一般均衡 二交换经济的瓦尔拉斯均衡：存在性 一帕累托有效的配置（交换经济中） 餐设5.：效用函数在R:上连续、爱递增、严格拟四 经济环境： 消费者集合：1=（化，，） 价格p0、桌碱e给定，箱费者的铜韆东股(.四≤pe 马做尔需求为x(B,p-e) ◆偏好关系：之 定理5.1消费者需求的整本特征 ◆禀赋：t=(,一) 变换经济：c=,)a 如果满足假51，对于每一个价格向量p多0，费者的问题有唯一的解(,P) 另外，(，P-e)在，空间上关于p0上连续. 整个经济中的赢感t-(化，e） 整个经济中的配置：=仁，一)其中.=(，) 注：马景尔需求两数x(RPe）在价格向量p多0上连续，但是在价格向量p>0上不连线. 可而集Fe{他- 定义：超额需求函数 定久5.1：帕累托效率配置： 对可行配置x,如果没有配置yeF()使得对于所有的消费者i,有y之X,且至少对一 -(P）>0:供不应求 个闲费者，有y>,测称配置玉具有帕常托效率。 -(p）=0:供求相等 注：帕累托政善：yeF(e, 三(p)：改善某些人的利 定理52：总过搜需求语数z(p)的特狂： 如果对于每个消费者ie1,满足假设5.l,那么对于所有的p为0，有 Sc/表示消费者集合中的一个联里，相时于配置xeF(e),如果有配置yeF(e),使得： 1.连续性：总过度南求函数在印多0上连续 0 y-e 2齐次性：对于所有的2>0，有x(御)=z(p) (2)对所有的消费者，有yX,且至少有一个偏好关系是严格的 瓦尔拉斯法：pz(p)=0 则说S抵制配置x 证明： 定文53：交换经济的核： 家赋为e的交换经济的核C(:)是所有不受抵制的可行配置的集合。 1.连续性：根据定理玉1，代表性游费者的需求函数x(,P）在p为0上连健，因此， 总市场需求函数在需0上连续，经济中的察赋外生给定，所以总翅额需求函数为连线汤数， 交换均衡点： 2。齐次性：对单个消费者，预算集为Bne)={p-x=pe},这与预算集 (抑，)={【（却）x=(却)e相同，消费者需求不麦，总过度需求不变。 ◆在Edgeworth盒子里面：可行的配置xeF(e) 3.瓦尔拉斯法期：Pz(P)=0 ◆不被抵制：对配置xeF(e),无抵制联型 对代表性消费者，有约束条件p-x(p,pe)=Pe, ◆具有触需托效率：在契约战上 达到交换均衡的前提条件：每个人都知道社会中所有人的偏好关系。 →∑pr(p,pe)=∑pt 费者有-0. →p-∑[x(,p-e)-e]=0 对应于价格向量数列{p},流游费者有需求数列气p°，P):对于所有的m, →p-z(p)=0 ()-m)u.psp 要缸明该消费者的需求数列无上界。《反证法) 假设{(p,P)}有界，则有收微子列。不她假设找本身收效，即当m→面时， 定文55：瓦尔拉斯均衡 如果有z(p)=0,价格向量p为瓦尔拉斯均衡。 x兰x(P,p)→x.由于消费者的效用函数是强递增的，因此.最优时预算约束束装， 即对于所有的m,有px“=p。 定理：Brouwer不动点定理 →lim p".s”=limp°t→可-x'=币t>0 设SCR”是非空集、紧集和凸集。设f:S→S是连续映射，那么在集合S中，存在至少 -个∫的不动点。也是说，存在到少一个xeS,使得x=f() 令i=x+0,0,1,0,0),其中第女项为1.效用硒数微递增，因此有， f()>( (p-i=p-x'=p-e>0 由于效用函数连续，所以存在一个1e(01),使得 2)各种的绝数量格为正心0， (3){P}是R中的价格向量数到，收微于可≠0，且在下中某商品上的价格瓦=0， r()>) 则对于离足元=0的一些商品上，与价格向量数列{p}框对应的超颗需求数列（仰》 可-()) 1.{p}定文在R中，即对于所有的m,有p多0。 p"()0.百安-言心0.所以.多少一位消 定理5.3：瓦尔拉斯均衡存在性 3
