Lecture 8 Time-frequency analysis Short Time Fourier Transformation (STFT)
1 Lecture 8 Time-frequency analysis Short Time Fourier Transformation (STFT)
1.概述 平稳 非平稳 全局 标准傅里叶 局部 分析 语音信号 生物医学信号 矛盾 分帧，加窗 短时傅立叶变换(STFT) 小波变换
2 1. 概述
2.短时傅立叶变换(STFT)-定义 口定义：短时傅立叶变换也叫短时谱（加窗的方式) X,(eo）=∑x(m)w(n-m)eam 口短时谱的特点： 1)时变性：既是角频率o的函数又是时间n的函数 2)周期性：是关于o的周期函数，周期为2元 短时傅立叶变换主要用于生物医学信号、语音分析 合成系统，由其逆变换可以精确地恢复原始信号。 3
3 2. 短时傅立叶变换(STFT)--定义 定义：短时傅立叶变换也叫短时谱（加窗的方式） 短时谱的特点： 1)时变性：既是角频率ω的函数又是时间n的函数 2)周期性：是关于ω的周期函数，周期为2π = ∑ − ∞ =−∞ − m j j m n X e x m w n m e ϖ ϖ ( ) ( ) ( ) 短时傅立叶变换主要用于生物医学信号、语音分析 合成系统，由其逆变换可以精确地恢复原始信号
2.短时傅立叶变换-定义 短时傅里叶变换是窗选信号的标准傅里叶变换。下标 区别于标准的傅里叶变换。w(n-m)是窗口函数序列。 不同的窗口函数序列，将得到不同的傅里叶变换的结 果。 短时傅里叶变换有两个自变量：和ω，所以它既是关 于时间n的离散函数，又是关于角频率ω的连续函数。 与离散傅里叶变换和连续傅里叶变换的关系一样，若 令@=2k/N,则得到离散的短时傅里叶变换，它实际 上是在频域的取样 2kmm X,(eN)=X,(因=mMn-me 0≤k≤N-1 Ξ-∞
4 短时傅里叶变换是窗选信号的标准傅里叶变换。下标n 区别于标准的傅里叶变换。w(n-m)是窗口函数序列。 不同的窗口函数序列，将得到不同的傅里叶变换的结 果。 短时傅里叶变换有两个自变量：n和ω，所以它既是关 于时间n的离散函数，又是关于角频率ω的连续函数。 与离散傅里叶变换和连续傅里叶变换的关系一样，若 令ω＝2πk/N，则得到离散的短时傅里叶变换,它实际 上是在频域的取样。 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 2 = = − ≤ ≤ − − ∞ =−∞ X e X k ∑x mwn me N k N k m j m n N k j n π π 2. 短时傅立叶变换-定义
2km X,)=∑0n-nme 0≤k≤N-1 2.短时傅立叶变换-定义 口这两个公式都有两种解释： ① 当n固定不变时，它们是序列w(n-m)x(m) (-∞<m<∞)的标准傅里叶变换或标准的离散傅里 叶变换。此时与标准傅里叶变换具有相同的性质， 而X(K)与标准的离散傅里叶变换具有相同的特性。 ②当ω或k固定时，X（k)看做是时间n的函数。它 们是信号序列和窗口函数序列的卷积，此时窗口的 作用相当于一个滤波器
5 这两个公式都有两种解释： ① 当n固定不变时，它们是序列w(n-m)x(m) (-∞＜m＜∞)的标准傅里叶变换或标准的离散傅里 叶变换。此时与标准傅里叶变换具有相同的性质， 而Xn(k)与标准的离散傅里叶变换具有相同的特性。 ② 当ω或k固定时，Xn(k)看做是时间n的函数。它 们是信号序列和窗口函数序列的卷积，此时窗口的 作用相当于一个滤波器。 2. 短时傅立叶变换-定义 ( ) ( ) ( ) 0 1 2 = − ≤ ≤ − − ∞ −∞= X k ∑x mwn me N k N k m j m n π
2.短时傅立叶变换-定义 ▣ 频率分辨率△f1 取样周期T、加窗宽度N三者关系： △f= NT 口窗宽对短时频谱的影响 一窗宽长 频率分辨率高，能看到频谱快变化； 一 窗宽短一频率分辨率低，看不到频谱的快变化； 6
6 2. 短时傅立叶变换-定义 频率分辨率∆f、取样周期T、加窗宽度N三者关系： 窗宽对短时频谱的影响 －窗宽长——频率分辨率高，能看到频谱快变化； －窗宽短——频率分辨率低，看不到频谱的快变化； 1 f NT ∆ =
