麻省理工学院 物理系 解题8：受驱LRC电路 目标： 1.探索如下三种简单电路中受驱电适与驱动电动势之问的关系：()仅有电阻：(2)仅有电感： (3)仅有电容。 2.在RL和C均存在的一救情形下检验上述关系。解两道有关LRC电路的样题。 参考：802许义，12.1124节. 受驱LRC电路的一般性质 以前我们考虑了LC电路的“自由“振荡。这些是这样一种握荡：我们给电路一个“微命”后， 即停止输入，然后凳察它的振荡。这时我们看到的是在有限时间内振荡襄就的自然频率。现在我们 来考虑不同的日遥。我们用具有一定（任意）幅度和频率的电动芳的电源来“取动”LC电路。如 果我门用的是电动劳V()=。s山创米更动电路，这里a是我们设定的领率，是设定的泰幅， 于是，与系饶因有的“自由”振药不月。现在电路系统的“受驱”利应是 I()=I。sin(oxr-p). 其中 1.-T (8.1) - 注意，“受驱”响应是对动面频率的利应，而不是对系统的国有频率的利应。俱如果國动顿率就 是系统的因有振荡顿率，即当心=/√C时，则这时系统对座动电动势的响应最大。我们可以通 过计算()V()的时间平均来估测系统的电路耗散的平均功率（见802讲义，124节： (P0=(0r=24os (82) 例1：纯电阻受驱电路 中 我们从仅含电阻的电路开始。电路图如下。 电路方程为：1()R-()=0。 Y-Vosin coxr
麻省理工学院 物理系 解题 8：受驱 LRC 电路 目标： 1. 探索如下三种简单电路中受驱电流与驱动电动势之间的关系：(1) 仅有电阻；(2) 仅有电感； (3) 仅有电容。 2. 在 R, L 和 C 均存在的一般情形下检验上述关系。解两道有关 LRC 电路的样题。 参考：8.02 讲义，12.1-12.4 节。 受驱 LRC 电路的一般性质 以前我们考虑了 LRC 电路的“自由”振荡。这些是这样一种振荡：我们给电路一个“激励”后， 即停止输入，然后观察它的振荡。这时我们看到的是在有限时间内振荡衰减的自然频率。现在我们 来考虑不同的问题。我们用具有一定（任意）幅度和频率的电动势的电源来“驱动”LRC 电路。如 果我们用的是电动势V (t) V sinωt = 0 来驱动电路，这里ω 是我们设定的频率，V0 是设定的振幅， 于是，与系统固有的“自由”振荡不同，现在电路系统的“受驱”响应是 ( ) sin( ) I t = I0 ωt −φ 。 其中 注意，“受驱”响应是对驱动源频率的响应，而不是对系统的固有频率的响应。但如果驱动频率就 是系统的固有振荡频率，即当ω =1 LC 时，则这时系统对驱动电动势的响应最大。我们可以通 过计算 I(t)V (t) 的时间平均来估测系统的电路耗散的平均功率（见 8.02 讲义，12.4 节）： 例 1：纯电阻受驱电路 我们从仅含电阻的电路开始。电路图如下。 电路方程为： IR (t)R −V (t) = 0 。 1
问题1：电流I()=Isin(例-)中幅度侧和相位◆的是多少？ 答：（答案写在后面的答题页上山） 问题2：在一般方程(81)中，和C取什么值能够产生上述结果？ 答： 问题3：电路耗散的时间平均功率(P()》=(,)是多大？你需要用到sin8W的时间平均 为(sin2)-1/2. 答： 例2：纯电感受驱电路 D 现在假定电压源V()=s仅与自感相连构成国路. 电路图如右图， 电路方程为：0=L山 问题4：解上述电流关于时间函数的方程。如果我们将电流写 -6nu国 成I()=1as(or一)，则电流的幅度m和相位◆的是多少？你需要用到三角恒等式 sin-)=sin oxro0s◆-sin◆cos. 答： 问题5：在一般方程8.1)中R和C取什么值能够产生上述结果？ 答： 问题6：电路耗敬的时间年均功率(P()》=(,()W()》是多少？你需要用到snC0sm的时何 平均为sin ow c0s)=0, 答：
问题 1：电流 ( ) sin( ) IR t = IR0 ωt −φ 中幅度 IR0 和相位φ 的是多少？ 答：（答案写在后面的答题页上！！！） 问题 2：在一般方程(8.1)中 L 和 C 取什么值能够产生上述结果？ 答： 问题 3：电路耗散的时间平均功率 P (t) I (t)V (t) R = R R 是多大？你需要用到 的时间平均 为 ωt 2 sin sin 1/ 2 2 ωt = 。 答： 例 2：纯电感受驱电路 现在假定电压源V (t) V sinωt = 0 仅与自感相连构成回路。 电路图如右图。 电路方程为： dt dI V (t) = L 。 问题 4：解上述电流关于时间函数的方程。如果我们将电流写 成 ( ) sin( ) IL t = IL0 ωt −φ ，则电流的幅度 IL0 和相位φ 的是多少？你需要用到三角恒等式 sin(ωt −φ) = sinωt cosφ − sinφ cosωt 。 答： 问题 5：在一般方程(8.1)中 R 和 C 取什么值能够产生上述结果？ 答： 问题 6：电路耗散的时间平均功率 P (t) I (t)V (t) L = L L 是多少？你需要用到sinωt cosωt 的时间 平均为 sinωt cosωt = 0 。 答： 2
