesim alm ethod：centroid calculation 在讨 论 质点 系 的运 动 时 ，常 常 引入 一 个 非 常 重要 的 概念 —— 质 心，顾 名思 义 ，质 心 就 是 质 量 中 心 ，是相 对 于质 点系本 身 的 一个 特 殊 位 置．由于 内 力 和外 力 的作 用 ，质 点 系 内各 个 质 点 的运 动 情 况 可能 很 复杂 ，但相 对 于质 心 ，其运 动 规 律 可 能 比较 简单 ，仅 由质 点 系所 受 的合 外 力 决 定 ．基 于 此 ，质 心位 置 的确 定 及 其 测 量 在 工 程 技 术 如发 动 机 、车 辆 、船舶 、武器 装 备 、火 箭 、航 天器 等 设 计 制 造上 显 得尤 为重 要I】’． 对于质量连续分 布的物体 ，任取一质元 d ， 则物 体 的质心 位 置可 以表 示成 一 ㈩ 式 中 ，r表示 质 元 的 位 矢．计算 中 常采 用 直 角 坐标 系 中的分 量式 lxdm lydm Izdm 。 一 J_一 ， 一 J_ 一 ， z 一 一 (2) m frL lfL 在求 解 过 程 中 ，质 元 dm 可 有 多种 取 法．本 文 以均 质半 圆盘 (质 量 为 m，半 径 为 R)的 质 心 计 算 为例 ，对 于如何 选 取微 元 ，进行 一些 有益 的探 讨． 1 质 元 的 5种 取法 1．1 矩形 质元 建立 如 图 1所 示 的 直 角 坐 标 系 ．在 半 圆 盘 上 任取 一长 为 出 、宽 为 的矩 形质 元 dm == adxdy 式 中 ，一 为半 圆 盘质量 面 密 度 ，R 为 半 圆盘半 丁【^ 径 ．根 据对 称性 分 析 ，半 圆盘 质 心 在 轴 上 (以 下 分 析 同)．
24Vol. 20No.12010物理与工程AdyR00图3长条形质元（平行于轴）图1矩形质元1.4长条形质元（垂直于x轴）由式（2)，质心坐标在圆盘上处取一平行于轴的长条形质ydmR0元，如图4所示，ydydrYem元R2dm=oyd.r1(R2-)d1R24R3元1.2梯形质元在与轴夹角为6，对心角为d的小扇形上0dx取一梯形质元，如图2所示，质元下底到原点的距图4长条形质元（垂直于轴）离为r，则质元的质心为（工，），所以，半圆盘的质心[rdo+(r+dr)do]drdm=-7位置12ydm2daye元Rm(R2-)d元R204R图2梯形质元3元1.5半圆环质元略去二阶无穷小基，可得半圆盘可看成由无穷多个半径不同的微小半dm=ardrdo圆环组成，如图5所示.在半圆盘上任取一半径为则质心位置z，宽为dz的半圆环作为质元，则2mrdrdoydmy元R22rad元RaJsrdrdodmnadryemm因y=rsino，所以yi4R2sinddgYe-3元R21.3长条形质元（平行于x轴）在圆盘上取一距轴为，宽为dy的长条形Podx-质元，如图3所示，图5半圆环质元4mVR-ydydm=a2/R2-ydy=元R2处[3]半径为的半圆环的质心在（0，该质元的质心为（0，y），所以半圆盘的质心位置则半圆盘的质心ydm4.TR4RyR-ydyYe元R?J3元m
25物理与工程Vol.20No.12010因y=Rsing，则2rdm44R元x"dr=ye=RTsinodg=2RYem元R2J3元元J0A结果与正确解不符！需要说明的是，此处的错误2讨论与质元的选取无关，取扇形质元是可行的，但必须先把扇形质元的质心在轴上的分量计算出来，然后再积分，过程略显复杂。ydm公式y中y的物理含义是质元的在大学物理教学中，质心计算和处理方法在m涉及刚体的转动、只滚不滑等类问题时比较普遍质心在轴上的分量，如果理解出现偏差，容易出此外，在转动惯量的计算、求电场和电势的分布、错，本题中如取小扇形作为质元，如图6所示，则求电流的磁场分布等问题中，微元法（包括质量IR'de="mdodm=g2元元、电荷元、电流元等）是分析问题、解决问题的最基本方法，通常来说微元可有多种选取方案，可根川据具体情况做出灵活选择，Rde参考文献[1］吴庆鸣等。发动机质心测量方案研究[J].航空制造技术，olY2003,(11)图6扇形质元[2］陈勉等，卫星质心兰轴快速测量配重新工艺[J].