数学建模08秋棋拟试题及答案（二） 一、填空题（每题5分，满分20分）： 1.若初始人口数x。,时刻1的人口数为x(t),增长率为r,则有马尔萨斯的人口模型 =八，0)=X。·若允许的最大人口数为x,那么人口增长率设置为一则有罗捷斯蒂 dr 克模型为： =xl-X),x0)=0 d 2.设年利率为0.05，则20万元10年后的终值按照复利计算应为_ 3.己知行星的质量与它的密度和它的半径的立方成正比.若某行星的直径是地球直径的 d倍，且它的平均密度是地球的s倍，则此行星质量是地球的倍 4.一家服装店经营的某种服装平均每天卖出100件，进货一次的批发手续费为200元， 存储费用为每件0.01元/天，店主不希望出现缺货现象，则最优进货周期与最优进货量分别 为 二、分析判断题（每题15分，满分30分)： 1.考虑在一片面积为定数的草地上进行牛的养殖问题.为了获得最大经济效益，指出建 立该问题数学模型应该考虑的相关因素至少5个， 2.某公司经营的一种产品拥有四个客户，由公司所辖三个工厂生产，每月产量分别为 3000,5000和4000件.公司已承诺下月出售4000件给客户1，出售3000件给客户2以及至 少1000件给客户3，另外客户3和4都想尽可能多购剩下的件数.己知各厂运销一件产品给客 户可得到的净利润如表1所示，问该公司应如何拟订运销方案，才能在履行诺言的前提下获 利最多？ 表1 单位：元/件 客户 利润 123 4 工厂 65 63 6264 68676562 3 636059 60 上述问题可否转化为运输模型？若可以则转化之（只需写出其产销平衡运价表即可），否
1 数学建模 08 秋模拟试题及答案(二) 一、填空题（每题 5 分，满分 20 分）： 1．若初始人口数 0 x ，时刻 t 的人口数为 x(t) ，增长率为 r ，则有马尔萨斯的人口模型 0 d , (0) d x rx x x t = = ．若允许的最大人口数为 m x ，那么人口增长率设置为 ，则有罗捷斯蒂 克模型为： 0 d (1 ), (0) d m x x rx x x t x = − = ． 2．设年利率为 0.05，则 20 万元 10 年后的终值按照复利计算应为 ． 3．已知行星的质量与它的密度和它的半径的立方成正比.若某行星的直径是地球直径的 d 倍，且它的平均密度是地球的 s 倍，则此行星质量是地球的 倍． 4．一家服装店经营的某种服装平均每天卖出 100 件，进货一次的批发手续费为 200 元， 存储费用为每件 0.01 元/天，店主不希望出现缺货现象，则最优进货周期与最优进货量分别 为 ． 二、分析判断题（每题 15 分，满分 30 分）： 1．考虑在一片面积为定数的草地上进行牛的养殖问题.为了获得最大经济效益，指出建 立该问题数学模型应该考虑的相关因素至少 5 个． 2．某公司经营的一种产品拥有四个客户，由公司所辖三个工厂生产，每月产量分别为 3000，5000 和 4000 件.公司已承诺下月出售 4000 件给客户 1，出售 3000 件给客户 2 以及至 少 1000 件给客户 3，另外客户 3 和 4 都想尽可能多购剩下的件数.已知各厂运销一件产品给客 户可得到的净利润如表 1 所示，问该公司应如何拟订运销方案，才能在履行诺言的前提下获 利最多？ 表 1 单位：元/件 客户 利润 工厂 1 2 3 4 1 2 3 65 63 62 64 68 67 65 62 63 60 59 60 上述问题可否转化为运输模型？若可以则转化之（只需写出其产销平衡运价表即可），否
