上海交通大学：《宏观经济学（通选）》课程教学资源_一般均衡存在性证明

一般均衡 二交换经济的瓦尔拉斯均衡：存在性 一帕累托有效的配置（交换经济中） 餐设5.：效用函数在R:上连续、爱递增、严格拟四 经济环境： 消费者集合：1=（化，，） 价格p0、桌碱e给定，箱费者的铜韆东股(.四≤pe 马做尔需求为x(B,p-e) ◆偏好关系：之 定理5.1消费者需求的整本特征 ◆禀赋：t=(,一) 变换经济：c=,)a 如果满足假51，对于每一个价格向量p多0，费者的问题有唯一的解(,P) 另外，(，P-e)在，空间上关于p0上连续. 整个经济中的赢感t-(化，e） 整个经济中的配置：=仁，一)其中.=(，) 注：马景尔需求两数x(RPe）在价格向量p多0上连续，但是在价格向量p>0上不连线. 可而集Fe{他- 定义：超额需求函数 定久5.1：帕累托效率配置： 对可行配置x,如果没有配置yeF()使得对于所有的消费者i,有y之X,且至少对一 -(P）>0:供不应求 个闲费者，有y>,测称配置玉具有帕常托效率。 -(p）=0:供求相等 注：帕累托政善：yeF(e, 三(p)：改善某些人的利 定理52：总过搜需求语数z(p)的特狂： 如果对于每个消费者ie1,满足假设5.l,那么对于所有的p为0，有 Sc/表示消费者集合中的一个联里，相时于配置xeF(e),如果有配置yeF(e),使得： 1.连续性：总过度南求函数在印多0上连续 0 y-e 2齐次性：对于所有的2>0，有x(御)=z(p) (2)对所有的消费者，有yX,且至少有一个偏好关系是严格的 瓦尔拉斯法：pz(p)=0 则说S抵制配置x 证明： 定文53：交换经济的核： 家赋为e的交换经济的核C(:)是所有不受抵制的可行配置的集合。 1.连续性：根据定理玉1，代表性游费者的需求函数x(,P）在p为0上连健，因此， 总市场需求函数在需0上连续，经济中的察赋外生给定，所以总翅额需求函数为连线汤数， 交换均衡点： 2。齐次性：对单个消费者，预算集为Bne)={p-x=pe},这与预算集 (抑，)={【（却）x=(却)e相同，消费者需求不麦，总过度需求不变。 ◆在Edgeworth盒子里面：可行的配置xeF(e) 3.瓦尔拉斯法期：Pz(P)=0 ◆不被抵制：对配置xeF(e),无抵制联型 对代表性消费者，有约束条件p-x(p,pe)=Pe, ◆具有触需托效率：在契约战上 达到交换均衡的前提条件：每个人都知道社会中所有人的偏好关系。 →∑pr(p,pe)=∑pt 费者有-0. →p-∑[x(,p-e)-e]=0 对应于价格向量数列{p},流游费者有需求数列气p°，P):对于所有的m, →p-z(p)=0 ()-m)u.psp 要缸明该消费者的需求数列无上界。《反证法) 假设{(p,P)}有界，则有收微子列。不她假设找本身收效，即当m→面时， 定文55：瓦尔拉斯均衡 如果有z(p)=0,价格向量p为瓦尔拉斯均衡。 x兰x(P,p)→x.由于消费者的效用函数是强递增的，因此.最优时预算约束束装， 即对于所有的m,有px“=p。 定理：Brouwer不动点定理 →lim p".s”=limp°t→可-x'=币t>0 设SCR”是非空集、紧集和凸集。设f:S→S是连续映射，那么在集合S中，存在至少 -个∫的不动点。也是说，存在到少一个xeS,使得x=f() 令i=x+0,0,1,0,0),其中第女项为1.效用硒数微递增，因此有， f()>( (p-i=p-x'=p-e>0 由于效用函数连续，所以存在一个1e(01),使得 2)各种的绝数量格为正心0， (3){P}是R中的价格向量数到，收微于可≠0，且在下中某商品上的价格瓦=0， r()>) 则对于离足元=0的一些商品上，与价格向量数列{p}框对应的超颗需求数列（仰》 可-()) 1.{p}定文在R中，即对于所有的m,有p多0。 p"()0.百安-言心0.所以.多少一位消 定理5.3：瓦尔拉斯均衡存在性 3

