麻省理工学院 物理系 解题9：位移电流和坡印亭矢量 目标： 1.引入麦克斯韦知到安培定律里的“位移电流”项。（这一项既与位移无美，也与电流无美， 其所以有此命名施属两史原四川1) 2.用这个安培定律里的新的项求出桂形电容器的磁场。 3引入电照场空间中传播的能流微之. 4.引入拔印亭矢量来定量面能流。 5. 计算电容暑充电时的能流速率，证明这个速率就是电容蓉的储能速率。 参考：802讲义，13.1-136节. 位移电流 在静磁学（电场和碱场均不随时问变化）中，安培定律在础场沿闭合环路的线积分与该阔环包 圆的开由面上通过的电流之问建立起如下关系： 手Bs-4=%∬jd 同年 开面面 正如我们在课上指出的，麦克斯韦认为，在时变情形下，这个方程是不完备的，必须如上一项： 玉B-+4Ei=以e+ 9.1) 或 手B诉-+ (9.2) 国军 是位移电流（显指它的单位是安培。但它既与位移无关，电与电镜无关 这里山，=6，由 例子：充电电客器 半径为a相距d(d>>a)的两个盘组成电容器。每个图盒的中心通 过导线分别与电压源两极相连。在：=0时刻，电路的开关阔合，电流)流 过电路，醒盘上的电荷与电流之间有关系10-0 。我们开始计算圆 d山 盘间电场。过程中忽略边缘效应，并假定在r>区线电场为零
麻省理工学院 物理系 解题 9：位移电流和坡印亭矢量 目标： 1. 引入麦克斯韦加到安培定律里的“位移电流”项。（这一项既与位移无关，也与电流无关， 其所以有此命名纯属历史原因！！！） 2. 用这个安培定律里的新的项求出柱形电容器的磁场。 3. 引入电磁场空间中传播的能流概念。 4. 引入坡印亭矢量来定量刻画能流。 5. 计算电容器充电时的能流速率，证明这个速率就是电容器的储能速率。 参考：8.02 讲义，13.1-13.6 节。 位移电流 在静磁学（电场和磁场均不随时间变化）中，安培定律在磁场沿闭合环路的线积分与该闭环包 围的开曲面上通过的电流之间建立起如下关系： 正如我们在课上指出的，麦克斯韦认为，在时变情形下，这个方程是不完备的，必须加上一项： 或 这里 dt d I E d Φ ε = 0 是位移电流（虽然它的单位是安培，但它既与位移无关，也与电流无关）。 例子：充电电容器 半径为a相距d（d >> a）的两个圆盘组成电容器。每个圆盘的中心通 过导线分别与电压源两极相连。在t = 0 时刻，电路的开关闭合，电流I(t)流 过电路。圆盘上的电荷与电流之间有关系 dt dQ t I(t 我们开始计算圆 盘间电场。过程中忽略边缘效应，并假定在r > a区域电场为零。 ( ) ) = 。 1
问题1：用高斯定律求出圈盘间的时变电场，用Q),a,私和T来表示。垂直方向是k方向， 答（这里和下面的答案均写在兼后面的答题页上1川力 现在我们在电容器内取一个半径ra的虚拟圆盘，如下图所示. 问题2：用上面求得的E计算通过两圆盘间半径F<的虚拟圆盘的电通量，用元Q),a,6。和可 米表示。 答案：中=E瓜= 这个电通量是随时间变化的，因为电容器在充电，电场随时间在增强。 问题3：计算通过率径r<a虚拟圆盘的麦克斯韦位移电流 14=可 =EA d 甜 用上，()和▣米表示。记住，这里不存在真实“电流”，只是这么称呼，不要糊涂。 答 问题4：通过半径r<▣虚拟圆盘的传导电流厅·d瓜多大？“传导”电流只是意味着有真实电荷 (例如电子或离子)流过曲面。 答： 2
问题 1：用高斯定律求出圆盘间的时变电场，用Q(t) , a, 0 ε 和π 来表示。垂直方向是kˆ 方向。 答（这里和下面的答案均写在最后面的答题页上！！）： 现在我们在电容器内取一个半径 r < a 的虚拟圆盘，如下图所示。 问题 2：用上面求得的E r 计算通过两圆盘间半径 r < a 的虚拟圆盘的电通量，用 r, Q(t) , a, 0 ε 和π 来表示。 答案： ∫∫ = ⋅ = 圆盘 E A r r Φ E d 这个电通量是随时间变化的，因为电容器在充电，电场随时间在增强。 问题 3：计算通过半径 r < a 虚拟圆盘的麦克斯韦位移电流 用 r, I(t) 和 a 来表示。记住，这里不存在真实“电流”，只是这么称呼，不要糊涂。 答： 问题 4：通过半径 r < a 虚拟圆盘的传导电流 ∫∫ ⋅ S J dA r r 多大？“传导”电流只是意味着有真实电荷 （例如电子或离子）流过曲面。 答： 2