则说明理由， 三、计算题（每题25分，满分50分）： 1.某工厂计划用两种原材料A,B生产甲、乙两种产品，两种原材料的最高供应量依次为 22和20个单位：每单位产品甲需用两种原材料依次为1,1个单位，产值为3（百元）：乙的 需要量依次为3,1个单位，产值为9（百元）：又根据市场预测，产品乙的市场需求量最多为 6个单位，而甲、乙两种产品的需求比不超过5：2，试建立线性规划模型以求一个生产方案， 使得总产值达到最大，并由此回答： (1)最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由. (2)原材料的利用情况， 2.如图一是某乡镇的9个自然村（用y1,…,V表示）间可架设有线电视线路的最短距离 示意图，边旁数字为距离（单位：km),若每km的架设费用是定数20元/m,试协助有线电视 网络公司设计一个既使得各村都能看到有线电视又使架设费用最低的路线，并求出最小架设 费用. 12 11 7 6 2 15 V3 4 2 3 V4 4 16 图一
2 则说明理由． 三、计算题（每题 25 分，满分 50 分）： 1．某工厂计划用两种原材料 A, B 生产甲、乙两种产品，两种原材料的最高供应量依次为 22 和 20 个单位；每单位产品甲需用两种原材料依次为 1，1 个单位，产值为 3（百元）；乙的 需要量依次为 3，1 个单位，产值为 9（百元）；又根据市场预测，产品乙的市场需求量最多为 6 个单位，而甲、乙两种产品的需求比不超过 5：2，试建立线性规划模型以求一个生产方案， 使得总产值达到最大，并由此回答： （1）最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由． （2）原材料的利用情况． 2．如图一是某乡镇的 9 个自然村（用 1 9 v , ,v 表示）间可架设有线电视线路的最短距离 示意图，边旁数字为距离（单位：km）.若每 km 的架设费用是定数 20 元/m，试协助有线电视 网络公司设计一个既使得各村都能看到有线电视又使架设费用最低的路线，并求出最小架设 费用． v1 v2 v3 v4 v6 v5 v7 v9 v8 3 4 6 2 5 4 11 3 6 4 2 8 7 5 图一
数学建模08秋模拟试题（二）参考答案 一、填空题（每题5分，满分20分） 1.r(x)=r-sx 2. 2110 20°=32.5779（万元片 3.sd3 4.T≈20，Q=2000 二、分析判断题（每题15分，满分30分）： 1.饲料来源、公羊与母羊的比例、饲料冬储、繁殖问题、羊的养殖年限、出售时机、羊 制品及其深加工等. (注意：最少写出5个因素。每写对一个因素给3分，最多15分) 2.可以转化为运输模型，具体做法如下： 首先确定总的产销量.总产量显然为12000件：总需求量中，客户3的需求量在保证已 承诺给客户1和2的供给量7000件条件下，最多是5000件，而客户4则最多可得4000件.因 此，总需求量按最高需求应为16000件，因而可视问题为供小于求的运输问题. 其次，为产销平衡，虚设一个工厂4，其产量为4000件. 再次，为确定需求量，将有最低需求与额外需求量的客户分别视为两个客户，并确定各 自需求量，注意最低需求量不能由虚设工厂供给，从而可设其利润值是-M(M是一个充分大的 正数). 综合上述讨论得产销平衡运价表如表2： 表2 单位：元/件 客户 供 利润 1233'4 给 工 量
3 数学建模 08 秋模拟试题(二)参考答案 一、填空题（每题 5 分，满分 20 分） 1． r(x) = r − sx 2． 32.5779(万元)； 20 21 9 10 = 3． 3 sd 4． * * T Q = 20, 2000 二、分析判断题（每题 15 分，满分 30 分）： 1．饲料来源、公羊与母羊的比例、饲料冬储、繁殖问题、羊的养殖年限、出售时机、羊 制品及其深加工等． （注意：最少写出 5 个因素。每写对一个因素给 3 分，最多 15 分） 2．可以转化为运输模型，具体做法如下： 首先确定总的产销量．