麻省理工学院 物理系 解题5：磁力、转矩和磁矩 目标： 1. 从移动电荷g受到的疆力开始，导出载流！导线段受到的力。 2.计算载流矩形线圈在外磁场中的转矩。 3.定义载流线国的磁属极矩。用外磁场和矢量写出该线圈的转矩。 参考：8.02讲义，83-8.4节。 外磁场中直导线受到的磁力 考虑一段长为L,截面面积为A,通有电流/的直导线。电流由正电荷运动构成。将导线置于 均匀恒定外诞场B内。我们要计算这段线流导线在外磁场中受的力.。如图所示，在导线上取一段 无限小长度在的电流微元。 dF 图1外磁场中的一段无限小长度女的电流微元 在用1中，为简单起见，假定所携电荷为正电蒋，它以漂移速度下。向右运动。并假定该正电 荷密度为P[库伦/米力 问题1（答素写在后面的答题页上！片用P,4和点表示这段电荷向： 问题2（答素写在后面的答题页上！片在由时间内，长k■山柱体内的所有电荷将在该微元端 口通过面积A。写出虚时间内通过面积A的肉的表达式。 1
麻省理工学院 物理系 解题 5：磁力、转矩和磁矩 目标： 1. 从移动电荷 q 受到的磁力开始，导出载流 I 导线段受到的力。 2. 计算载流矩形线圈在外磁场中的转矩。 3. 定义载流线圈的磁偶极矩，用外磁场和矢量写出该线圈的转矩。 参考：8.02 讲义，8.3-8.4 节。 外磁场中直导线受到的磁力 考虑一段长为 L，截面面积为 A，通有电流 I 的直导线。电流由正电荷运动构成。将导线置于 均匀恒定外磁场 内。我们要计算这段载流导线在外磁场中受的力。如图所示，在导线上取一段 无限小长度 dx 的电流微元。 Bext r 图 1 外磁场中的一段无限小长度 dx 的电流微元 在图 1 中，为简单起见，假定所携电荷为正电荷，它以漂移速度 vd r 向右运动。并假定该正电 荷密度为 ρ [库伦/米 3 ]。 问题 1（答案写在后面的答题页上！）：用 ρ , A 和 dx 表示这段电荷 dq。 问题 2（答案写在后面的答题页上！）：在 dt 时间内，长 dx = vd dt 柱体内的所有电荷将在该微元端 口通过面积 A。写出 dt 时间内通过面积 A 的 dq 的表达式。 1
问题3（答案写在后面的答题页上！方用P,A和表示导线电流，记住，电流是单位时同内流过 某固定点的电荷量， 问题4（答素写在后面的答题页上1）：对载流导找引入无限小电流元矢量店。这个失量与导线相 切，方向指向电流方向，且国=止·由于这段导线在外磁场中运动，故存在无限小磁力 下。=d×Ba·用月题1和月题3的结果证明：dF。=下xB=dxB·在答题页上写 下你得到这个爷案的代数步置。 导线上总的力是所有这生无限小力的和。它可由积分得到 E。=∫dE,=∫sxB 均匀磁场中矩形线圆受到的力 由上述结果我门来计算载流矩形线圈在恒定外磁场中的受到的力，取一个边长分别为口和b的 矩形线圆。电流为。线圈做在均匀磁场B中，方向与线圈平面共面，指向右（图2）。令为线 圈平面的单位法向矢量。后的方向按右手法则定文：钟出右手，四指懿由表示线圈电流方向，则伸 出的大挥指表示的方向。 图2均匀磁场中的载流线圈 在图示的坐标系下，B=B引。沿：轴的侧边长为a.线圈的法向为i=. 问题5（答素写在后面的答题页上1）：用公式F。=「d5×B计算线圈边4的受力，给出大小和 方向。 2
问题 3（答案写在后面的答题页上！）：用 ρ , A 和 vd 表示导线电流。记住，电流是单位时间内流过 某固定点的电荷量。 问题 4（答案写在后面的答题页上！）：对载流导线引入无限小电流元矢量 。这个矢量与导线相 切，方向指向电流方向，且 s r Id ds = dx r 。由于这段导线在外磁场中运动，故存在无限小磁力 dFB dqv Bext 。用问题 1 和问题 3 的结果证明： r r r = × B ext ext dF dqv B Ids B r r r r r = × = × 。在答题页上写 下你得到这个答案的代数步骤。 导线上总的力是所有这些无限小力的和，它可由积分得到 均匀磁场中矩形线圈受到的力 由上述结果我们来计算载流矩形线圈在恒定外磁场中的受到的力。取一个边长分别为 a 和 b 的 矩形线圈，电流为 I。线圈放在均匀磁场Bext r 中，方向与线圈平面共面，指向右（图 2）。令 为线 圈平面的单位法向矢量。n 的方向按右手法则定义：伸出右手，四指蜷曲表示线圈电流方向，则伸 出的大拇指表示n 的方向。 nˆ ˆ ˆ 图 2 均匀磁场中的载流线圈 在图示的坐标系下，B i 。沿 z 轴的侧边长为 a。线圈的法向为 。 Bˆ ext = r n -j ˆ ˆ = 问题 5（答案写在后面的答题页上！）：用公式 ∫ = × wire B ext F Ids B r r r 计算线圈边 4 的受力，给出大小和 方向。 2