1 一般均衡 一 帕累托有效的配置（交换经济中） 经济环境： 消费者集合：    1,...,I n 种商品： 消费者i ：  偏好关系： i    禀赋：  1 ,...,  iii n e  e e 交换经济：  ,  i i i    I  e  整个经济中的禀赋：   1 I e= e e ,..., 整个经济中的配置：   1 ,..., I xx x  ，其中，   1 ,..., iii n x  x x 可行的配置集：   i i iI iI Fe x           x e  定义 5.1：帕累托效率配置： 对可行配置 x ，如果没有配置 y  F   e 使得对于所有的消费者i ，有 i i y  x  ，且至少对一 个消费者，有 i i y  x ，则称配置 x 具有帕累托效率。 注：帕累托改善： y e  F  ， 对于所有的消费者i ，有 i i y  x  ：不降低任何人福利 且至少对一个消费者而言，有 i i y  x ：改善某些人的福利 定义 5.2：Blocking Coalitions（抵制联盟）： S I  表示消费者集合中的一个联盟，相对于配置 x e  F   ，如果有配置 y e  F  ，使得： （1） i i iS iS     y  e （2）对所有的消费者，有 i ii y  x  ，且至少有一个偏好关系是严格的， 则说 S 抵制配置 x 定义 5.3：交换经济的核： 禀赋为e 的交换经济的核Ce 是所有不受抵制的可行配置的集合。 交换均衡点：  在 Edgeworth 盒子里面：可行的配置x F e   不被抵制：对配置x F e  ，无抵制联盟  具有帕累托效率：在契约线上 达到交换均衡的前提条件：每个人都知道社会中所有人的偏好关系。 2 二 交换经济的瓦尔拉斯均衡：存在性 假设 5.1：效用函数 i u 在 n  上连续、强递增、严格拟凹 价格p  0 、禀赋e 给定，消费者的问题为： max , . .   i n ii i i u st     x x px p e  马歇尔需求为   , i i x pp e 定理 5.1 消费者需求的基本特征 如果 i u 满足假设 5.1，对于每一个价格向量p  0 ，消费者的问题有唯一的解   , i i x pp e 。 另外，   , i i x ppe 在 n  空间上关于p  0 上连续。 注：马歇尔需求函数   , i i x ppe 在价格向量p  0 上连续，但是在价格向量p  0 上不连续。 定义：超额需求函数 商品 k 的超额需求函数记为：       1   1 1 , ,..., I I ii i kk k n i i z x ez z   p p pe p p       0 k z p  ：供不应求   0 k z p  ：供求相等   0 k z p  ：供过于求 定理 5.2：总过度需求函数 z p  的特征： 如果对于每个消费者iI ， i u 满足假设 5.1，那么对于所有的p  0 ，有 1. 连续性：总过度需求函数在p  0 上连续 2. 齐次性：对于所有的  0 ，有 z p zp      3. 瓦尔拉斯法则：pzp     0 证明： 1、连续性：根据定理 5.1，代表性消费者的需求函数   , i i x ppe 在p  0 上连续，因此， 总市场需求函数在p  0 上连续，经济中的禀赋外生给定，所以总超额需求函数为连续函数。 2 、齐次性：对单个消费者，预算集为     i ii i B p,e x p x p e    ，这与预算集       ii i i B   p,e x p x p e   相同，消费者需求不变，总过度需求不变。 3、瓦尔拉斯法则：pzp     0 对代表性消费者，有约束条件   iii p x p,p e p e    ， 3       0 0 ii i i i i ii i                  p x p,p e p e p x p,p e e pzp 注：瓦尔拉斯法则并没有说在任何价格水平下，总超额需求为零，而是说，在某些商品上存 在过度需求时，在其他商品上存在过度供给。 定义 5.5：瓦尔拉斯均衡 如果有   * z p  0 ，价格向量 * p 为瓦尔拉斯均衡。 定理：Brouwer 不动点定理 设 n S   是非空集、紧集和凸集。设 f : S S  是连续映射，那么在集合 S 中，存在至少 一个 f 的不动点。也就是说，存在至少一个 * x  S ，使得   * * x x  f 。 定理 5.4：如果 （1）每个消费者的效用函数都满足假设 5.1， （2）各种禀赋的总数量严格为正， 1 0 I i i e  ， （3） m p 是 n  中的价格向量数列，收敛于p  0，且在p 中某商品 k 的价格 0 k p  ， 则对于满足 0 k p   的一些商品 k ，与价格向量数列 m p 相对应的超额需求数列   m k z  p 无上界。 解释： 1.  m p 定义在 n  中，即对于所有的m ，有 0 m p  。 2. 