D0I:10.13374/j.is8m1001053x.1986.01.036 北京钢铁学院学报 186.年12月 Journal of Beijing University Nol 第4期 of Iron and Steel Technology Dec,1986 钢绳罐道上容器的摆动和晃动 杨揆 (理论力打学牧学) 摘 要 本文研究了钢绳罐道上提升容器的横向运动，它包括容器质心的横向摆动利绕 质心的转尚。建立了此系统的动力学微分方程组，并用龙格一库塔方法求得了运动 的数值解。通过对数值解的分析说明：(1)容器的摆动最与提升钢绳的横向力、以 及罐道长度成正比，与重邂的垂献成正比。(2)在容器长度确定的条件下，增大上 下罐耳之间的距离可使容器的晃动减小，但是，如果容器长度与藩耳间的距离同步 地增加，将不能达到使晃动减小的目的. 关键词：摆动，见动，钢绳楠道， Oscillating and Shaking of a Container Along the Rope Guides Yang Kuiyi Abstract In this paper,we discussed the lateral motion of a container along the rope guides.The motion of a containercompressed two parts:the oscillation of the center of mass and the rotational vibration round that center of mass. For this dynamic system,the differential equations are established,and determined the numerical solutions by Rung-Kutta method,Analysed these solu- tions find that 1 The amplitude of the oscillation of container is propor- tional to the lateral force given by hoist rope,and it is also proportional to the length of rope guides,but is inversely proportional to the weight.(2) If the length of container is kept constant,increasing the distance between 1983-06-23收到 115
年 月 第 期 北 京 钢 铁 学 院 学 报 钢绳罐道上容器的摆动和晃动 杨 摆 一 理 论力学教研 宁 几旧皿 摘 要 本文研究 了钢绳罐道上提升 容器 的横 向运动 ， 它 包括 容器质心的横 向摆动 和绕 质心的转 功 建立了此 系统的动 力学微 分方程 组 ， 并 用龙格 一 库塔力法求得了运 的 数值解 通 过对数值解的 分析 说明 容器的摆 动量 与提升 钢绳的 横 向力 以 及罐道长度成正 比 ， 与 玉 锤的重 鼠成正 比 。 在容 器 一 长度确定 的条件下 ， 增 大 上 下罐耳之 间的 距离可使容器 的晃动 减小 但是 ， 如果 容 器长度与罐耳 间的 距 离同步 地增 加 ， 将不能达到使晃动减小的 目的 。 关键词 摆动 ， 晃动 ， 钢绳罐道 · 入 ， 二 、 。 ， ， 一 、 一 ， ， ， 只 ， 弓一 一 女至 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1986．04．036