航天器环境工程，2005，22(6)由式(2)［3]张三慧，大学基硼物理学[MJ.北京：清华大学出版社，ydm2005, 10ydeYem（上接第20页）于涉实验中，于涉条纹的分布受到衍射的调制，在经过了上面的分析讨论后，可以比较容易地总结出干涉和衍射这两个概念的区别与联系：sine从本质上来说，干涉和衍射都是波相干叠加的结果，但在形成条件、分布规律以及数学处理方法上图4双缝干涉条纹光强分布略有不同.当参与叠加的各束光是有限多束时，就可以看作是纯干涉问题；当光波可以看成连续的11无限多个次波的相干叠加，这时可以看成是一种衍射问题，在数学上表现为积分间题，只要抓住光的这一本质，我们也可以用同样的方法去分析多缝衍射问题。sing27参考文献b图5受衍射影响的双缝干涉条纹光强分布【1]】母国光，战元令。光学[M］，北京：人民教育出版社，1978[2］孙幕渊夫琅禾费双狭缝衍射的讨论[J]．咸宁学院学报，2004,12(6):69~703结论由式（5）中的干涉因子和衍射因子知，在双缝
物理 与工 程 Vo1．20 No．1 2010 2 讨 论 一一 Jf。z 一-_ Iydrn 公式 Y 一 L 中 的物 理 含 义 是 质 元 的 ¨ L 质心 在 轴上 的分 量 ，如果 理解 出现 偏差 ，容 易 出 错．本题 中如 取小 扇形 作为 质元 ，如图 6所示 ，则 dm === R dO— re do 由式 (2) dO ／ ＼ 誊 . ＼ D 图 6 扇 形 质 元 Y 一一一 一一二丁c』JlydO 因 y=RsinO，则 yc一一垦—7【 Jrl0 simn0Ud0U一鲨—7【 结果 与正 确 解 不 符 !需 要 说 明 的是 ，此 处 的 错 误 与质 元 的选取 无关 ，取 扇形 质 元 是 可行 的 ，但 必 须 先把 扇形 质元 的 质 心 在 轴 上 的 分量 计 算 出来 ， 然后 再积 分 ，过程 略显 复杂 ． 在大 学物 理 教 学 中 ，质 心 计 算 和 处 理方 法 在 涉及 刚体 的转 动 、只滚 不滑 等 类 问题 时 比较普 遍 ． 此外 ，在转 动 惯 量 的计 算 、求 电 场 和 电势 的分 布 、 求 电 流 的 磁 场 分 布 等 问题 中 ，微 元 法 (包 括 质 量 元 、电荷元 、电流元 等 )是 分 析 问题 、解 决 问题 的最 基 本方 法 ，通 常来说 微元 可 有 多种 选 取 方 案 ，可根 据 具体 情况 做 出灵 活选 择． 参 考 文 献 [1] 吴庆鸣等．发动机质 心 测量 方案 研究 lJ]．航空 制造 技术 ， 2003，(11) [2] 陈勉等．卫星质心 三轴快速测 量配重 新工艺 _J]．航 天器 环 境 工 程 ，2005，22(6) E3] 张三 慧．大 学 基础 物 理学 [M]．北 京 ：清 华 大学 出 版社 ， 2nn 10 (上 接 第 2O页 ) 图 4 双 缝 干涉 条 纹 光 强 分 布 一 一 一 3 结 论 由式 (5)中的干 涉 因子 和衍射 因子知 ，在双 缝 干 涉实 验 中 ，干涉 条 纹 的分布 受到 衍射 的调 制． 在 经过 了上 面 的 分 析 讨 论 后 ，可 以 比较 容 易 地 总结 出 干涉 和衍 射 这 两个 概 念 的 区 别 与 联 系 ： 从本 质 上来 说 ，干 涉 和 衍 射 都 是 波 相 干 叠 加 的结 果 ，但在 形成 条件 、分 布规 律 以及 数 学 处 理方 法 上 略 有不 同．当参 与叠 加 的各束 光 是 有 限 多束 时 ，就 可 以看作 是 纯 干 涉 问题 ；当 光 波 可 以 看 成 连 续 的 无 限多个 次 波 的相 干 叠 加 ，这 时 可 以 看 成 是 一 种 衍射 问题 ，在 数学 上 表现 为积 分 问题．只 要抓 住 光 的这一本 质 ，我们 也 可 以 用 同样 的 方 法 去 分 析 多 缝衍 射 问题 ． 参 考 文 献 [1] 母罔光 ，战元令．光学 [M]．北京 ：人民教育出版社 ，1978 [2] 孙慕渊．夫 琅禾费 双狭缝 衍射 的讨论 [J]．咸 宁学 院学报 ， 2004。】2(6)．69～ 70 单 一 八，=二=一 八二=巫 八二== 八=== 八==豆孚