当 m   ，p p m  ，p 的特征为p  0 且p  0；同时，由于在p 中某些坐标为零， 0 k p  ，所以，p 并不严格大于零向量，如，   12 1 1 , ,..., ,0, ,..., kk n p pp p p p    。也就 是说，当 m   时，p p m  ， 0 m pk  。 3. p 中为零的坐标，第 k 个坐标，k 可能等于 k ，也可能不等于 k ，对一切等于零的坐标 或商品， 0 k p   ，其需求为无穷大。由于当 m   时 m k k p    p ，所以， m k p    ， 即 m k p  无上界。 证明： 设严格为正的价格数列 m p 收敛于p  0，对于某商品 k ，有 0 k p  。 由于 1 0 I i i e  ，且 p  0，所以  I i i=1 p e >0 ，     I I i i i=1 i=1 p e p e >0 ，所以，至少一位消 4 费者有  i p e >0。 对应于价格向量数列 m p ，该消费者有需求数列   i m mi x p ,p e ：对于所有的 m ，   arg max , . .   n i m mi i i i u st      x x p ,p e x p x p e  要证明该消费者的需求数列无上界。（反证法） 假设   i m mi x p ,p e 有界，则有收敛子列。不妨假设其本身收敛，即当 m   时，   m i m mi  * x x p ,p e x  。由于消费者的效用函数是强递增的，因此，最优时预算约束束紧， 即对于所有的 m ，有 m m mi px pe  。 * lim lim 0 m m mi i m m         p x p e px pe 令   * x x    0,...,0,1,0,...,0 ，其中第 k 项为 1。效用函数强递增，因此有，     * u u x x   *    0 i px px pe  由于效用函数连续，所以存在一个t   0,1 ，使得     * ut u x x     *    t i p x px pe  由于p p m  ， m  * x x ，所以，在 m 足够大时，有     m ut u x x     m m t  i p x pe  所以， m x 不是消费者问题在 m p 下的解。 矛盾。因此，如果  p p0 m   ，且 0 k p  ，则      1 ,...,  i m mi m m m n x p ,p e x   x x 无上 届。这意味着其全部或部分或至少一个元素无上界。 假设 m k x  无上界。由于对商品 k 的需求 m k x  无上界，而此商品的供给固定，所以其过度 需求数列   m k z  p 无上界。 （验证：由于 mi i p e pe  ，即收入数列  m i p e 有界。也就意味着 mm i k k p x     p e ， 因为 m k x  无上界，所以 0 m k p   ，即 lim 0 m k k m p p      。） QED . . 定理 5.3：瓦尔拉斯均衡存在性

函数满足下列特征： 对干所有的k,令月之当商品数量和=3时，A之宁 3:如果{peR}→p≠0，则对于济足元=0的商品k,{e(p）}无上界. 商品3 腾：存在向量p多心使得z(p）=0 证明： 1、构造单纯形 记P±(B,一，P)表示各商品的贷币价格 表示相对价格。 离品2 由于函数p满足零次齐次性，故z(P)= 1p/-:(P) 单纯形的定：及-和=(A一A,店A=A之之n以 此，寻找使z(P)=0的解，等同于寻找使z)=0的解。 相对价格向量的特点：立A=1,价格向量为单纯影中的点。 单纯形S是有界集：中之n5n1 单纯形S。是闭集： linsAsl 商品3 单纯形S是凸集：取peS,取叫，令+-p。戊以甲- 了言=店成+-馆=1 人=城+-小2n-小n →peS 商品 商品2 单纯形S空集：A=-=R=日>十之c@功：则印e8 但是，应用不动点定理，函数在定义城上必须是连续的，但是，当某些商品的价格为零如图 中的价格向量时，流商品的需求为无穷大，呈现不连续的特征。必须把这种情况推除除 2记三(p)兰min(年(p,) 去，即设法保证p多0。 对每一个k,设三(p)=min(民(p以，)，p*0.→p远(p)spzp)=0 始定一个ee(0,),保证了p*0. 构适价格调整通数：么（何)=牛n+ma色，：p 1+空o.o例 →i(e+玄a三p月=s+a(r》vea0 价格博整函最的意文在于： 3.令e→0： 时如果(p）>0.