中小学全科教育 XXDFCN 六年级数学 期末复习宝典 惠州新东方中学全科教育中心
前中小学全科教育 第一单元圆 知识体系 ①圆心决定圆的位置 1图形②半径决定园的大小 表示半径,d表示直径 ①同个圆内所有直径和半径都相等 2.特点 、认识圆 ②同个圆内有无数条直径和半径 3r与d的关系:d=2r 园关于直径对称 4园是轴对称图形 园有无数条对称轴 1含义:园外国一周的长度 ★整圆周长:C=Td=2rr ★半圆周长:L=Tr+2r 第一单元 2公式 圆 圆周长一半:L=Tr 圆的周长 圆周率=周长÷直径 3圆周率 T通常取3.14 3特点圆半径扩大或者缩小n倍,周长扩大或者缩小n倍 1含义:圆所占的平面大小 ★整圆面积:S=Tr2 2公式 半园面积 S 三、圆的面积 ★圆环面积:S=TR2-m ①國半径扩大或者缩小n倍,面积扩大或者缩小(nxn)倍 3特点 ②相同周长的图形,圆的面积最大
1 / 26 第一单元 圆 1 知识体系 𝐿 = 𝛑r + 2r 𝐿 = 𝛑r 𝑆 = π𝑟 2 𝑆 = π𝑟 2 2 𝑆 = π𝑅 2 − π𝑟 2
新向中小学全科教育 知识清单 认识圆 1)圆的定义:平面上的一种曲线图形 1.圆心:圆形纸片对折两次,折痕相交于圆中心的一点。圆心用0表示 2.半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。半径用r表 3.直径:过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。半径用d表示 4.圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。 5.在同一个圆内,有无数条半径,有无数条直径。 6.在同一个圆内,直径的长度是半径的2倍,半径的长度是直径的一半 字母表示 d= 2r 文字表示 直径=半径×2 半径=直径÷2 2)圆的性质 1.轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合, 这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴 2.有一条对称轴的图形有:角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆 有2条对称轴的图形是:长方形 有3条对称轴的图形是:等边三角形 等边三形 有4条对称轴的图形是:正方形 有无数条对称轴的图形是:圆、圆环 3.直径所在的直线是圆的对称轴。 2/26
2 / 26 一、认识圆 1）圆的定义：平面上的一种曲线图形 1.圆心：圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点。圆心用 0 表示。 2.半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。半径用 r 表示。 3.直径：过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。半径用 d 表示。 4.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5.在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。 6.在同一个圆内，直径的长度是半径的 2 倍，半径的长度是直径的一半。 字母表示： 文字表示： 2）圆的性质 1.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合， 这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 2.有一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。 有 2 条对称轴的图形是：长方形 有 3 条对称轴的图形是：等边三角形 有 4 条对称轴的图形是：正方形 有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。 3. 直径所在的直线是圆的对称轴。 2 知识清单 𝑑 = 2𝑟 𝑟 = 1 2 𝑅 直径=半径×2 半径=直径÷2