two ears of cage,then the shaking of container will decreases.But,if the length of container and the distance between two cars of cage are increasing similarly,the shaking of container can not decreases. Key words:oscillation,shake,rope guides. 1系统的运动微分方程式 整个系统的位置出0和p两个变量来描述。其中6为提升绳与铅垂线的夹角，仰为容器中心 线与铅垂线的夹角（图）。在建立运动微分方程的过程中，我们的简化模型是：在考虑容器 质心的摆动时，由于容器尺寸对于提升绳长度很小，把容器看作质点。②在考虑容器绕其 质心的转动时（以下简称这种运动为“见动”)，把容器行作刚休。这样既简化了模型，又 突出了所要研究的问题。 图罐道系统的儿何参数 Fig.Geometrical parameters of the rope guides system 设容器以匀速v由最下端向上运动，在任意时刻t,容器距罐道下端的距离12=v,距 上端的距离1！=Lⅴt,式中L为罐道的总长度，设此瞬时由悬挂点到容器质心的提升绳长度 116
， 飞 ， ， ， ， 系统的运 动微分方 程式 整 个系统 的位 置 由 和甲两个 变量来描述 。 其 中 为 提 升绳 与铅 垂线 的夹 角 ， 切为容 器 中 心 线 与铅 垂线 的夹 角 图 。 在建 立运 动 微分 方 程 的过程 中 ， 我 们的简化模型 是 ① 在考虑 容器 质心 的摆 动时 ， 由于容 器尺 寸农 对 于提 升绳 一 长度很小 ， 把容 器 看作质 点 。 ② 在考虑容器绕 共 质心 的转动 时 以 「简称 这 种运 动为 “ 兄动 ” ， 把容 器 着作 刚体 。 这 样既 简化 了模型 ， 又 突 出 了所 要研 究 的 问题 。 图 罐 道 系统的 几何参数 。 设容 器以 匀速 由最下端 向上运 动 ， 在任 意 时 刻 ， 容 器 距 罐道下端 的 距 离 ， 距 上 端 的距离 二 一 ， 式 中 为 罐 道 的 总 长 度 ， 设 此瞬 时 由悬挂 点到 容 器质心 的提 升 绳 长度 工
为1，最初时刘此长度为1，叫1=1n-vt,它符号为： Q，一继道锤重量， 个一一提引绳的张力， F一一提升绳给容器的横向力，（由于的 J。一容器对共质心的转动惯量， 绳开捻趋势所产生的) -一容器与提连接点D到质心c的 m-一容器质批， 离， g一一重力加速度， b 罐「弼容器质心的离。 根据系统对0点的动量矩定理，行 ml20=-mglsin0-Q:1 sinasina:)+FI (1) 山于a,a:都是微小变量，所以 sina1=18/11=10/(L-vt) sina2=18/1:=10/vti 了 (2) 把关系(2)代入(1)整理i,便得到关下0的微分方程 9+〔5+mvt)门0日 (3) 在研究容器的晃动时，容器被看作刚体。对于容器的质心应用动量矩定理，即容器所受 各力对其质心力矩之和等于容器的动量矩，有 Joo=-Tasin (-0)-Qrbsin (o-a:) -Qbsin (p+a2)-Facos (p-0) (4) 另外，再对容器应用质心运动定理。把质心加速度在垂直于pc方向上的投影记为a,则 ma:=Tsin (p-0)+Qsin (p-a1)-Qrsin (p+a2) -mgsing+Fcos (-0) (5) 此外，还需用到与0，p之间的运动学关系 a,-10c0s(p-0)+ap (6) 把山(5)式得到的Tsin(p-0)乘以a代入(4)式列 Jco=-ama +Qr(a-b)sin -a1) -Q(a+b)sin (+a:-amgsinp 把(7)式中的a.再用关系式(6)代入，有 Jc+a2m p=-amlecos (p-0)(a-b)sin -a) -Q(a+b)sin (o+a2)-amgsing 此式中的日再用山(3)式解出的代入，最后即可得到关下P的二阶微分方程 Jc+a'm)=[mge+QrL 10-F]acos (-0) vt L-vt) +Q(a-b)sin(o-a1)-Q(a+b)sin(o+a2)-amgsinp (8 117