1 一般均衡 一 帕累托有效的配置（交换经济中） 经济环境： 消费者集合： 1,...,I n 种商品： 消费者i ： 偏好关系： i 禀赋： 1 ,..., iii n e e e 交换经济： , i i i I e 整个经济中的禀赋： 1 I e= e e ,..., 整个经济中的配置： 1 ,..., I xx x ，其中， 1 ,..., iii n x x x 可行的配置集： i i iI iI Fe x x e 定义 5.1：帕累托效率配置： 对可行配置 x ，如果没有配置 y F e 使得对于所有的消费者i ，有 i i y x ，且至少对一 个消费者，有 i i y x ，则称配置 x 具有帕累托效率。 注：帕累托改善： y e F ， 对于所有的消费者i ，有 i i y x ：不降低任何人福利 且至少对一个消费者而言，有 i i y x ：改善某些人的福利 定义 5.2：Blocking Coalitions（抵制联盟）： S I 表示消费者集合中的一个联盟，相对于配置 x e F ，如果有配置 y e F ，使得： （1） i i iS iS y e （2）对所有的消费者，有 i ii y x ，且至少有一个偏好关系是严格的， 则说 S 抵制配置 x 定义 5.3：交换经济的核： 禀赋为e 的交换经济的核Ce 是所有不受抵制的可行配置的集合。 交换均衡点： 在 Edgeworth 盒子里面：可行的配置x F e 不被抵制：对配置x F e ，无抵制联盟 具有帕累托效率：在契约线上 达到交换均衡的前提条件：每个人都知道社会中所有人的偏好关系。 2 二 交换经济的瓦尔拉斯均衡：存在性 假设 5.1：效用函数 i u 在 n 上连续、强递增、严格拟凹 价格p 0 、禀赋e 给定，消费者的问题为： max , . . i n ii i i u st x x px p e 马歇尔需求为 , i i x pp e 定理 5.1 消费者需求的基本特征 如果 i u 满足假设 5.1，对于每一个价格向量p 0 ，消费者的问题有唯一的解 , i i x pp e 。 另外， , i i x ppe 在 n 空间上关于p 0 上连续。 注：马歇尔需求函数 , i i x ppe 在价格向量p 0 上连续，但是在价格向量p 0 上不连续。 定义：超额需求函数 商品 k 的超额需求函数记为： 1 1 1 , ,..., I I ii i kk k n i i z x ez z p p pe p p 0 k z p ：供不应求 0 k z p ：供求相等 0 k z p ：供过于求 定理 5.2：总过度需求函数 z p 的特征： 如果对于每个消费者iI ， i u 满足假设 5.1，那么对于所有的p 0 ，有 1. 连续性：总过度需求函数在p 0 上连续 2. 齐次性：对于所有的 0 ，有 z p zp 3. 瓦尔拉斯法则：pzp 0 证明： 1、连续性：根据定理 5.1，代表性消费者的需求函数 , i i x ppe 在p 0 上连续，因此， 总市场需求函数在p 0 上连续，经济中的禀赋外生给定，所以总超额需求函数为连续函数。 2 、齐次性：对单个消费者，预算集为 i ii i B p,e x p x p e ，这与预算集 ii i i B p,e x p x p e 相同，消费者需求不变，总过度需求不变。 3、瓦尔拉斯法则：pzp 0 对代表性消费者，有约束条件 iii p x p,p e p e ， 3 0 0 ii i i i i ii i p x p,p e p e p x p,p e e pzp 注：瓦尔拉斯法则并没有说在任何价格水平下，总超额需求为零，而是说，在某些商品上存 在过度需求时，在其他商品上存在过度供给。 定义 5.5：瓦尔拉斯均衡 如果有 * z p 0 ，价格向量 * p 为瓦尔拉斯均衡。 定理：Brouwer 不动点定理 设 n S 是非空集、紧集和凸集。设 f : S S 是连续映射，那么在集合 S 中，存在至少 一个 f 的不动点。