问题6（答素写在后面的答题页上1：计算线圈边3的受力，给出大小和方向。 问题7（答素写在后面的答规页上1片计算线圈边2的受力. 问题8（答案写在后面的签题页上！：计算线圈边1的受力。 问题9（答煮写在后面的答题页上！：线圆总的受力（所有边受力之和）是怎样的？ 矩形载流线圈在均匀磁场中受到的转矩 图3a是阁2的重复，图弘最示的是沿k轴方向看到的战圈（在图站中k矢量指向纸内）.要计算 边4对线图中心的转矩，只要将全部力看成是作用在边的中点即可。边4的转矩为 t,=元xF 这里是线圈中心指向边4中点的矢量，F,是问题5计算出的力， 问题10（答素耳在后面的答题页上！上作川在边4上的力对线圈中心的转矩元，是多少？给出大小 和方向。 0 图3a重复图2：b)沿k轴方向看到的线圈 3
问题 6（答案写在后面的答题页上！）：计算线圈边 3 的受力，给出大小和方向。 问题 7（答案写在后面的答题页上！）：计算线圈边 2 的受力。 问题 8（答案写在后面的答题页上！）：计算线圈边 1 的受力。 问题 9（答案写在后面的答题页上！）：线圈总的受力（所有边受力之和）是怎样的？ 矩形载流线圈在均匀磁场中受到的转矩 图 3a 是图 2 的重复，图 3b 显示的是沿kˆ 轴方向看到的线圈（在图 3b 中kˆ 矢量指向纸内）。要计算 边 4 对线圈中心的转矩，只要将全部力看成是作用在边的中点即可。边 4 的转矩为 4 4 F4 τ r r r r = × ， 这里r4 是线圈中心指向边 4 中点的矢量， r F4 r 是问题 5 计算出的力。 问题 10（答案写在后面的答题页上！）：作用在边 4 上的力对线圈中心的转矩 是多少？给出大小 和方向。 4 τ r 图 3 (a) 重复图 2；(b) 沿kˆ 轴方向看到的线圈 3
问题11（答案耳在后面的答题页上！归作用在边2上的力对线圈中心的转矩元是多少？给出大小 和方向。 问题12（答素写在后面的答慧页上！：为什么说作用在边1和边3上的转矩为零7 问题13（答案写在后面的答题页上！：线圆的总的矩T■T2+T,是多少？给出大小和方向。 问题14（答策写在后面的答题页上！片这个转矩对线圈有什么作用？ 磁偶极矩 平面缓流线圈的磁偶极矩矢量Ⅱ定义如下。对于平面线圈，口可由电流L线圈面积A和线圈平 面法线方向米定义， R■I=LAa 法向的方向按右手法则定义：伸出右手，四指鳗曲表示线图电流方向，则伸出的大拇指即表示后 的方向。 平南线流线圈域磁偶极子在均匀腿场中的转矩可表示为 ts=jixB. 这个结果与我们早先关于电偶极子的情形形藏对照。当我们把一个电偶极子币版入均匀电场E 时，我们发现作用在电属极子上的转矩为 干e=p×E 问题15（答案写在后面的答题页上！：用上述定义和表达式计算作用在图2所示的平面载流线圈 上的转矩。它与问题13的蜡果一政写？
问题 11（答案写在后面的答题页上！）：作用在边 2 上的力对线圈中心的转矩 是多少？给出大小 和方向。 2 τ r 问题 12（答案写在后面的答题页上！）：为什么说作用在边 1 和边 3 上的转矩为零？ 问题 13（答案写在后面的答题页上！）：线圈的总的转矩 2 4 τ τ τ r r r = + 是多少？给出大小和方向。 问题 14（答案写在后面的答题页上！）：这个转矩对线圈有什么作用？ 磁偶极矩 平面载流线圈的磁偶极矩矢量µ r 定义如下。对于平面线圈，µ r 可由电流 I, 线圈面积 A 和线圈平 面法线方向nˆ 来定义： µ ≡ IA = IAnˆ r r 法向n 的方向按右手法则定义：伸出右手，四指蜷曲表示线圈电流方向，则伸出的大拇指即表示 的方向。 ˆ nˆ 平面载流线圈或磁偶极子在均匀磁场中的转矩可表示为 µ Bext τ r r r 磁 = × 。 这个结果与我们早先关于电偶极子的情形形成对照。当我们把一个电偶极子p r 放入均匀电场 Eext r 时，我们发现作用在电偶极子上的转矩为 p Eext τ r r r 电 = × 。 问题 15（答案写在后面的答题页上！）：用上述定义和表达式计算作用在图 2 所示的平面载流线圈 上的转矩。它与问题 13 的结果一致吗？ 4