新向中小学全科教育 二、圆的周长 1)圆的周长 1.圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 2.周长与直径关系:圆的周长总是直径的3倍多一些,这个比值是一个固定的 数。我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率,用字母π表示 圆周率π是一个无限不循环小数,π=3.1415926…,在计算时,取兀=3.14。 世界上第一个把圆周率算到小数点后七位的人是我国的数学家祖冲之 2)圆的周长公式 1.圆的周长用C来表示,其公式 字母表示: C=Td 文字表示周长=×直径 C=2Tor 周长=π×半径×2 2.圆周长的一半=md=Tr 3.半圆周长等于圆周长的一半+直径 公式:L=d+d=r+2r 4半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。半圆的周长与圆周长的一半的区别 在于,半圆有直径,而圆周长的一半没有直径。 /26
3 / 26 二、圆的周长 1）圆的周长 1. 圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 2. 周长与直径关系：圆的周长总是直径的 3 倍多一些，这个比值是一个固定的 数。我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母π表示。 3.圆周率π是一个无限不循环小数，π=3.1415926……，在计算时，取π=3.14。 世界上第一个把圆周率算到小数点后七位的人是我国的数学家祖冲之。 2）圆的周长公式 1. 圆的周长用 C 来表示，其公式： 字母表示： 文字表示： 2. 圆周长的一半= 𝟏 𝟐 𝛑d = 𝛑r 3.半圆周长等于圆周长的一半+直径 公式：𝐿 = 𝟏 𝟐 𝛑d + d = 𝛑r + 2r 4 半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。半圆的周长与圆周长的一半的区别 在于，半圆有直径，而圆周长的一半没有直径。 𝐶 = 𝛑d 𝐶 = 2𝛑r 周长=𝛑×直径 周长=𝛑×半径×2 d
新向中小学全科教育 3)圆的周长、直径、半径变化关系 在同一个圆里,半径扩大或缩小多少倍,直径和周长也扩大或缩小相同的倍 数。例:在同一个圆里,半径扩大4倍,那么直径和周长就都扩大4倍 2.两个圆的半径比等于直径比等于周长比。 例:两个圆的半径比是2:3,那么这两个圆的直径比和周长比都是2:3 当一个圆的半径增加a厘米时,它的周长就增加2πa厘米 当一个圆的直径增加a厘米时,它的周长就增加Ta厘米。 三、圆的面积 1)圆的面积 1.圆的面积:圆所占平面的大小叫圆的面积。 2.公式推演:把一个圆割成一个近似的长方形,割拼成的长方形的长相当于圆 周长的一半,用字母(mr)表示,宽相当于圆的半径,用字母(r)表示,因为长方 形的面积=长×宽,所以圆的面积=Tr×r=mr2 圆的面积用S表示,其公式 S=r2 77 4.半圆面积=圆的面积÷2,其公式 TT7
4 / 26 3）圆的周长、直径、半径变化关系 1. 在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍 数。例：在同一个圆里，半径扩大４倍，那么直径和周长就都扩大４倍. 2. 两个圆的半径比等于直径比等于周长比。 例：两个圆的半径比是２：３，那么这两个圆的直径比和周长比都是２：３ 3. 当一个圆的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加 2πa 厘米； 当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增加 πa 厘米。 三、圆的面积 1）圆的面积 1. 圆的面积：圆所占平面的大小叫圆的面积。 2. 公式推演：把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆 周长的一半，用字母（πr）表示，宽相当于圆的半径，用字母（r）表示，因为长方 形的面积=长×宽，所以圆的面积= πr × r = π𝑟 2 3. 圆的面积用 S 表示，其公式： S = π𝑟 2 S = π( 𝑑 2 ) 2 4. 半圆面积＝圆的面积÷2，其公式： S = π𝑟 2 2