总产量显然为 12000 件；总需求量中，客户 3 的需求量在保证已 承诺给客户 1 和 2 的供给量 7000 件条件下，最多是 5000 件，而客户 4 则最多可得 4000 件．因 此，总需求量按最高需求应为 16000 件，因而可视问题为供小于求的运输问题． 其次，为产销平衡，虚设一个工厂 4，其产量为 4000 件． 再次，为确定需求量，将有最低需求与额外需求量的客户分别视为两个客户，并确定各 自需求量，注意最低需求量不能由虚设工厂供给，从而可设其利润值是-M（M 是一个充分大的 正数）． 综合上述讨论得产销平衡运价表如表 2： 表 2 单位：元/件 客户 利润 工厂 1 2 3 3’ 4 供 给 量
1 65 63 62 62 64 3000 2 68 67 6565 62 5000 63 60 59 59 60 4000 4 -M -M-M0 0 4000 需求量 400030001000 40004000 三、计算题（每题25分，满分50分） 1.解：设x,x2表示甲、乙两种产品的产量，则有 原材料限制条件：x1+3x2≤22和x+x2≤20： 又由产品乙不超过6件以及两种产品比例条件有另外两个条件： x2≤6，以及2x1-5x2≤0， 目标函数满足：mxz=3x,+9x,.由此可得线性规划模型： max z=3x+9x2 [x1+3x2≤22， x1+ X2 ≤20， st. x2≤ 6, 2x1-5x2≤0， X1, x2≥0. (1)使用图解法易得其最优生产方案将有无穷多组（这是因为第一个约束条件所在直线 的斜率与目标函数直线的斜率相等)，其中的两个方案为该直线段上的两个端点： X1=(4,6)',X2=(10,4),目标值均为2=66（百元）. (2)按照上面的第一个解，原材料B将有10个单位的剩余量，而按照第二个解，原材 料B将有6个单位的剩余量.不论是哪一个解，原材料A都全部充分利用. 2.由题意可知，只需求出该网络图的最小树即可.利用破圈法容易得树形图（图二）： 图二
4 1 2 3 4 65 63 62 62 64 68 67 65 65 62 63 60 59 59 60 -M -M -M 0 0 3000 5000 4000 4000 需 求 量 4000 3000 1000 4000 4000 三、计算题（每题 25 分，满分 50 分） 1．解：设 1 2 x , x 表示甲、乙两种产品的产量，则有 原材料限制条件： x1 + 3x2 22 和 x1 + x2 20 ； 又由产品乙不超过 6 件以及两种产品比例条件有另外两个条件： 6, x2 以及 2 5 0, x1 − x2 目标函数满足： max 3 1 9 2 z = x + x ．由此可得线性规划模型： max 3 1 9 2 z = x + x − + + , 0. 2 5 0, 6, 20, 3 22, . . 1 2 1 2 2 1 2 1 2 x x x x x x x x x st （1）使用图解法易得其最优生产方案将有无穷多组（这是因为第一个约束条件所在直线 的斜率与目标函数直线的斜率相等），其中的两个方案为该直线段上的两个端点： (4,6) , (10,4), 1 2 X = X = T 目标值均为 z = 66 （百元）. （2）按照上面的第一个解，原材料 B 将有 10 个单位的剩余量，而按照第二个解，原材 料 B 将有 6 个单位的剩余量.不论是哪一个解，原材料 A 都全部充分利用． 2．由题意可知，只需求出该网络图的最小树即可．利用破圈法容易得树形图（图二）： 图二
故得架设路线为： 4 >V4 4%3>52→75→w 3 12 1V3 1V8 总架线长度为27km,故总架设费用为27×1000×20=54（万元）
5 故得架设路线为: 总架线长度为 27km，故总架设费用为 27100020 = 54 （万元） v1 v2 v3 v4 v6 v5 v8 v7 v9 3 4 2 4 3 4 2 5