为 ， 最 初时 刻此长度为】 。 ， 贝毯卜 、 一 ， 七它符 号为 一罐道锤 重 量 ， － 提 升绳 ，勺张 力 ， 一 一 提 升绳 给容 器的横 向力 ， 由于钢 。 一一 容 器对 共质心 的 转 动 钻〔 峨 ， 绳 开 捻趋 势所 产生 的 一 一穷 器 与提 升绳 连 接 点 到 质心 的距 一 容 器质 量 ， 离 ， 一 贡力加 速度 ， 罐 丁沙弓客 器 质心 介勺跟 离 。 根 据 系统 对 。 氛的动 量 矩定 理 ， 有 “ 一 一 ， 。 一 、 山于 ， 都 是 微小 变量 ， 所 以 二 ， 一 “ 八 把 关 系 代 人 榷理 后 ， 便 得到关 一 立 的微分 方 程 “ 十 〔 一 一 十 ， 一 勺。 一 共 在研究容器的晃动时 ， 容器被 看作刚体 。 对 于容 器的质 心应 用 动量 矩 定理 ， 即容器所 受 各力 对其质心力 矩 之和等于容器 的动量 矩 ， 有 切 二 一 甲 一 一 中 一 ， 一 ， 甲 一 甲 一 再对容 器应用质心运 动定理 。 把质心 加速 度 在垂直 于 方 向 卜的投 影记 为 ， 则 甲 一 ， 切 一 一 中 一 切 切 一 弓 还需 用 到 与 ， 切之 间的运 动学 关 系 二 中 一 一 卜 甲 式 得至 的 、 甲 一 乘以 代 入 弋 二得乡 、 另此把外外山 。 甲 二 一 一 切 一 ， 一 切 一卜 一 切 把 式 中的 再用 关 系式 代 入 ， 有 。 ’ 切 二 一 甲 一 口 十 一 切 一 以 一 切 一 切 此 式 中的 再用 由 一 卜 “ 切 式解 出的 代 入 ， 最后 即可得到关 干甲的二 阶微分 方程 〔 互 一 〕 。 。 沪 一 一 帅 一 甲 一 工 一 切 一 切
(8)式与(3)式联立起来，就是所研究系统的运动微分方程组，它只包含变量，P及 其二阶导数。其中c,a:山(2)式决定，变数1可用1o-vt代替。 2 对摆动和晃动规律的分析 方程组(3)和(8)可以用计算机成得数值解。我们把这两个念变是，p及其二阶导 数的微分方程先化戍具有四个变是及其阶导数坐微分方程组。而后月热知：的龙格一库塔方 法在计算机上运算。这方面已有条种算法语言的计算机程序（例如可查阅文献〔1）)。为了 使结果比较直观，再引入山于摆动所引起的横向位移x!和由于晃动所引起的容器底面中心的 位移x2。显然， fx=18=(1o-vt)0 x2=2asinp (9) 根据方程组(3)和(8)和他们的数值解，可以对容器摆动和晃动的规律作如下分 析： 2.1各参数对摆动置x1的影响 从方程(3)可以看出，摆动角不受晃动角P的影响。从这一点可以得知：把容器看 作质点时所得到的关于摆动量的规律，对于考虑了晃动角后的摆动量x:也是适用的。前者曾 在文献〔2)中讨论过。这些规律是：①横向力F与容器的最大摆动量成正比：②提升速度 V对容器的最大摆动量影响很小，③罐道长度L与最大摆动量成正比，④重锤重量Q,与最大 摆动量成反比，⑤容器重量mg与最大摆动量没有直接关系。容器重量通过它对横向力的影 响间接地影响着摆动量。 2.2参数a,b对晃动量的形响 以下列数值为基础：F=50N,Q,=30kN,m=400kg,J。=400kg-m2,L=200m,lo= =210m,v=5m/s,而后变动参数a,b分析其晃动规律。 假定容器长度不变，a=1.5m,令饿耳间的距离改变。我们计算了b=0.25,0.5,1, 1.5和].75五种情况，把它们的最大晃动量和最人晃动角列于表中。从表中可以看出，在其 它参数不变的条件下，上：「罐耳间的斯离越小，见动的角度越大。 表尺寸b对晃动量和晃动角的影响 Table Influence of size b on x2mx,max Size b (m) 0.25 G.5 1.0 1.5 1.15 x2max (cm) 0.1c3 0.146 0,139 0.138 0.125 甲面a黑(0) 0.031 0.028 0,027 0.026 0.020 另外，令a,b的尺寸相同，并改变它们的大小，即设a=b=0.5m,1m,1.5m等。计 算出相应的最大晃动角分别是0.028°，0.03°和0.029°。这说明：如果容器长度与罐耳间的 距离同步地变化的话，那末它们的大小将不太影响晃动的角度。 2.3容器晃动的周期和加速度 118
