大学物理 第二讲则体的定轴转动习题课 一个瞬时作用定律：M=Jα 两个运动定律：M.d0=(J2)2-(J2) ∫M2dt=(Jω)2-(J)1 两个守恒定律：角动量守恒机械能守恒 刚体的转动动能： E1=J2 刚体绕定轴的角动量： L=Jω 刚体的重力势能： E,=Mgh。 习题课
M dt ( J ) ( J ) Z 2 1 = − 两个守恒定律：角动量守恒 机械能守恒 刚体的转动动能: 2 k 1 E J 2 = 刚体绕定轴的角动量: L = J 刚体的重力势能： Ep = Mghc 2 2 2 1 1 1 M d ( J ) ( J ) 2 2 两个运动定律： = − 一个瞬时作用定律： M J z =
已F大学物理国质点直线运动和刚体的定轴转动物理量对比：质点直线运动刚体的定轴转动位移角位移40Axdxde速度角速度0=V=dtdtdedvd'xdo加速度角加速度β=a:dt?dt?dtdtm,r?J-Z质量转动惯量mA=I°Mzde功A=J Fdx功1Ex-Jo转动动能动能Ex=/m动量mv角动量mrxiJo角动量门题银AIⅡ
质点直线运动和刚体的定轴转动物理量对比： = 2 1 d A MZ 质点直线运动 刚体的定轴转动 dt d = 位移 x 速度 2 2 d d d d t x t v 加速度 a = = 功 A = Fdx 角位移 t 角速度 x v d d = 2 2 d d d d t t 角加速度 = = 质量 m = 2 i i 转动惯量 J m r 功 动能 2 2 1 E mv K = 转动动能 2 2 1 EK = J 动量 mv 角动量 mr v 角动量 J
F个大学物理m课堂讨论题1.当两个力作用在一个有固定转轴的刚体上，下列说法正确吗？(1）这两个力都平行于轴作用时它们对轴的合力矩一定为零：(正确）(2)这两个力都垂直于轴作用时它们对轴的合力矩可能为零；(正确）3）这两个力矢量和为零时，它们对轴的合力矩一定为零：（不正确）(4)这两个力对轴的合力矩为零时，它们的矢量和一定为零；（不正确）动题银AII
课堂讨论题 1.当两个力作用在一个有固定转轴的刚体上，下列说法正确吗? (1)这两个力都平行于轴作用时它们对轴的合力矩一定为零; (2)这两个力都垂直于轴作用时它们对轴的合力矩可能为零; (4)这两个力对轴的合力矩为零时,它们的矢量和一定为零; (3)这两个力矢量和为零时,它们对轴的合力矩一定为零; (正确) (正确) (不正确) (不正确)
OF个大学物理2.一水平匀质圆盘可绕垂直于盘面且通过盘心的中心轴转动.盘上站着一个人开始时人和盘整个系统处于静止状态。当人在盘上任意走动时，忽略盘与轴之间的摩擦,对该系统下列各物理量是否守恒?原因何在？(1)系统的动量;(2)系统的机械能;；（3)系统对轴的角动量关键：各物理量守恒的条件！10否(1)系统的动量;2否(2)系统的机械能；(3)系统对轴的角动量；守恒动题银AII
o 2.一水平匀质圆盘可绕垂直于盘面且通过盘心的中心轴转 动,盘上站着一个人,开始时人和盘整个系统处于静止状态。 当人在盘上任意走动时,忽略盘与轴之间的摩擦,对该系统下 列各物理量是否守恒?原因何在? (1)系统的动量; (2)系统的机械能; (3)系统对轴的角动量. 关键：各物理量守恒的条件！ (1)系统的动量; (2)系统的机械能; (3)系统对轴的角动量； 否 否 守恒
E个大学物理例：大圆盘M,R.人m.二者最初都相对地面静止.当人沿盘边缘行走一周时.求盘对地面转过的角度？解：盘+人系统对竖直轴的外力矩=0系统对轴的角动量守恒0J'@-J2=0MR2J' = mR?2=de20与分别表示人和盘对地面发生的角位移dtde1dodomRMR2dtdtdtdedo-6CmR2MR002dtdtmO==MO0=2元-0人在盘上走一周时22m@=2元这是一道角动量守恒+相对运动的题型，请大家注2m+M意方法，并与动量守恒+相对运动题型的比较门题银AII
o 例:大圆盘M,R. 人m.二者最初都相对地面静止.当人沿 盘边缘行走一周时,求盘对地面转过的角度? 解: 盘+人 系统 对竖直轴的外力矩=0 系统对轴的角动量守恒. J − JΩ= 0 2 2 2 1 J = mR J = MR 与分别表示人和盘对地面发生的角位移 dt d = t Θ Ω d d t = Θ MR t mR d d 2 1 d 2 d 2 = t Θ MR t mR Θ d d 2 1 d d 2 0 2 0 = m = M 2 1 人在盘上走一周时 = 2 − 2 2 2 + = m M m 这是一道角动量守恒+相对运动的题型，请大家注 意方法，并与动量守恒+相对运动题型的比较
FF个大学物理如图所示，一光滑细杆上端由光滑绞链固定，杆可绕其上端在任意角度的锥面上绕竖直轴00?作匀角速转动.有一小环套在杆的上端处：开始使杆在一个锥面上运动起来，而后小环由静止开始沿杆下滑．在小环下滑过程中，小环、杆和地球系统的机械能以及小环加杆对轴00’的角动量这两个量中分析：只有一个外力--(A）机械能、角动量都守恒。轴承力，其对轴的力矩为零，则角动量守恒！(B)机械能守恒，角动量不守恒(C)机械能不守恒，角动量守恒该外力矩作功当然也为零考虑各内力，只有保守(D）机械能、角动量都不守恒.力一重力作功，其他对内力作功为零，机械能守恒动题银
