麻省理工学院 物理系 解题1：线积分和面积分 A线积分 标量函数(x,八，）沿路径C的线积分定义为 c=把之f 这里C被细分成N段，每一段长度为了计算这个线积分，我们可以用元长参数x米刻画C。借助 于x=(),y=州s)和：=(s),上述线积分可改写为普通定积分： f红.)=广几6本 例1： 作为例子，我们米考虑知下二罪积分： 1=6(x+函 (1,1) 这里C是从原点我1,1)的直线，知右图所示， ● 令多是从原点测得的弧长。我们有 x=5eos8=万 PE,刀 y=55血8=万 450 端点(1，)对应于s=√2。因此，线积分变成
麻省理工学院 物理系 解题 1：线积分和面积分 A. 线积分 标量函数 f (x, y,z) 沿路径 C 的线积分定义为 这里C被细分成N段，每一段长度 ∆si。为了计算这个线积分，我们可以用弧长参数s来刻画C。借助 于 x = x(s) ， y = y(s)和 z = z(s)，上述线积分可改写为普通定积分： 例 1： 作为例子，我们来考虑如下二维积分： 这里 C 是从原点到(1, 1)的直线，如右图所示。 令 s 是从原点测得的弧长。我们有 端点(1, 1)对应于 s = 2 。因此，线积分变成 1
问题1：（答案写在后面的答思页上I)】 本要中我们打算对例1中的同一按积函数x+y进行积分，只？ 是取不同的路径C=C+C:,如右图。积分可分成两部分： (1.1 I=r+列本=红+本+c+列西 @计算1-人(x+yd (1.0) 回计算=+达 (©)现在将I和，如起来得到P。”的值会等于倒1中的/=√2吗？你从这个线积分能出什么 结论？也就是说，线积分是香与起点和峰点间所取的路径无关？ B.矢量函数的线积分 对矢量函数 F=Fi+Fj+Fk 沿路径C的线积分定义为 〔Fds=[e（Ei+Ej+Fki+jttk)=[F本+E本+F 其中 ds=dxi+dy j+dk 是沿C的微线元。如果下表示力矢量，则这个线积分就是力推动物体沿路径敏的功
问题 1：（答案写在后面的答题页上！） 本题中我们打算对例 1 中的同一被积函数 x + y 进行积分，只 是取不同的路径C = C1 + C2 ′ ，如右图。积分可分成两部分： (a) 计算 ∫ = + 1 ( ) 1 C I x y ds (b) 计算 ∫ = + 2 ( ) 2 C I x y ds (c) 现在将 I1和 I2 加起来得到 I′。 I′的值会等于例 1 中的 I = 2 吗？你从这个线积分能得出什么 结论？也就是说，线积分是否与起点和终点间所取的路径无关？ B. 矢量函数的线积分 对矢量函数 沿路径 C 的线积分定义为 其中 是沿 C 的微线元。如果Fˆ 表示力矢量，则这个线积分就是力推动物体沿路径做的功。 2
问题2：（答聚写在后面的答题页上！） 我门来计算 (01) F(x.y)=yi-xj 沿右图所示的闭合三角形路径的线积分。 还是将路径分为三段C,C:和C,分刚计算其贡献。 作为不蕴，我们先来进行沿C的积分，y值沿C不变，为y一0。 41.00 由店=，我们有 F(x.0).d3=(-xj)-(dri)=0 因此沿C的积分为零。现在你米估算沿C的积分·x值沿C不变，为x一0。压=奶 F0,小s-? 创计算度西 是后，我们来计算沿C的线积分。要计算这个积分，我们还是用弧长。作为x和y的参数。。在这 里是C2上一点1,0)的距离。由右图可见， 1-X=60s45°= .上=m45°= ，y 以改k=一 P(ry) 和=五 向)用上述信息计算∫F·店. 45 I-x F本+F布▣了 [F.ds-Fdx+Fdy=? 3
