麻省理工学院 物理系 解题4：计算电容及其储能 目标： 1.去一个样本电容器，计算该电容器的电容。 2.月两种方式计算该电容器的储能。 参考：8.02讲义，52节。 解题策略（见讲义59节） ()用对称性确认电场方向。 (2)计算各处电场. (3)计算电势差4V。 (4)用公式C=Q八☑计算电容. 柱状电容器： 高浙销面 两个同轴圆柱体的半径分别为：和，且b>,高为：内柱体带总电荷Q,外柱体墙一Q, 怎略端面救应。 问题1：电场 用高斯定律求出内外柱体间(。<F<b》的电场方闻和大小。用所拾参数总电荷Q、柱半径a和b, 高度！以及其他常数米表示你的答案。 答案（写在后面的答题灭上！） 1
麻省理工学院 物理系 解题 4：计算电容及其储能 目标： 1. 去一个样本电容器，计算该电容器的电容。 2. 用两种方式计算该电容器的储能。 参考：8.02 讲义，5.2 节。 解题策略（见讲义 5.9 节） (1) 用对称性确认电场方向。 (2) 计算各处电场。 (3) 计算电势差 ∆V 。 (4) 用公式C = Q ∆V 计算电容。 柱状电容器： 两个同轴圆柱体的半径分别为 a 和 b，且 b > a，高为 l。内柱体带总电荷 Q，外柱体带 − Q 。 忽略端面效应。 问题 1：电场 用高斯定律求出内外柱体间（a < r < b）的电场方向和大小。用所给参数总电荷 Q、柱半径 a 和 b、 高度 l 以及其他常数来表示你的答案。 答案（写在后面的答题页上！） 1
问题2：电势差（电压差） 内外柱体间的电势差Ψ定义为将实验电转4，由内柱体复到外柱体时对单位实验电传克服静 电力所做的功 △P=(a)-Vb= 用电荷Q、柱半径▣和b、高度I以及其他常数来表示柱间电压差。 箐案（写在后面的答题页上1》 问题3：电容计算 两个导电柱体间构成电容器。每个柱体上的电荷☒的多少与柱体阿电压差的大小有关： 区=C4,这里Ψ是电容器上的电压差。C是比例常数，称为“电容”。电容取决于两个导体 的几何参数，与如载在柱体问的电压差无关。 我们这两个柱体间的电容是多少？用柱半径口和b、高度I以及其他常数来表示你的答案。 答案（写在后面的答题天上！） 问题4：电容器储存的静电能 电场里销存的静电能为 v.至」EEr. 利用问愿(1给出的E的表达式计算这个静电能，用Q、,b和/（以及其他常数）来表示体的答案。 如果你用问题(3)中C的表达式来写这个答案，你能只用Q和C来表达马？表达式是怎样的？ 答案（写在后面的答题页上！） 2
问题 2：电势差（电压差） 内外柱体间的电势差 ∆V 定义为将实验电荷 由内柱体搬到外柱体时对单位实验电荷克服静 电力所做的功 qt 用电荷 Q、柱半径 a 和 b、高度 l 以及其他常数来表示柱间电压差。 答案（写在后面的答题页上！） 问题 3：电容计算 两个导电柱体间构成电容器。每个柱体上的电荷 Q 的多少与柱体间电压差的大小有关： Q = C ∆V ，这里 ∆V 是电容器上的电压差，C 是比例常数，称为“电容”。电容取决于两个导体 的几何参数，与加载在柱体间的电压差无关。 我们这两个柱体间的电容是多少？用柱半径 a 和 b、高度 l 以及其他常数来表示你的答案。 答案（写在后面的答题页上！） 问题 4：电容器储存的静电能 电场里储存的静电能为 利用问题(1)给出的 E 的表达式计算这个静电能，用 Q、a、b 和 l（以及其他常数）来表示你的答案。 如果你用问题(3)中 C 的表达式来写这个答案，你能只用 Q 和 C 来表达吗？表达式是怎样的？ 答案（写在后面的答题页上！） 2