瓦尔拉南始卖人将调高k韵价格，调整侧度为(P）e(0,1】,司整后的价格为 商品3 月+可()小，再特其调整为阳对价修：人(P)=一 +p+(p) +l+ao,三.(pl》 片等格分各花我产一用肉B价等于7他所有食高包本生味 吵如果在伦格为A时。商品k供求相等，甲三(p)=0。则不对此商品的格透行请整。他由于对其他过 p 定苦求的商品价临进打调整。影响到分母，和时价修发生安化。为： f()= E+PL e+l+2max0三.(p》 商品 品 ©如在价格为户时，商品k上供过于即三，(P）<0色不对此商品份格行调整。包由于对其地 垃废需求的商品价临进打调整。影响到分母，时价格发生安化，为： (p= E+p 随着E→0的不同取值。得到一个数列{P}。 t+i之m(o,三(p叭 显然.{加}有界(05戊≤1，故有收效子列。不妙没其收效子列为该数列本身，即 以这种方式得到的新的价修向量f(P)=((P),,(p),,(p). {p}→p. .f(p)eS且f:S→S 下证P'多0（反迁法： 假设p20,且p≠0.测在我中有些商品x的价格为零。根茶条件《3，存在装些价 E的作用：保调整后的价格∫(p)多0。 格为零的商品以(P=0)小，当E→0时，{(p）》无上界。对于此类商品，根据步霉3 人p)=e+A+m色，ap) +1ma三)gt*am产ir 有：e+三m色三.(er月小=+m(p》 由于所→心=0，上式等号左边趋近零.面右边为1.矛新.因此P广多0. 根解B不对在定速。存在p使f(包）=p.导对所有的k,存在f气)=成.即 6=+l=6 4.证明z(p)=0 e+1+之a三(e》 对风ac+立m包三(er月e+m包，》子e0求极照，得珠 →所e+空en@三.月小-e++mao》 p空ma0,(p》=0,三e》

5 假设函数 z p  满足下列特征： 1：连续性： 2：齐次性： 3：如果  0 m n p p    ，则对于满足 0 k p   的商品 k ，   m k z  p 无上界。 则：存在向量 * p 0  使得 z p   0 证明： 1、 构造单纯形 记   1,..., P  P Pn 表示各商品的货币价格   1 1 1 1 ,..., ,..., m n n n m m m m P P p p P P                 p 表示相对价格。 由于函数 z p  满足零次齐次性，故     1 1 n m m P                 zP z P zp 因此，寻找使 z P   0 的解，等同于寻找使 z p   0 的解。 相对价格向量的特点： 1 1 n k k p    ，价格向量为单纯形中的点。 但是，应用不动点定理，函数在定义域上必须是连续的，但是，当某些商品的价格为零如图 中的价格向量 2 p 时，该商品的需求为无穷大，呈现不连续的特征。必须把这种情况排除除 去，即设法保证p  0 。 给定一个   0,1 ，保证了p  0 。 商品 1 商品2 商品 3 1  p 2  p 6 对于所有的 k ，令 1 2 k p n    。当商品数量 n  3时， 7 k p   。 单纯形的定义：   1 1 ,..., 1, 1 2 n kk k k S pp p p k n               p  单纯形 S是有界集： 1 1 2 k p n     单纯形 S是闭集： 1 1 2 k p n     单纯形 S 是凸集： 取 1 2 S p ,p   ， 取 t 0,1 ， 令   1 2 1 t pp p   t t 。   1 2 1 t kk k p   tp t p 。   1 2 11 1 1 1 nn n t kk k kk k ptp t p            1 2 1 1 12 12 12 t kk k p tp t p t t n nn           t S   p  单纯形 S非空集： 1   1 2 1 ... , 0,1 12 12 n n p p nnn          ，则 S p  2、 记 z z k k   p p  min ,1     对每一个 k ，设 z z k k   p p  min ,1     ，p  0 。   0 k    p p pzp z 商品 1 商品2 商品 3 1  p 2  p 7  7 构造价格调整函数：           1 max 0, 1 max 0, k k k n m m p z f n z         p p p 价格调整函数的意义在于： a) 如果   0 k z p  ，瓦尔拉斯拍卖人将调高 k 的价格，调整幅度为 zk   p  0,1 ，调整后的价格为 p z k k    p ，再将其调整为相对价格：         1 1 max 0, k k k n m m p z f n z         p p p 。 