由于电容器极板具有轴对称性，而且我们如道沿环向取周线积分减可以得到磁场。我们假定极 板间的磁场不为零，故也沿环向取周线 问题5：在两极板间半径r<口的区域取安培曰路。计算圈场沿北国路的线积分B·d5。用国， x和r表示容案。线元d诉与d瓜构成右手关系，即从上往下看呈遵时针， 答：Bds= 国磨 问题61利用上述结果。并运用广义安培定律(9.)或92)，来由轴向外半径r<@区域的感场分 布。答案用r、),4,x和a米表示： 答 问题7：如果你用右手大挥指指向电场方向，当极板电荷充满时，磁场方向是否在右手四指蟠曲的 方向： 答： 问题8：如果极板放电，聪场的方向会变化吗？为什么？ 答： 坡印事矢量 一且电容器电荷充满，它就含有电能。我们知道储存在电容器里的能量来自电源。那么能量是 如何从电源转移到电容器上的呢？能量是从侧周流入电容器的。在电暖学里，单位面积上的能流速 率由坡印亭矢量给出： 5=】E×B(单位： 焦耳 秒甲方米
由于电容器极板具有轴对称性，而且我们知道沿环向取周线积分就可以得到磁场。我们假定极 板间的磁场不为零，故也沿环向取周线 问题 5：在两极板间半径 r < a 的区域取安培回路。计算磁场沿此回路的线积分 ∫ ⋅ 回路 B ds r r 。用 B r ， π 和 r 表示答案。线元 s 与 构成右手关系，即从上往下看呈逆时针。 r d A r d 答： ∫ ⋅ = 回路 B ds r r 问题 6：利用上述结果，并运用广义安培定律 (9.1) 或 (9.2)，求由轴向外半径 r < a 区域的磁场分 布。答案用 r, I(t) , µ0 ,π 和 a 来表示。 答： 问题 7：如果你用右手大拇指指向电场方向，当极板电荷充满时，磁场方向是否在右手四指蜷曲的 方向？ 答： 问题 8：如果极板放电，磁场的方向会变化吗？为什么？ 答： 坡印亭矢量 一旦电容器电荷充满，它就含有电能。我们知道储存在电容器里的能量来自电源。那么能量是 如何从电源转移到电容器上的呢？能量是从侧面流入电容器的。在电磁学里，单位面积上的能流速 率由坡印亭矢量给出： 3
要计算通过某曲面的电磁能流，我们需要作曲面积分S-瓜（单位：焦耳/秒或瓦特）. 充电电容器的能流 我们通过计算充电电容器的被印亭矢量来看看如何进行鼓印亭矢量的计算。充电柱形电容器的 电场和磁场为（忽略边缘效应） Q(n)k rsa Ho(r 2o r>a 2gr d 问题9：r≤a区城的坡印亭失量是什么？ 答 由于技印亭失量沿径向指向电容器，因此电磁能是从侧面流入电容器的。为了计算流入电容器 的总能流，我们计算一下r一a处的拔印停矢量，为此沿r一a周边积分。 Q +Q 问题10：计算在r一a处坡印亭矢量穿过半径为高为的虚拟柱面的通量川S.d八，这里整个电容 器的侧面积为A-2以。容案里应包含Q,,,d,需和a+这个表达式的单位是什么？ 答：
要计算通过某曲面的电磁能流，我们需要作曲面积分 ∫∫S ⋅ A r r d （单位：焦耳/秒 或 瓦特）。 充电电容器的能流 我们通过计算充电电容器的坡印亭矢量来看看如何进行坡印亭矢量的计算。充电柱形电容器的 电场和磁场为（忽略边缘效应） 问题 9：r ≤ a 区域的坡印亭矢量是什么？ 答： 由于坡印亭矢量沿径向指向电容器，因此电磁能是从侧面流入电容器的。为了计算流入电容器 的总能流，我们计算一下 r = a 处的坡印亭矢量，为此沿 r = a 周边积分。 问题 10：计算在r = a处坡印亭矢量穿过半径为a高为d的虚拟柱面的通量 ∫∫S ⋅ A r r d ，这里整个电容 器的侧面积为A = 2πad。答案里应包含Q，a，I，d，π 和ε0。这个表达式的单位是什么? 答： 4