如图所示，一光滑细杆上端由光滑绞链固定 ，杆可绕其上端在任意角度的锥面上绕竖 直轴OO′作匀角速转动．有一小环套在杆 的上端处．开始使杆在一个锥面上运动起 来，而后小环由静止开始沿杆下滑．在小 环下滑过程中，小环、杆和地球系统的机 械能以及小环加杆对轴OO＇的角动量这 两个量中 (A) 机械能、角动量都守恒． (B)机械能守恒，角动量不守恒． (C)机械能不守恒，角动量守恒． (D) 机械能、角动量都不守恒． O O′ 分析：只有一个外力- 轴承力，其对轴的力矩为 零，则角动量守恒！ 该外力矩作功当然也为零 ，考虑各内力，只有保守 力—重力作功，其他对内 力作功为零，机械能守恒 ！
OFT大学物理3.一圆盘可绕垂直于盘面且通过盘心的中心轴00以角速度の沿顺时针方向转动(1)在同一水平直线以相反方向同时射入两颗质量0'相同,速率相等的子弹,并盘的角速度减小因为角留在盘中，盘的角速度如何动量L=J不变，但转动惯变化？量加大了0(2)两大小相等,方向相反但V不在同一直线上的力沿盘面同时作用在盘上,盘的角速度如何变化？盘的角速度增大，因为转盘受到同向的力矩0'门题银AIⅡ
3. 一圆盘可绕垂直于盘面 且通过盘心的中心轴OO'以 角速度 沿顺时针方向转动. (1) 在同一水平直线以相 反方向同时射入两颗质量 相同,速率相等的子弹,并 留在盘中,盘的角速度如何 变化? v v O O' (2)两大小相等,方向相反但 不在同一直线上的力沿盘面 同时作用在盘上,盘的角速度 如何变化? 盘的角速度增大,因为转盘受到同向的力矩 盘的角速度减小,因为角 动量L=J 不变,但转动惯 量J加大了. v v O O
F个大学物理4.质量分别为Mi、M,,R1、R,的两个均匀圆柱体可分别绕它们本身的轴转动,二轴平行.开始时它们分别以角速度の10、の20匀速转动，然后平移两轴使他们的边缘互相接触.试分析在此过程中以两圆柱为系统,对0,或0,的角动量是否守恒?如何求解当两圆柱的接触点无相对滑动时,它们的角速度の,和の2？W100102002RR24B0.R01R02答：在此过程中以两圆柱为系统，对0，或0，的角动量不守恒.因为轴1上的力对轴2力矩不为零：反之亦然版训AI1
10 A 20 O1 O2 R1 B R2 1 A 2 O1 O2 R1 B R2 答：在此过程中以两圆柱为系统,对O1或O2的角动量不 守恒. 因为轴1上的力对轴 2力矩不为零;反之亦然。 4. 质量分别为M1、M2 ,R1、R2的两个均匀圆柱体可分别绕它 们本身的轴转动,二轴平行.开始时它们分别以角速度 10 、 20 匀速转动,然后平移两轴使他们的边缘互相接触.试分析在此过 程中以两圆柱为系统,对O1或O2的角动量是否守恒?如何求解当 两圆柱的接触点无相对滑动时,它们的角速度 1和 2 ?
F个大学物理求解它们的角速度の，和方法如下：0102两滑轮边缘线速度相同，所以R2B0,R =O,RA0R02对A,B分别用角动量定理设两滑轮边缘相互作用力为大小F根据角动量定理FR,dt == M,R(0, -010)A:对轴O12-FR,dt ==1M,R(, -W20 )B:对轴O22求解上述方程可得の和の2。门题银AII
( ) 2 1 d 1 10 2 FR1 t = M1 R1 − 设两滑轮边缘相互作用力为大小F,根据角动量定理 2 2 2 2 2 20 1 FR dt M R ( ) 2 − = − 求解上述方程可得 1和 2 。 A:对轴O1: B:对轴O2: 求解它们的角速度 1和 2 方法如下: 两滑轮边缘线速度相同,所以 1 R1 =2 R2 对A,B分别用角动量定理 1 A 2 O1 O2 R1 B R2
OFT大学物理m课堂计算题B1.已知:如图，m=2.0kg,R=0.5m,k=20N/mj=7.5kg:m2Rα=37°.不计摩擦.当弹簧无形变时将A由静止释放.求A(1)A下滑的加速度：OkmQQQQQe(2)A下滑的最大速率：C(3)A下滑的最大距离：α=37°x解：(能量微分法)：以A.B.C.地球,斜面为系统,机械能守恒以原点为势能零点kx2 += Jo2 - mgx sinα = 0A下滑x时：21kx +(m+ J/R)a = mg sinα上式对求导：可得：m/s2a = 2.4-4x门题银AII
(1)A下滑的加速度; 1.已知:如图，m=2.0kg, R=0.5m, k=20N/m, j=7.5kg·m2 , =37°.不计摩擦.当弹簧无形变时将A由静止释放.求 (2)A下滑的最大速率; (3)A下滑的最大距离; 解：(能量微分法): sin 0 2 1 2 1 2 1 2 2 2 kx + mv + J − mgx = 上式对t求导: + ( + ) = sin 2 kx m J R a mg 可得: 2 a = 2.4 − 4x m s A下滑x时: 以原点为势能零点. 以A,B,C,地球,斜面为系统,机械能守恒。 课堂计算题 O x A =37° R B C m k