注意，这里的商品价格为相对价格，调高一种商品的价格等于降低了其他所有商品的价格，包括本来供求 相等的商品的价格。分母起到这一作用。 b) 如果在价格为 k p 时，商品 k 供求相等，即   0 k z p  ，则不对此商品价格进行调整。但由于对其他过 度需求的商品价格进行调整，影响到分母，相对价格发生变化，为：       1 1 max 0, k k n m m p f n z        p p 。 c) 如果在价格为 k p 时，商品 k 上供过于求，即   0 k z p  ，也不对此商品价格进行调整。但由于对其他 过度需求的商品价格进行调整，影响到分母，相对价格发生变化，为：       1 1 max 0, k k n m m p f n z        p p 以这种方式得到的新的价格向量       1 ,..., ,..., k n ff f f pp p p  。 显然， f   S p   且 f : S S     的作用：确保调整后的价格 f   p  0 。            1 1 max 0, 1 1 12 1 max 0, n k k k n m m p z f nn n n z                  p p p  根据 Brouwer 不动点定理，存在  p 使 f     p p  。即对所有的 k ，存在   k k f p p    。即           1 max 0, 1 max 0, k k k k n m m p z f p p n z               p p         1 1 max 0 m , , ax 0 n km k m k pn z z p                   p p 8         1 max 0, max 0, >0 n km k m pn z z                  p p 3、 令  0 ： 随着  0 的不同取值，得到一个数列  p 。 显然，  p 有界（ 0 1 k p   ），故有收敛子列。不妨设其收敛子列为该数列本身，即     p p 。 下证 * p  0 （反证法）： 假设 * p  0，且 * p  0 。则在其中有些商品 k 的价格为零。根据条件（3），存在某些价 格为零的商品 k   * 0 k p   ，当  0 时， zk     p 无上界。对于此类商品，根据步骤 3 有：         1 max 0, max 0, n km k m pn z z                 p p 由于 * 0 k k p p      ，上式等号左边趋近零。而右边为 1。矛盾。因此 * p  0 。 4、 证明    0 * z p 对         1 max 0, max 0, n km k m pn z z               p p 两边关于  0 求极限，得到：         ** * 1 max 0, max 0, n km k m pz z   p p  商品 1 商品2 商品 3 * p  0 2  p 7   p * p  0 * p  0

等号将边源以三(p）,补到： p店(p2ma色三.(e=p)m,(e》 4p色ma三e川-2eaoe》 上试左地年E国公三()m(p》s0 →(p)=mm(.(p)小s0→(p)s0 商p(p)=0,且p*0 →z(p)=0 QED 三交类经济的瓦尔拉斯均衡：效率 9

9 等号两边乘以   * k z p ，得到：             ** * * * 1 max 0, max 0, n kk m k k m pz z z z  p pp p   求和得到：             * * 1 1 * * * max 0, max 0, n n mk k m k zzz          pz p   pp p 上式左边非正，因此       * * 1 max 0, 0 n k k k z z   p p        ** * min ,1 0 0 kk k     zz z pp p 而   * * 0 k p p   z ，且 * p  0   *   z p 0 QED . . 三 交换经济的瓦尔拉斯均衡：效率