也就是说，存在至少一个 * x S ，使得 * * x x f 。 定理 5.4：如果 （1）每个消费者的效用函数都满足假设 5.1， （2）各种禀赋的总数量严格为正， 1 0 I i i e ， （3） m p 是 n 中的价格向量数列，收敛于p 0，且在p 中某商品 k 的价格 0 k p ， 则对于满足 0 k p 的一些商品 k ，与价格向量数列 m p 相对应的超额需求数列 m k z p 无上界。 解释： 1. m p 定义在 n 中，即对于所有的m ，有 0 m p 。 2. 当 m ，p p m ，p 的特征为p 0 且p 0；同时，由于在p 中某些坐标为零， 0 k p ，所以，p 并不严格大于零向量，如， 12 1 1 , ,..., ,0, ,..., kk n p pp p p p 。也就 是说，当 m 时，p p m ， 0 m pk 。 3. p 中为零的坐标，第 k 个坐标，k 可能等于 k ，也可能不等于 k ，对一切等于零的坐标 或商品， 0 k p ，其需求为无穷大。由于当 m 时 m k k p p ，所以， m k p ， 即 m k p 无上界。 证明： 设严格为正的价格数列 m p 收敛于p 0，对于某商品 k ，有 0 k p 。 由于 1 0 I i i e ，且 p 0，所以 I i i=1 p e >0 ， I I i i i=1 i=1 p e p e >0 ，所以，至少一位消 4 费者有 i p e >0。 对应于价格向量数列 m p ，该消费者有需求数列 i m mi x p ,p e ：对于所有的 m ， arg max , . . n i m mi i i i u st x x p ,p e x p x p e 要证明该消费者的需求数列无上界。（反证法） 假设 i m mi x p ,p e 有界，则有收敛子列。不妨假设其本身收敛，即当 m 时， m i m mi * x x p ,p e x 。由于消费者的效用函数是强递增的，因此，最优时预算约束束紧， 即对于所有的 m ，有 m m mi px pe 。 * lim lim 0 m m mi i m m p x p e px pe 令 * x x 0,...,0,1,0,...,0 ，其中第 k 项为 1。效用函数强递增，因此有， * u u x x * 0 i px px pe 由于效用函数连续，所以存在一个t 0,1 ，使得 * ut u x x * t i p x px pe 由于p p m ， m * x x ，所以，在 m 足够大时，有 m ut u x x m m t i p x pe 所以， m x 不是消费者问题在 m p 下的解。 矛盾。因此，如果 p p0 m ，且 0 k p ，则 1 ,..., i m mi m m m n x p ,p e x x x 无上 届。这意味着其全部或部分或至少一个元素无上界。 假设 m k x 无上界。由于对商品 k 的需求 m k x 无上界，而此商品的供给固定，所以其过度 需求数列 m k z p 无上界。 （验证：由于 mi i p e pe ，即收入数列 m i p e 有界。也就意味着 mm i k k p x p e ， 因为 m k x 无上界，所以 0 m k p ，即 lim 0 m k k m p p 。） QED . . 定理 5.3：瓦尔拉斯均衡存在性