问题5：电容器充电 假定我们不用电源而是用下述方法给电容器充电：将电荷由P=柱体的内表面搬到F=:柱体 的麦面。并且假定开始时两导体上均无电荷，！时刻内柱体上电荷为) a时刻两柱体间用C和g)表示的电压差是多少T 如果在内柱体上电荷为们的情形下，再将少量电荷向由外柱体嫩到内柱体，我们得做多 少功7月C、)和向表示， 心.用（的结果计算将Q由外柱体耀到内柱体要做的总功。假定开始时两柱体均不带电（提示： 对西从0到Q积分)： d充电时所做的功是大于，等于还是小于问题4中计算的电容器储能？为什么？ 答案（写在后面的答题页上1》 3
问题 5：电容器充电 假定我们不用电源而是用下述方法给电容器充电：将电荷由 r = b 柱体的内表面搬到 r = a 柱体 的表面。并且假定开始时两导体上均无电荷，t 时刻内柱体上电荷为 q(t)。 a. t时刻两柱体间用C和q(t)表示的电压差是多少？ b. 如果在内柱体上电荷为q(t) 的情形下，再将少量电荷dq由外柱体搬到内柱体，我们得做多 少功？用C、q(t)和dq表示。 c. 用(b)的结果计算将 Q 由外柱体搬到内柱体要做的总功，假定开始时两柱体均不带电（提示： 对 dq 从 0 到 Q 积分）。 d. 充电时所做的功是大于、等于还是小于问题 4 中计算的电容器储能？为什么？ 答案（写在后面的答题页上！） 3
如果你结束得早，做下面的家庭作业 问题1：电容器的串并联 考世如图电路。C=6.00F,C=3.00μF, 4V=20.0V,首先利合开关S给C充电.然后断开S1, 合上S。将已充电电容器与未充电电容器C连起米。进 4 行下列计算： (a)C上最初先满的电荷量： (6)最终每个电容器上的电荷量。 问题2：静电能 柱形电容器由半径为a,高为人带+Q电荷的长导体和半径为6且b>a,高为L带-Q电荷的 外同轴柱体壳组成。 ()求空间任意一点的电场和能量密度： (b)电容器内半径为r厚度为山体积为2冠L山的柱体壳上储存的能量是多少？ )6地果积分求出电容器的总钻能，将此结果与用U=三C4丁求得的结果选打比 问题3：电客器与介电质 ()一个完全充满介电常数为x的介电材料的平行板 d/2 电容器的电容是多少？ K2 ()平行板电容器内充有三种介电常数的介电质，如 K's 图所示，假定1>>d.求用平板面积A和d以及、 太和心表示的电容。 ←/2 问题4：电容器储能 平板电容器上允有电荷+Q和一Q。然后将板间距离加倍。 ()电场储能改变多少？ ()使板间距离由d变成2☑要做多少功？ 现在考电内外率径分别为a和b的柱形电容器. ()假定外半径b如倍，所携电荷不变，电场储能改变多少？这些能量哪来的？ (d假定电容器上电压不变，重新考虑月题（©
如果你结束得早，做下面的家庭作业 问题 1：电容器的串并联 考虑如 图 电路。 C1 = 6.00µF ， C2 = 3.00µF ， ∆V = 20.0V 。首先闭合开关S1给C1充电。然后断开S1， 合上S2，将已充电电容器与未充电电容器C2连起来。进 行下列计算： (a) C1上最初充满的电荷量； (b) 最终每个电容器上的电荷量。 问题 2：静电能 柱形电容器由半径为 a, 高为 L, 带+Q 电荷的长导体和半径为 b 且 b > a, 高为 L, 带 电荷的 外同轴柱体壳组成。 − Q (a) 求空间任意一点的电场和能量密度； (b) 电容器内半径为 r 厚度为 dr 体积为2πrLdr 的柱体壳上储存的能量是多少？ (c) 由(b)结果积分求出电容器的总储能，将此结果与用 2 ( ) 2 1 U = C ∆V 求得的结果进行比较。 1 问题 3：电容器与介电质 (a) 一个完全充满介电常数为κ 的介电材料的平行板 电容器的电容是多少？ (b) 平行板电容器内充有三种介电常数的介电质，如 图所示。假定 l >> d，求用平板面积 A 和 d 以及κ 、 κ 2 和κ 3 表示的电容。 问题 4：电容器储能 平板电容器上充有电荷+Q 和 − Q 。然后将板间距离加倍。 (a) 电场储能改变多少？ (b) 使板间距离由 d 变成 2d 要做多少功？ 现在考虑内外半径分别为 a 和 b 的柱形电容器。 (c) 假定外半径 b 加倍，所携电荷不变，电场储能改变多少？这些能量哪来的？ (d) 假定电容器上电压不变，重新考虑问题(c)。 4
麻省理工学院 物理系 课后撕下本页上交1山山 注章： 写上束上课的同学的姓名是违反纪律的行为， 解题4：计算电容及其储能 组号 (例如，填上6A) 姓名 问题1：电场 用高斯定律求出内外柱体间(a<r心b》的电场方向和大小：用所哈参数总电荷Q、柱半径ā和b、 高度/以及其他常数来表示你的答案。 答案 问题2：电势差（电压差） 用电荷Q、柱半径：和b,高度/以及其他常数米表示柱间电压差。 答案 问题3：电容计算 我们这两个桂体间的电容是多少？用柱半径和b、高度/以及其能常数来表示你的答案。 答案 5
麻省理工学院 物理系 课后撕下本页上交！！！ 注意： 写上未上课的同学的姓名是违反纪律的行为。 解题 4：计算电容及其储能 组号___________________________________________（例如，填上 6A） 姓名____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ 问题 1：电场 用高斯定律求出内外柱体间（a < r < b）的电场方向和大小。用所给参数总电荷 Q、柱半径 a 和 b、 高度 l 以及其他常数来表示你的答案。 答案 问题 2：电势差（电压差） 用电荷 Q、柱半径 a 和 b、高度 l 以及其他常数来表示柱间电压差。 答案 问题 3：电容计算 我们这两个柱体间的电容是多少？用柱半径 a 和 b、高度 l 以及其他常数来表示你的答案。 答案 5
问题4：电容器储存的静电能 总静电能多大？如果你用问题(3中C的表达式米写这个答案。你能只用Q和C来表达吗？表达式 是样的？ 若案 问题5：电容器充电 a时刻两柱体间用C和g)表示的电压差是多少？ b.如果在内桂体上电荷为g0的情形下，再将少量电简向由外柱体瘦到内桂体，我得做多 少功7用C、承)和向表示。 c用的结果计算将Q由外柱体耀到内柱体要做的总功，假定开始时两柱体均不带电（提示： 对购从0到Q积分)： d充电时所做的功是大于，等于还是小于问题4中计算的电容暑储能？为什么？ 6
问题 4：电容器储存的静电能 总静电能多大？如果你用问题(3)中 C 的表达式来写这个答案，你能只用 Q 和 C 来表达吗？表达式 是怎样的？ 答案 问题 5：电容器充电 a. t时刻两柱体间用C和q(t)表示的电压差是多少？ b. 如果在内柱体上电荷为q(t) 的情形下，再将少量电荷dq由外柱体搬到内柱体，我们得做多 少功？用C、q(t)和dq表示。 c. 用(b)的结果计算将 Q 由外柱体搬到内柱体要做的总功，假定开始时两柱体均不带电（提示： 对 dq 从 0 到 Q 积分）。 d. 充电时所做的功是大于、等于还是小于问题 4 中计算的电容器储能？为什么？ 6