式与 式联 立起来 ， 就 是所研究系统的运 动 微分 方程组 ， 它 只包含 变量 ， 切 及 其二阶导 数 。 其 中。 ，， 。 山 式决定 ， 变数 可用 。 一 代 林 。 对摆动和 晃动规律的分析 二 一 甲 根 据方 程 组 和 和他 们 的 数似 解 ， 可以 对容 器摆 动 和 晃动 的 规律作 如 下 分 析 各 参 数对摆 动 量 的影响 从方 程 可以看 出 ， 摆 动 角 不受 晃动 角切的 影响 。 从这 一 点可 以得 知 把容 器 看 作质点时 所得到 的关 于摆动 量 的 规律 ， 对 于考虑 了晃动 角后 的摆 动 量 也 是适 用的 。 前者 曾 在文献 〔 〕 中讨论 过 。 这些 规律 是 ① 横 向力 与容器的最大摆动 量 成正 比， ②提 升速 度 对容器 的最大摆动 量 影响很小 ③ 罐 道长度 与 最大摆动 量 成正比 ④重锤 重量 与最 大 摆动量 成反 比 ⑤容 器重 量 与最 大摆 动量 没 有直接关 系 。 容 器 重量通 过它 对 横 向力 的 影 响 间接地影响着摆 动量 。 参数 ， 对晃动盆 的影响 以下 列数值 为基础 ， ， 遵 ， 。 吐 一 ， ， ， 。 ， 二 ， 而后 变动 参数 ， 分 析其 晃动 规律 。 假定 容 器 一 长度 不 变 ， 二 ， 令 罐耳 间的距离 改 变 。 我们 计算 了 ， ， ， 和 五种 情 况 ， 把它 们 的最 大 晃动 量 和最 大晃动 角列于表 中 。 从 表 中可 以看 出 ， 在 其 它 参数 不 变的条件 下 ， 上 一 罐 耳 间的距 离越 小 ， 晃动 的 角度越 大 。 表 尺 寸 对 晃动童 和晃动 角的影 响 。 二 ， 七 … · … 。 。 。 。 。 。 。 一 另外 ， 令 ， 几勺尺 寸相 同 ， 少仁改 变它 们的大 小 ， 即设 ， ， 等 。 计 算 出相 应的最大 晃动 角分 别 是 “ ， “ 和 “ 。 这 说 明 如果容 器长度与 罐 耳 间 的 距离 同步 地 变化的话 ， 那 末它 们 的大 小将 不太 影 响 晃动 的 角度 。 容 器晃动 的周 期和加 速度
我们求出了很多参数值的系统周期。发现它们的数作和以下列公式让第的周明非常接 近： T=27 「Jc+am mga+2Q;b (10) 这个公式是假定把容器上的P点悬作于固定较，在重力mgp和另·恢以力i-2bQrm 作用下推导出来的。数值解和公式(10)的近以，说明P点的移动对容器的鬼动周期：没有明引 显的影响。 计算机输H的仰一t关系近似于箭谐振动。因此容器底面见动的最大加速度也可以近似 地写成 X2m4x=Λ生02 (12) 式中A2是见动的振幅。通过对若上参数值的算得：这部分加速度只行重力加速度的千 分之几。即使由于某些原因增大儿倍的话，它也不致于影响容器1内物料的稳定性。因此在设计 中可以不考虑这个因素。 参考文献 〔1)中国科学院沈阳计算技术研究所等：《电子计算机常明算法》，科学版社，1976 〔2)杨揆一：矿山机械，8(1983年) 119
我 们求 出了很 多参数依的 系统周 期 。 发 现它 们的 数位 和 以下 列 公 式 卜算 为周 期 非 常 接 。 一卜 一 这 个公 式 是假 定把容 器上 的 点悬 于七于 固定 议 ， 在贡 力饭 一 华 和 另 · 恢 复 一 力 矩 一 甲 作用 下 推导 出来的 。 数值解 和公 式 的近 似 ， 亡色明 点的移 动对容 器的 晃动 周 期 没 有 明 显 的影响 。 卜算机 输 出的切 一 关 系近似 干 简 皆振 动 。 因此容 器 ， ’ 画 兄动的 最大 加 速 度也 可 以 近 似 地 写 成 ， 、 。 “ 式 中 是 晃动 的振幅 。 通 过对 若 卜参数依 的计 算了导知 这 部分加速 度 只 仃爪力加 速 度 的 千 分 之几 。 即使 由于 某些原 囚增大 儿 倍 的话 ， ， 已也 不致 于 影响容 器 内 物料 的稳 定性 。 因此在设计 中可 以 不考虑这个 因素 。 参 中国科学 院沈 阳计算技术研究所 等 考 文 献 《 电子 计算机常 用 算法 》 ， 科学 出版 社 ， 〕 杨 撰一 矿 山机 械 ， 年 沪﹄产