问题：一个正方形线圈的边长为绕其水平边A(轴转动，如图4所示。大小为B的磁场方向垂 直向下，且均匀履盖线圈所在区域。线圈电流沿逆时针流动。 图4外磁场中的载流线漏 问题16（答隶写在后面的答题页上！加用给定的物理量和上述表达式计算作用在该线图上的转矩。 问题17（答隶写在后面的答题页上！力这个转矩引起的转动是使日角增大还是减小： 5
问题：一个正方形线圈的边长为 l，绕其水平边 AA′ 轴转动，如图 4 所示。大小为 B 的磁场方向垂 直向下，且均匀覆盖线圈所在区域。线圈电流沿逆时针流动。 图 4 外磁场中的载流线圈 问题 16（答案写在后面的答题页上！）：用给定的物理量和上述表达式计算作用在该线圈上的转矩。 问题 17（答案写在后面的答题页上！）：这个转矩引起的转动是使θ 角增大还是减小？ 5
麻省理工学院 物理系 课后撕下本页上交1山山 注章： 写上束上课的同学的姓名是违反纪律的行为， 解题5：磁力、转矩和磁偶极矩 组号 (例如，填上6A) 姓名 问题1：用P,A和血表示这段电荷购： 问题2：在山时闻内，长女一4业柱体内的所有电荷将在该微元端口通过面积A。写出由时间内 通过面4的南的表达式。 问题3：用p,A和表示导线电流。 问题4：证明：F。=示×B=本×B。:写出你得到这个答案的代数步醒。 问题5：计算线圈边4的受力 问题6：计算线圈边3的受力 问题7：计算线圈边2的受力 6
麻省理工学院 物理系 课后撕下本页上交！！！ 注意： 写上未上课的同学的姓名是违反纪律的行为。 解题 5：磁力、转矩和磁偶极矩 组号___________________________________________（例如，填上 6A） 姓名____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ 问题 1：用 ρ , A 和 dx 表示这段电荷 dq。 问题 2：在 dt 时间内，长 dx = vd dt 柱体内的所有电荷将在该微元端口通过面积 A。写出 dt 时间内 通过面积 A 的 dq 的表达式。 问题 3：用 ρ , A 和 vd 表示导线电流。 问题 4：证明： B ext ext dF dqv B Ids B r r r r r = × = × 。写出你得到这个答案的代数步骤。 问题 5：计算线圈边 4 的受力__________________________________________ 问题 6：计算线圈边 3 的受力__________________________________________ 问题 7：计算线圈边 2 的受力__________________________________________ 6
问题8：计算线圈边1的受力 问题9：线圈总的受力（所有边受力之和） 问题10：作用在边4上的力对线圈中心的转矩元， 问题11：作用在边2上的力对线圈中心的转矩元1 问题12：为什么说作用在边1和边3上的转矩为零？ 问题13：线翻的总的转矩干=元，+干，是 问题14：这个转矩对线圈有什么作用？ 问题15：用上逃定文和表达式计算作用在御2所示的平面载流线圈上的转矩。它与月题13的结 果一数吗？ 问题16：用给定的物理量和上述表达式计算作用在图4线圈上的转矩， 问题17：这个转矩引起的转动是使8角增大还是减小？
问题 8：计算线圈边 1 的受力__________________________________________ 问题 9：线圈总的受力（所有边受力之和）______________________________ 问题 10：作用在边 4 上的力对线圈中心的转矩 4 τ r _________________________ 问题 11：作用在边 2 上的力对线圈中心的转矩 2 τ r __________________________ 问题 12：为什么说作用在边 1 和边 3 上的转矩为零？_______________________ 问题 13：线圈的总的转矩 τ τ2 τ4 是___________________________________ r r r = + 问题 14：这个转矩对线圈有什么作用？__________________________________ 问题 15：用上述定义和表达式计算作用在图 2 所示的平面载流线圈上的转矩。它与问题 13 的结 果一致吗？ 问题 16：用给定的物理量和上述表达式计算作用在图４线圈上的转矩。 问题 17：这个转矩引起的转动是使θ 角增大还是减小？ 7