例3：纯电客受驱电路 交流电压薄()='。sinex仅与电容相连构成同路。 电路图如右图。 电路方程为： g-v0=0: 如果对此方程取时间导数，得到： -dr0- V-Yosin c c d C -V cosor■0 问题7：解上述电流关于时间函数的方程.如果我们将电流写成Ic()=Imsi(c-),则电流 的幅度o和相位e的是多少？保看要用到三角恒等式sin(f-)=sin c cos草-sincos。 客 问题8：电路耗散的时问平均功率(P()》=(c(()》是多少？你需要用到s对n例cos饼的时问 平均为sin e cos=0. 答： 样本问题1 下图所示电路包含一个交流电压源（提供正弦被电动势）=8si山W人、一个电阻R和一个 “黑匣子”，它可能是电总也可能是电客，也可能二者都不是。驱动电动势的幅度6。为100伏，角 频率四为10氯度秒。我们测量电路电流，发现它有如下表达式：()=(10安培)si(创-T/4). 问题9：这个电流是超前还是带后于电动势)=8sin? 答： 问题10：黑里子中的电路元件是什么一电感还是电容？ 答：
例 3：纯电容受驱电路 交流电压源V (t) V sinωt = 0 仅与电容相连构成回路。 电路图如右图。 电路方程为： −V(t) = 0 C Q 。 如果对此方程取时间导数，得到： 问题 7：解上述电流关于时间函数的方程。如果我们将电流写成 ( ) sin( ) IC t = IC0 ωt −φ ，则电流 的幅度 IC0 和相位φ 的是多少？你需要用到三角恒等式sin(ωt −φ) = sinωt cosφ − sinφ cosωt 。 答： 问题 8：电路耗散的时间平均功率 P (t) I (t)V (t) C = C C 是多少？你需要用到sinωt cosωt 的时间 平均为 sinωt cosωt = 0 。 答： 样本问题 1 下图所示电路包含一个交流电压源（提供正弦波电动势ε (t) ε sinωt = 0 ）、一个电阻 R 和一个 “黑匣子”，它可能是电感也可能是电容，也可能二者都不是。驱动电动势的幅度 0 ε 为 100 伏，角 频率ω 为 10 弧度/秒。我们测量电路电流，发现它有如下表达式：I(t) = (10安培)sin(ωt − π / 4) 。 问题 9：这个电流是超前还是滞后于电动势ε (t) ε sinωt = 0 ？ 答： 问题 10：黑匣子中的电路元件是什么——电感还是电容？ 答： 3
问题11：电阻R的数值是多大？答案中可能包括平方根，如果方便，给出单位。 答 问题12：电够线电容的数值是多大？答案中可能包括平方根，如果方便，给出单位。 答： 样本问题2 下图所示电路包含一个交流电压源（损供正弦被电动势(）=6s加W)、一个R一1款焊的电 阻和一个“黑厘子“，它可能色含电总也可能色含电客，也可能二者都息含。鬼动电动势的幅度局为 】伏，用角颜半@=1氧度秒测量电路电流，发跳它与电动势严格月相。用角颜率心=2无度/秒测 量电路电流，发现它滞后于电动势本/4无度， 问题13：黑厘子中包含什么电路元件一电感还是电容？还是 二者都有？解释你的理由。 E 答 问题14：电感或电容或二者的数值是多大？给出单位。你的容案应只包含简单分数，无需使用计 算器来求答案。 答 问题15：电路在心■1弧度/秒时耗散的时同平均功率是多少？给出单位，即亿()(t)》的时同 平均。你需要用到sn2的时间平均为12， 答： 4
问题 11：电阻 R 的数值是多大？答案中可能包括平方根，如果方便，给出单位。 答： 问题 12：电感或电容的数值是多大？答案中可能包括平方根，如果方便，给出单位。 答： 样本问题 2 下图所示电路包含一个交流电压源（提供正弦波电动势ε (t) ε sinωt = 0 ）、一个 R = 1 欧姆的电 阻和一个“黑匣子”，它可能包含电感也可能包含电容，也可能二者都包含。驱动电动势的幅度 0 ε 为 1 伏，用角频率ω = 1弧度/秒测量电路电流，发现它与电动势严格同相。用角频率ω = 2弧度/秒测 量电路电流，发现它滞后于电动势π / 4 弧度。 问题 13：黑匣子中包含什么电路元件——电感还是电容？还是 二者都有？解释你的理由。 答： 问题 14：电感或电容或二者的数值是多大？给出单位。你的答案应只包含简单分数，无需使用计 算器来求答案。 答： 问题 15：电路在ω =1弧度/秒时耗散的时间平均功率是多少？给出单位，即 I (t)V (t) C C 的时间 平均。你需要用到 ωt 的时间平均为 1/2。 2 sin 答： 4
