Lectrue 8-2 Time-Frequency Analysis 小波分析
一、认识小波 1、学习小波变换需要的基础知识 一个信号从数学的角度来看，它是一个自变量为时间的函 数孔)。因为信号是能量有限的，即 Tdi<E (1.1) 满足条件(1.1)的所有函数的集合就形成能量有限空间L2()。 二维信号（例如图像)同样是能量有限的。实际上任何一 幅数字图像都是从真实的场景中经过采样和量化处理后得到的。 从数学上看，图像是定义在L2(R)上的函数
f t dt<E ∫+∞−∞ 2 ( ) (1.1) 一个信号从数学的角度来看，它是一个自变量为时间t的函 数f(t)。因为信号是能量有限的，即 满足条件(1.1)的所有函数的集合就形成能量有限空间L2(R)。 二维信号（例如图像）同样是能量有限的。实际上任何一 幅数字图像都是从真实的场景中经过采样和量化处理后得到的。 从数学上看，图像是定义在L2(R2)上的函数。 1、学习小波变换需要的基础知识
>需要L2(空间的基础知识 从数学的角度讲，小波是构造函数空间正交基的基本 单元，是在能量有限空间L2(R)上满足允许条件的函数， 这样认识小波需要L2()空间的基础知识，特别是内积空 间中空间分解、函数变换等的基础知识。 >需要傅立叶变换、傅立叶级数、滤波器等的基础知识 从信号处理的角度讲，小波（变换）是强有力的时频分 析（处理）工具，是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而 来的，所以从信号处理的角度认识小波，需要傅立叶变 换、傅立叶级数、滤波器等的基础知识
需要L2(R) 空间的基础知识 从数学的角度讲，小波是构造函数空间正交基的基本 单元，是在能量有限空间L2(R) 上满足允许条件的函数， 这样认识小波需要L2(R) 空间的基础知识，特别是内积空 间中空间分解、函数变换等的基础知识。 需要傅立叶变换、傅立叶级数、滤波器等的基础知识 从信号处理的角度讲，小波(变换)是强有力的时频分 析(处理)工具，是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而 来的，所以从信号处理的角度认识小波，需要傅立叶变 换、傅立叶级数、滤波器等的基础知识
2、L2R)空间的正交分解和变换 对f)EL2(R),在L2(R)上存在一组标准正交基g),t∈R, 1,2,.…使得 f0=∑c8,0 (1.2) i=1 其中 c,==f0)8,(0)dh =8x(t)g(t)dt=6k,1∈Z(1.3)
2、L2(R)空间的正交分解和变换 对f(t)∈L2(R)，在L2(R) 上存在一组标准正交基gi(t)，t ∈R， i=1,2, 使得 其中 ∑ +∞ = = 1 ( ) ( ) i i i f t c g t (1.2) g t g t g t g t dt k l Z c f t g t f t g t dt k l k l kl i i i = = ∈ == ∫ ∫ +∞ −∞ +∞−∞ ( ), ( ) ( ) ( ) , ( ), ( ) ( ) ( ) δ ， (1.3)
对于给定信号f),关键是选择合适的基g(①)，使得f)在这 组基下的表现呈现出我们需要的特性，但是如果某一个基不 满足要求，可通过变换将函数转换到另一个基下表示，才能 得到我们需要的特性。常用的变换有： ()K-L变换(Karhunen-Loeve Transform) (2)Walsh变换 (3)傅立叶变换 (4)小波变换 基底不同得到的变换也不同。 在信号处理中，有两类非常重要的变换： 傅立叶变换和小波变换。 目前，可简单地将小波理解为满足以下两个条件的特殊信号： ()小波必须是振荡的； (2)小波的振幅只能在一个很短的一段区间上非零，即是局 部化的
对 于 给 定 信 号f( t)，关 键 是 选 择 合 适 的 基 gi ( t ) ，使 得f( t) 在 这 组 基 下 的 表 现 呈 现 出 我 们 需 要 的 特 性，但 是 如 果 某 一 个 基 不 满 足 要 求，可 通 过 变 换 将 函 数 转 换 到 另 一 个 基 下 表 示，才 能 得 到 我 们 需 要 的 特 性 。 常 用 的 变 换 有： (1) K-L 变 换 （ Karhunen-Loeve Transform ） (2) Walsh 变 换 (3) 傅 立 叶 变 换 (4) 小 波 变 换 基 底 不 同 得 到 的 变 换 也 不 同 。 在 信 号 处 理 中，有 两 类 非 常 重 要 的 变 换： 傅 立 叶 变 换 和 小 波 变 换 。 目 前，可 简 单 地 将 小 波 理 解 为 满 足 以 下 两 个 条 件 的 特 殊 信 号： (1) 小 波 必 须 是 振 荡 的； (2) 小 波 的 振 幅 只 能 在 一 个 很 短 的 一 段 区 间 上 非 零，即 是 局 部 化 的
3、一些著名的小波： (1)Daubechies(英格丽·多贝西)小波 db2 db3 db4 db5 db6 10 db7 db8 db9 db10
（1）Daubechies（英格丽·多贝西）小波 3、一些著名的小波：
(2)Coiflets小波 20 510150 coif1 coif2 coif3 coif4 coif5 (3)Symlets小波 sym2 sym3 sym4 sym5 sym6 sym7 sym8
（2）Coiflets小波 （3）Symlets小波
(4)Morlet小波 (5)Mexican Hat小波 0.8 0.5 0.6 0.4 0 0.2 0 -0.5 -02 8-6-4-202468 -8-6-4-202468 (6)Meyer小波 1 每个小波的波形是不一样的，各 0.5 个小波的对称性、正则性以及紧 0 支撑性都不一样 -0.5 -5 0 5
（4）Morlet小波 （5）Mexican Hat小波 （6）Meyer小波 每个小波的波形是不一样的，各 个小波的对称性、正则性以及紧 支撑性都不一样
不是小波的例子 淮
不是小波的例子
RETURN Fourier : Transform Signal Constituent sinusoids of different frequencies Wavelet Transform Signal Constituent wavelets of different scales and positions
RETURN