新向中小学全科教育 5.一个圆环形,外圆半径为R,内圆半径r,其面积公式为: S=S-S=TR2-TTr2 (其中R=r+环的宽度.) 6.在同一圆中,圆心角占圆周角的几分之几,它所在扇形面积就占圆面积的几 分之几;所对的弧就占圆周长的几分之几. 例:总角度为360°,扇形角度60°,占总角度的, 则扇形面积=,扇形弧长= 2)圆的面积、周长、直径、半径变化关系 1.在一个正方形里画一个最大的圆,圆的直径等于正方形的边长 2.在一个正方形外画一个最小的圆,圆的直径等于正方形的对角线长。 在同一个圆里,半径扩大或缩小n倍,面积扩大或缩小(n×n)倍 例如:在同一个圆里,半径扩大4倍,那么面积就扩大16倍 4.两个圆的面积比等于半径的比的平方 例:两个圆的半径比是2:3,那么这两个圆的面积比是4:9. 5.当长方形,正方形,圆的周长相等时,圆的面积最大,长方形的面积最小
5 / 26 5. 一个圆环形，外圆半径为 R，内圆半径 r，其面积公式为： S = 𝑆外 − 𝑆内 = π𝑅 2 − π𝑟 2 （其中 R＝r＋环的宽度．） 6. 在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几 分之几；所对的弧就占圆周长的几分之几． 2）圆的面积、周长、直径、半径变化关系 1. 在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 2. 在一个正方形外画一个最小的圆，圆的直径等于正方形的对角线长。 3. 在同一个圆里，半径扩大或缩小 n 倍，面积扩大或缩小（n×n）倍。 例如：在同一个圆里，半径扩大４倍，那么面积就扩大 16 倍. 4. 两个圆的面积比等于半径的比的平方。 例：两个圆的半径比是２：３，那么这两个圆的面积比是 4：9. 5. 当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小。 R r 例：总角度为 360 o，扇形角度 60o，占总角度的1 6 ， 则扇形面积= π𝑟 2 6 ，扇形弧长= πr 3 r 60o
前中小学全科教育 3)圆的周长面积常用计算 1.永远记住要带单位,周长是(例如:cm),面积是平方(例如:cm2) 体积是立方(例如:cm3) 2圆的周长 3.14×1=3.14 3.14×2=6.28 3.14×3=942 3.14×4=12.56 3.14×5=15.7 3.14×6=18.84 3.14×7=2198 3.14×8=25.12 3.14×9=28.26 3.14×10=31.4 .圆的面积: 3.14×12=3.14 3.14×22=12.56 3.14×32=28.26 314×42=50.24 3.14x52=785 3.14×62=113.04 3.14×7=15386 3.14×82=200.96 3.14×92=25434 3.14×102=314
6 / 26 3）圆的周长面积常用计算 1.永远记住要带单位，周长是（例如：cm），面积是平方（例如：cm 2）， 体积是立方（例如：cm 3）。 2.圆的周长： 3.14×1＝3.14 3.14×2＝6.28 3.14×3＝9.42 3.14×4＝12.56 3.14×5＝15.7 3.14×6＝18.84 3.14×7＝21.98 3.14×8＝25.12 3.14×9＝28.26 3.14×10＝31.4 3.圆的面积： 3.14×12＝3.14 3.14×22＝12.56 3.14×32＝28.26 3.14×42＝50.24 3.14×52＝78.5 3.14×62＝113.04 3.14×72＝153.86 3.14×82＝200.96 3.14×92＝254.34 3.14×102＝314
前中小学全科教育 第二单元分数混合运算 知识体系 ①有括号先算括号 (1)运算顺序/②先算乘除、再算加减 从左往右依次计算 ①除以一个数等于乘以这个数的倒数 (2)除法计算写成乘法 分数混合运算 ②互为倒数两数相乘得1 乘法交换律 3)简便运算/乘法结合律 乘法分配律 (1)连续求一个数的几分之几 (2)求比一个数多/少几分之几 乘法列式 分数应用(知总体和占比求部分量 第二单元 (4)知占比和结果,求原数/总数 列方程求解 分数混合计算 1)已知比一个数多/少几分之几的数是多少,求这个数 方程:X(1±几分之几=已知数 方程:X±几分之几X=已知数 列方程小「(已知占比和另一个量,求总量 方程:X(1-几分之几=另一个量 方程:X-几分之几X=另一个量 画图法 四、通用方法假设法 7/26
7 / 26 第二单元 分数混合运算 1 知识体系