麻省理工学院 物理系 课后撕下本页上交：山 注意： 写上未上课的同学的姓名是违反纪律的行为。 解题8：受驱RLC电路 组号 (例如，填上6A) 姓名 例1：纯电阻受驱电路 问题1：电流I,()=Isi似-)中幅度m和相位e的是多少？ 答：a ；: 问题2：在一般方程8.1)中L和C取什么值能够产生上述结果？ 答：a 问题3：电路耗酸的时同平均功率(P()》=(L,)Ψ()是多大 答：(P)= 例2：纯电感受驱电路 问题4：电流I(I)=1o sin(aw-)中的解度lm和相位e的是多少？ 答： :: 问题5：在一般方程81)中R和C取什么值能够产生上述结果？ 答：R: ；C 问题6：电路耗数的时简平均功半(P()》=(U)Ψ(》是多少 答：0= 5
麻省理工学院 物理系 课后撕下本页上交！！！ 注意： 写上未上课的同学的姓名是违反纪律的行为。 解题 8：受驱 RLC 电路 组号___________________________________________（例如，填上 6A） 姓名____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ 例 1：纯电阻受驱电路 问题 1：电流 ( ) sin( ) IR t = IR0 ωt −φ 中幅度 IR0 和相位φ 的是多少？ 答： IR0：____________________；φ ：______________________ 问题 2：在一般方程(8.1)中 L 和 C 取什么值能够产生上述结果？ 答：L：____________________；C ：_______________________ 问题 3：电路耗散的时间平均功率 P (t) I (t)V (t) R = R R 是多大？ 答： PR (t) = _______________________________ 例 2：纯电感受驱电路 问题 4：电流 ( ) sin( ) I L t = I L0 ωt −φ 中的幅度 IL0 和相位φ 的是多少？ 答：IL0：____________________；φ ：______________________ 问题 5：在一般方程(8.1)中 R 和 C 取什么值能够产生上述结果？ 答：R：____________________；C：_______________________ 问题 6：电路耗散的时间平均功率 P (t) I (t)V (t) L = L L 是多少？ 答： PL (t) = _______________________________ 5
例3：纯电容受驱电路 问题7：电流Ic()=Ic。sin(f-)的幅度o和相位◆的是多少？ 答：mt 1◆ 问题8：电路耗散的时间平均功率(P)》=((()是多少？ 答：(》= 样本问题1 问题9：这个电流是超前还是滞后于电动势()=sn? 答： 问题10：黑厘子中的电路元件是什么一电感还是电容？ 答： 问题11：电阻R的数值是多大？ 答 问题12：电感或电容的数值是多大？ 答： 样本问题2 问题13：黑距子中包含什么电路元件一电感还是电容？还是二者都有？解释你的理由。 答： 问题14：电感或电容或二者的数值是多大？ 答a 问题15：电路在@=1无度/秒时耗散的时间平均功率是多少？ 答： 6
例 3：纯电容受驱电路 问题 7：电流 ( ) sin( ) IC t = IC0 ωt −φ 的幅度 IC0和相位φ 的是多少？ 答：IC0：____________________；φ ：______________________ 问题 8：电路耗散的时间平均功率 P (t) I (t)V (t) C = C C 是多少？ 答： PC (t) = _______________________________ 样本问题 1 问题 9：这个电流是超前还是滞后于电动势ε (t) ε sinωt = 0 ？ 答：___________________________ 问题 10：黑匣子中的电路元件是什么——电感还是电容？ 答：___________________________ 问题 11：电阻 R 的数值是多大？ 答：___________________________ 问题 12：电感或电容的数值是多大？ 答：___________________________ 样本问题 2 问题 13：黑匣子中包含什么电路元件——电感还是电容？还是二者都有？解释你的理由。 答：____________________________ 问题 14：电感或电容或二者的数值是多大？ 答：L：____________________；C：_______________________ 问题 15：电路在ω =1弧度/秒时耗散的时间平均功率是多少？ 答：__________________________ 6