问题11：平行板电容器的电容是C=5和】 川C重写问题2的答案。答案里应包含Q,/和C。 d 答： 问题12：1时刻储存在电容器里的电磁能可表示为 Ion 一。证明：电客器允电时能量增长的速率 等于问题10计算的能量通过电容卷侧面的速率。 答： 问题13：权定电容器是成电而不是充电。即Q0)>0相现在O0<0。上述图像有何变化：请 山 解释之。 答： 5
问题 11：平行板电容器的电容是 d a C 2 ε 0π = 。用 C 重写问题 2 的答案。答案里应包含 Q，I 和 C。 答： 问题 12：t 时刻储存在电容器里的电磁能可表示为 C Q t 2 ( ) 2 1 。证明：电容器充电时能量增长的速率 等于问题 10 计算的能量通过电容器侧面的速率。 答： 问题 13：假定电容器是放电而不是充电。即Q(t) > 0 但现在 0 ( ) < dt dQ t 。上述图像有何变化？请 解释之。 答： 5
麻省理工学院 物理系 课后撕下本页上交1山山 注章： 写上来上课的同学的姓名是违反纪律的行为， 解题9：位移电流和坡印亭矢量 组号 (例如，填上6A) 姓名 问题1：用高斯定律求出圆盘间的时变电场，用Q),a,6和了来表示。 答： 问题2：用上面求得的E计算通过两圆盒间半径r《a的虚数圆盘的电通量. 答案！ 问题3：计算通过半径r<:虚拟圆盘的麦克斯韦位移电流/4=6 dΦ 答： 问题4：通过半径r<a虚拟周盘的传导电流厅d瓜多大？ 答： 问题5：计算磁场沿此回路的线积分Bd5。 答： 6
麻省理工学院 物理系 课后撕下本页上交！！！ 注意： 写上未上课的同学的姓名是违反纪律的行为。 解题 9：位移电流和坡印亭矢量 组号____________________________________________________（例如，填上 6A） 姓名____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ 问题 1：用高斯定律求出圆盘间的时变电场，用Q(t) , a, 0 ε 和π 来表示。 答： 问题 2：用上面求得的E r 计算通过两圆盘间半径 r < a 的虚拟圆盘的电通量。 答案： 问题 3：计算通过半径 r < a 虚拟圆盘的麦克斯韦位移电流 dt d I E d Φ ε = 0 答： 问题 4：通过半径 r < a 虚拟圆盘的传导电流 ∫∫ ⋅ S J dA r r 多大？ 答： 问题 5：计算磁场沿此回路的线积分 ∫ ⋅ 回路 B ds r r 。 答： 6
问题6：求由轴向外半径r心a区域的磁场分布。答案用r(),4,x和a来表示， 答： 问题7：如果依用右手大耨指指向电场方向，当极板电荷充满时，慰场方向是香在右手四指睦曲的 方向？ 答： 问题8：如果极板放电，慰场的方向会变化马？为什么？ 答 问题9：P≤a区域的坡印亭矢量是什么？ 答： 问题10：计算在一a处坡印亭矢量穿过半径为高为的盛拟柱面的通量川S·d瓜，这里整个电容 器的侧面积为4一2ad。答案里应包含Q,a,,d,。和a:这个表达式的单位是什么 答 问题11：重写何题2的答案。答案里应包含Q,/和C. 答： 问题12：时刻储存在电容卷里的电磁能可表示为 1on 。正明：电容器充电时能量增长的迷半 等于问题10计算的能量通过电容器侧面的速率。 答1 问题13：权定电容器是放电而不是充电。即Q0)>0但现在Q0<0。上述图像有何支化？请 解释之。 答：
问题 6：求由轴向外半径 r 0 但现在 0 ( ) < dt dQ t 。上述图像有何变化？请 解释之。 答： 7