问题 2：（答案写在后面的答题页上！） 我们来计算 沿右图所示的闭合三角形路径的线积分。 还是将路径分为三段C1 , C2 和C3 ，分别计算其贡献。 作为示范，我们先来进行沿 的积分。y 值沿 不变，为 y = 0。 由 ，我们有 C1 C1 s i ˆ d = dx r 因此沿 C1 的积分为零。现在你来估算沿 C3 的积分。x 值沿 C3 不变，为 x = 0。 s j ˆ d = dy r ， F( )⋅ s = ? r r 0,y d (a) 计算 F s r r ∫ ⋅ C3 d 最后，我们来计算沿 的线积分。要计算这个积分，我们还是用弧长 s 作为 x 和 y 的参数，s 在这 里是 上一点到(1, 0)的距离。由右图可见， C2 C2 以及 2 ds dx = − 和 2 ds dy = ， (b) 用上述信息计算 F s r r ∫ ⋅ C2 d 。 F dx + F dy = ? x y ∫ ∫ ⋅ = + = 2 ? C x y C F ds F dx F dy r r 3
C.面积分 二重积分 二变量函数F(x,)可在曲面S上进行积分，其结果是二重积分： 八Fx)dA=儿Fx,本 这里d利=在是S上的（笛卡尔）微分面元，特别是，当气x,y)=1时，我门得到曲面面积S 4=八d4=儿本 例如，长为宽为b的矩形面积（见图）即为 d4-t的 4=本=gj 111110R Area of strip is =a小=aj=ab 0 小y HIBINIIININInnnnnnninic 现在假定F(x,)=(x,y),这里a是电荷密度（库伦m).这样，二重积分就表示曲面上的总电荷： 0=儿c,)d4=儿a(xt 另一方面，如果曲面是圆，这时用极坐标很方便。 (a r de (b) d-rde dr dA 2rrdr 其中微分面元已给出（见上用）： dA=rdrde 对r和0献分，半径为R的圆的面积为 2 rdodr-d )rde-rdr 与我预期的一样。如果(r,)是圆平面上的电荷分布，则该平面上的总电荷为 Q=∬cr.d=∬a.d0 4
C. 面积分 二重积分 二变量函数 F(x, y)可在曲面 S 上进行积分，其结果是二重积分： 这里 dA = dxdy 是 S 上的（笛卡尔）微分面元。特别是，当 F(x, y) =1时，我们得到曲面面积 S： 例如，长为 a 宽为 b 的矩形面积（见图）即为 现在假定 F(x, y) = σ (x, y)，这里σ 是电荷密度(库伦/m2 )。这样，二重积分就表示曲面上的总电荷： 另一方面，如果曲面是圆，这时用极坐标很方便。 其中微分面元已给出（见上图）： 对 r 和θ 积分，半径为 R 的圆的面积为 与我们预期的一样。如果σ (r,θ ) 是圆平面上的电荷分布，则该平面上的总电荷为 4
闭曲面 我们到目前为止村论的自面（矩形和圆》都是开自面。周自面是这样一种曲面：它完全包围一 定的体积。闭曲面的一个例子是球面。要计算华径为R的球面面积，我们可以方便地选择球面坐标 系。缘面的由面微元为 dA=R'sin0do do 对极角(0≤日≤)和方位角0≤草≤2x)积分，得 A=年d=年R如8d0d地 =R[sinodol"ds =4r 假定电荷均匀分有在率径为R的球面上，则球面上 的总电荷为 0=ad4=4rR'a 这里0是电荷密度。 问题3：（答聚写在后面的答题页上！） )计算长为g(红方向从x=0到x=a)宽为b(y方向从y=0到y=b)的矩形面积上的总电荷， 假定面电荷密度为(x,)=ky,其中k是常数。 (b计算半径为R的球面上的总电荷，假定电荷分布为o(r,)=I一sn),其中k是常数。 5
闭曲面 我们到目前为止讨论的曲面（矩形和圆）都是开曲面。闭曲面是这样一种曲面：它完全包围一 定的体积。闭曲面的一个例子是球面。要计算半径为 R 的球面面积，我们可以方便地选择球面坐标 系。球面的曲面微元为 对极角(0 ≤ θ ≤ π )和方位角(0 ≤ φ ≤ 2π ) 积分，得 假定电荷均匀分布在半径为 R 的球面上，则球面上 的总电荷为 这里σ 是电荷密度。 问题 3：（答案写在后面的答题页上！） (a) 计算长为 a（x 方向从 x = 0 到 x = a）宽为 b（y 方向从 y = 0 到 y = b）的矩形面积上的总电荷， 假定面电荷密度为σ (x, y) = kxy ，其中 k 是常数。 (b) 计算半径为 R 的球面上的总电荷，假定电荷分布为σ (r,θ) = kr(1− sinθ ) ，其中 k 是常数。 5