新向中小学全科教育 知识清单 分数的乘除混合运算 1)分数乘法运算 1.分数乘分数:分母相乘的积得新分母,分子相乘的积得新分子, 例:= 2.分数乘整数:分母不变照抄,分子与整数相乘的积得新分子 例 3×5=2 510 3.多个分数相乘时,乘法交换律使得上下可以进行约分的数先约分,最后余下 的数再相乘, 例 4.一个数与分数相乘,可以看作是求这个数的几分之几是多少。 2)分数除法运算 1.倒数的概念:乘积是1的两个数叫做互为倒数。 ①分数的倒数:分母分子交换位置,原来的分子变成分母,分母变成分子, 例:二的倒数是 3 ②整数的倒数:原来整数变为分母,分子变为1, 例:8的倒数是 ③小数的倒数:I.小数化为分数,再使得分母分子交换位置, 例:0.25=,的倒数是4,所以0.25的倒数是4 Ⅱ.令1除以这个小数,所得结果就是它的倒数, 例:0.25,1÷0.25=4,所以0.25的倒数是
8 / 26 一、分数的乘除混合运算 1）分数乘法运算 1.分数乘分数：分母相乘的积得新分母，分子相乘的积得新分子， 例：2 3 × 2 5 = 2×2 3×5 = 4 15 . 2.分数乘整数：分母不变照抄，分子与整数相乘的积得新分子， 例：2 3 × 5 = 2×5 3 = 10 3 . 3.多个分数相乘时，乘法交换律使得上下可以进行约分的数先约分，最后余下 的数再相乘， 例：2 3 × 2 5 × 9 4 = 1 1 × 1 5 × 3 1 = 3 5 . 4.一个数与分数相乘，可以看作是求这个数的几分之几是多少。 2）分数除法运算 1.倒数的概念：乘积是 1 的两个数叫做互为倒数。 ①分数的倒数：分母分子交换位置，原来的分子变成分母，分母变成分子， 例：3 5 的倒数是5 3 . ②整数的倒数：原来整数变为分母，分子变为 1， 例：8 的倒数是1 8 . ③小数的倒数：Ⅰ.小数化为分数，再使得分母分子交换位置， 例：0.25 = 1 4 ， 1 4 的倒数是 4，所以 0.25 的倒数是 4； Ⅱ.令 1 除以这个小数，所得结果就是它的倒数， 例：0.25，1 ÷ 0.25 = 4，所以 0.25 的倒数是 4. 2 知识清单
新向中小学全科教育 2.分数除法法则:除以一个数等于乘上这个数的倒数 例 7 3)分数混合运算 1.分数混合运算的运算顺序与整数混合运算的运算顺序完全相同,都是先算乘 除,再算加减,有括号的先算括号里的 ①如果是同一级运算,按照从左到右的顺序依次计算。 ②如果是分数连乘,可先进行约分,再进行计算; ③如果是分数乘除混合运算时,要先把除法转换成乘法,然后按乘法运算。 二、分数基本应用 1.常见问题“连续求解一个数的几分之几是多少” 一个数与分数相乘,相当于求这个数的几分之几是多少,故连续使用乘法运算, 例:光明小学六年级共120名学生,六年级三班人数占总年级人数的,班级女 生是占班级总人数的,求六年级三班女生有多少人? 120×2×3=24() 答 2常见问题<二〉“比一个数多/少几分之几的数是多少” 求多/少几分之几的数,相当于求原来的数加上/减去几分之几的数的和/差, 例:哈哈的体重是45kg,哼哼的体重比哈哈的体重少了-,求哼哼的体重? 45-45×=40(kg) 9/26
9 / 26 2.分数除法法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数。 例：3 5 ÷ 6 7 = 3 5 × 7 6 = 7 10 . 3）分数混合运算 1.分数混合运算的运算顺序与整数混合运算的运算顺序完全相同，都是先算乘 除，再算加减，有括号的先算括号里的。 ①如果是同一级运算，按照从左到右的顺序依次计算。 ②如果是分数连乘，可先进行约分，再进行计算； ③如果是分数乘除混合运算时，要先把除法转换成乘法，然后按乘法运算。 二、分数基本应用 1.常见问题“连续求解一个数的几分之几是多少” 一个数与分数相乘，相当于求这个数的几分之几是多少，故连续使用乘法运算， 例：光明小学六年级共 120 名学生，六年级三班人数占总年级人数的1 3 ，班级女 生是占班级总人数的3 5 ，求六年级三班女生有多少人？ 120 × 1 3 × 3 5 = 24(人) 答：_______________ 2.常见问题“比一个数多/少几分之几的数是多少” 求多/少几分之几的数，相当于求原来的数加上/减去几分之几的数的和/差， 例：哈哈的体重是 45kg，哼哼的体重比哈哈的体重少了1 9 ，求哼哼的体重？ 45 − 45 × 1 9 = 40(kg) 答：_______________