3.短时傅立叶变换-标准傅里叶变换的解释 口短时傅里叶变换可写为 X,(e/o）=∑[xmw(n-me 1m=-∞ 当n取不同值时窗w(n-m)沿着x(m)序列滑动， 所以w(n-m)是一个“滑动的”窗口。 口由于窗口是有限长度的，满足绝对可和条件，所 以这个变换是存在的。与序列的傅里叶变换相同， 短时傅里叶变换随着ω作周期变化，周期为2n
7 3. 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释 短时傅里叶变换可写为 当n取不同值时窗w(n-m)沿着x(m)序列滑动， 所以w(n-m)是一个“滑动的”窗口。 由于窗口是有限长度的，满足绝对可和条件，所 以这个变换是存在的。与序列的傅里叶变换相同， 短时傅里叶变换随着ω作周期变化，周期为2π。 j m m j n X e x m w n m e ω − ω ∞ =−∞ ( ) = ∑[ ( ) ( − )]
3.短时傅立叶变换-标准傅里叶变换的解释 w(50-m) w(100-m) w(200-m) x(m) n=50 7=100 n=200 图4-1在几个n值上xm)与wm)的示意图 8
8 3. 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释
3.短时傅立叶变换-标准傅里叶变换的解释 根据功率谱定义，可以写出短时功率谱与短时傅里叶变换 之间的关系 S,(e)=X,(e)·X(eo)Xn(e)川' 式中*表示复共轭运算。同时功率谱是短时自相关函数 R,(k)=∑n-m)x(m)m(n-k-m)x(m+k)的傅里叶变换。 下面将短时傅里叶变换写为另一种形式。设信号序列和窗 口序列的标准傅里叶变换为 X(e0）=∑xmeo w(e)=2 w(me-jam 均存在。当n取固定值时，w(n-m)的傅里叶变换为 ∑r(n-me-=eam·(e-o)
9 根据功率谱定义，可以写出短时功率谱与短时傅里叶变换 之间的关系 式中*表示复共轭运算。同时功率谱是短时自相关函数 的傅里叶变换。 下面将短时傅里叶变换写为另一种形式。设信号序列和窗 口序列的标准傅里叶变换为 均存在。当n取固定值时，w(n-m)的傅里叶变换为 * 2 ( ) ( ) ( ) | ( ) | ω ω ω jω n j n j n j n S e = X e • X e = X e R (k) w(n m)x(m)w(n k m)x(m k) m n = ∑ − − − + ∞ −∞= mj m j X e x m e ω − ω ∞ −∞= ( ) = ∑ ( ) mj m j W e w m e ω − ω ∞ −∞= ( ) = ∑ ( ) ( ) ( ) jωm jωn jω m w n m e e W e − − − ∞ −∞= ∑ − = • 3. 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释
X,n(ejo)=X(eo)*[em·W(e)】 .3短时傅立叶变换-标准傅里叶变换的解释 用波形乘以窗函数，不仅为了在窗口边缘两端不引起急剧变 化，使波形缓慢降为零，而且还相当于对信号谱与窗函数的 傅里叶变换进行卷积。 为此窗函数应具有如下特性： ■ ①频率分辨率高，即主瓣狭窄、尖锐；（矩形窗) ②通过卷积，在其他频率成分产生的频谱泄漏少，即旁瓣衰 减大。（汉明窗) ■这两个要求实际上相互矛盾，不能同时满足。 因为窗口宽度N、取样周期T和频率分辨率△f之间存在下列关系 △f=1/NT,可见： ■窗口宽度↑→频率分辨率↑→时间分辨率↓ 窗口宽度↓→频率分辨率↓→时间分辨率↑，因而二者是矛盾 的。 10
10 用波形乘以窗函数，不仅为了在窗口边缘两端不引起急剧变 化，使波形缓慢降为零，而且还相当于对信号谱与窗函数的 傅里叶变换进行卷积。 为此窗函数应具有如下特性： ① 频率分辨率高，即主瓣狭窄、尖锐；（矩形窗） ② 通过卷积，在其他频率成分产生的频谱泄漏少，即旁瓣衰 减大。（汉明窗） 这两个要求实际上相互矛盾，不能同时满足。 因为窗口宽度N、取样周期T和频率分辨率∆f之间存在下列关系 ∆f＝1/NT，可见： 窗口宽度↑→频率分辨率↑ →时间分辨率↓ 窗口宽度↓→频率分辨率↓ →时间分辨率↑，因而二者是矛盾 的。 .3 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释 ( ) ( ) *[ ( )] jω jω jωn jω n X e X e e W e − − = •