D.矢量函数的面积分 对于适量函数x,片：)，它在曲面S上的积分为 瓜，FaA=∬，F:nd=八r4 这里d瓜=d4信，i是指向曲面法线方向的单位矢量。点积F=F.i是F在i方向上的分量。上 面这个积分称为“通量”。对于电场E,穿过曲面的电通量为 w:=EndM=∬E,d 问题4：（答策写在后面的答题页上！）】 倒考必均匀电场E=i+可，它穿过一个面积为A的曲面。计算下述情形中穿过A的电通量：) 曲面处于正y法向的：平面：（间曲面处于正：法向的对平面。 b)半径为R高为的属柱体的轴沿正：方向。均匀电场E=Ej穿过该阔柱体。试求y>0的柱侧 面上的电通量川E·dA.这里由面法线由柱内指向外. 提示：如果B是戏平面内以x轴为基准向正y轴方向 转动所测得的角，则如何用尼止和8来表示的柱侧面 的微分面元？ 6
D. 矢量函数的面积分 对于适量函数F(x, y,z) r ，它在曲面 S 上的积分为 这里 dA = dAnˆ ， 是指向曲面法线方向的单位矢量。点积 r nˆ = F ⋅nˆ r Fn 是F r 在 方向上的分量。上 面这个积分称为“通量”。对于电场 nˆ E r ，穿过曲面的电通量为 问题 4：（答案写在后面的答题页上！） (a) 考虑均匀电场E i j ˆ ˆ = a + b r ，它穿过一个面积为 A 的曲面。计算下述情形中穿过 A 的电通量：(i) 曲面处于正 y 法向的 xz 平面；(ii) 曲面处于正 z 法向的 xy 平面。 (b) 半径为 R 高为 h 的圆柱体的轴沿正 z 方向。均匀电场E j ˆ = E0 r 穿过该圆柱体。试求 y > 0 的柱侧 面上的电通量 dA。这里曲面法线由柱内指向外。 ∫∫S E⋅nˆ r 提示：如果θ 是 xy 平面内以 x 轴为基准向正 y 轴方向 转动所测得的角，则如何用 R, dz 和 dθ 来表示的柱侧面 的微分面元？ 6
如何用8，i和j来表示y>0的柱侧面的法向n?E,日的意义是什么？ 匠dA=? 7
如何用θ , ˆ i 和ˆ j来表示 y > 0 的柱侧面的法向nˆ ？E⋅nˆ r 的意义是什么？ ⋅ ˆ = ? ∫∫ dA S E n r 7
麻省理工学院 物理系 课后新下本页上交11 注意：写上未上课的同学的姓名是违反纪律的行为。， 姓名 问题1： @=+达= 4-红+达 c)P=+4= 「的值等于例】中的I=√2玛？你从这个线积分能得出什么结论？也流是说，线积分是香与起点 和终点间所取的路径无关？ 问题2： a创)计算F店= 8
麻省理工学院 物理系 课后撕下本页上交！！！ 注意：写上未上课的同学的姓名是违反纪律的行为。 姓名____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ 问题 1： (a) = + = ∫ 1 ( ) 1 C I x y ds (b) = + = ∫ 2 ( ) 2 C I x y ds (c) I′ = I1 + I2 = I′的值等于例 1 中的 I = 2 吗？你从这个线积分能得出什么结论？也就是说，线积分是否与起点 和终点间所取的路径无关？ 问题 2： (a) 计算 ⋅ = ∫F s r r C3 d 8
(ds= 问题31 回总电荷Q一 b)总电荷Q一 问题4： a)考堪均匀电场E=i+可，它穿过一个面积为A的曲面。计算下运情形中穿过A的电通量： (间由面处于正y法向的E平面 ()曲面处于正：法向的)平面 向，试求y>0的柱侧面上的电通量可广E.dA
(b) ⋅ = ∫F s r r C2 d 问题 3： (a) 总电荷 Q = (b) 总电荷 Q = 问题 4： (a) 考虑均匀电场E i j ˆ ˆ = a + b r ，它穿过一个面积为 A 的曲面。计算下述情形中穿过 A 的电通量： (i) 曲面处于正 y 法向的 xz 平面 (ii) 曲面处于正 z 法向的 xy 平面 (b) 试求 y > 0 的柱侧面上的电通量 dA ∫∫S E⋅nˆ r 9