函数满足下列特征： 对干所有的k,令月之当商品数量和=3时，A之宁 3:如果{peR}→p≠0，则对于济足元=0的商品k,{e(p）}无上界. 商品3 腾：存在向量p多心使得z(p）=0 证明： 1、构造单纯形 记P±(B,一，P)表示各商品的贷币价格 表示相对价格。 离品2 由于函数p满足零次齐次性，故z(P)= 1p/-:(P) 单纯形的定：及-和=(A一A,店A=A之之n以 此，寻找使z(P)=0的解，等同于寻找使z)=0的解。 相对价格向量的特点：立A=1,价格向量为单纯影中的点。 单纯形S是有界集：中之n5n1 单纯形S。是闭集： linsAsl 商品3 单纯形S是凸集：取peS,取叫，令+-p。戊以甲- 了言=店成+-馆=1 人=城+-小2n-小n →peS 商品 商品2 单纯形S空集：A=-=R=日>十之c@功：则印e8 但是，应用不动点定理，函数在定义城上必须是连续的，但是，当某些商品的价格为零如图 中的价格向量时，流商品的需求为无穷大，呈现不连续的特征。必须把这种情况推除除 2记三(p)兰min(年(p,) 去，即设法保证p多0。 对每一个k,设三(p)=min(民(p以，)，p*0.→p远(p)spzp)=0 始定一个ee(0,),保证了p*0. 构适价格调整通数：么（何)=牛n+ma色，：p 1+空o.o例 →i(e+玄a三p月=s+a(r》vea0 价格博整函最的意文在于： 3.令e→0： 时如果(p）>0.瓦尔拉南始卖人将调高k韵价格，调整侧度为(P）e(0,1】,司整后的价格为 商品3 月+可()小，再特其调整为阳对价修：人(P)=一 +p+(p) +l+ao,三.(pl》 片等格分各花我产一用肉B价等于7他所有食高包本生味 吵如果在伦格为A时。商品k供求相等，甲三(p)=0。则不对此商品的格透行请整。他由于对其他过 p 定苦求的商品价临进打调整。影响到分母，和时价修发生安化。为： f()= E+PL e+l+2max0三.(p》 商品 品 ©如在价格为户时，商品k上供过于即三，(P）<0色不对此商品份格行调整。包由于对其地 垃废需求的商品价临进打调整。影响到分母，时价格发生安化，为： (p= E+p 随着E→0的不同取值。得到一个数列{P}。 t+i之m(o,三(p叭 显然.{加}有界(05戊≤1，故有收效子列。不妙没其收效子列为该数列本身，即 以这种方式得到的新的价修向量f(P)=((P),,(p),,(p). {p}→p. .f(p)eS且f:S→S 下证P'多0（反迁法： 假设p20,且p≠0.测在我中有些商品x的价格为零。根茶条件《3，存在装些价 E的作用：保调整后的价格∫(p)多0。 格为零的商品以(P=0)小，当E→0时，{(p）》无上界。对于此类商品，根据步霉3 人p)=e+A+m色，ap) +1ma三)gt*am产ir 有：e+三m色三.(er月小=+m(p》 由于所→心=0，上式等号左边趋近零.面右边为1.矛新.因此P广多0. 根解B不对在定速。存在p使f(包）=p.导对所有的k,存在f气)=成.即 6=+l=6 4.证明z(p)=0 e+1+之a三(e》 对风ac+立m包三(er月e+m包，》子e0求极照，得珠 →所e+空en@三.月小-e++mao》 p空ma0,(p》=0,三e》
5 假设函数 z p 满足下列特征： 1：连续性： 2：齐次性： 3：如果 0 m n p p ，则对于满足 0 k p 的商品 k ， m k z p 无上界。 则：存在向量 * p 0 使得 z p 0 证明： 1、 构造单纯形 记 1,..., P P Pn 表示各商品的货币价格 1 1 1 1 ,..., ,..., m n n n m m m m P P p p P P p 表示相对价格。 由于函数 z p 满足零次齐次性，故 1 1 n m m P zP z P zp 因此，寻找使 z P 0 的解，等同于寻找使 z p 0 的解。 相对价格向量的特点： 1 1 n k k p ，价格向量为单纯形中的点。 但是，应用不动点定理，函数在定义域上必须是连续的，但是，当某些商品的价格为零如图 中的价格向量 2 p 时，该商品的需求为无穷大，呈现不连续的特征。必须把这种情况排除除 去，即设法保证p 0 。 给定一个 0,1 ，保证了p 0 。 商品 1 商品2 商品 3 1 p 2 p 6 对于所有的 k ，令 1 2 k p n 。当商品数量 n 3时， 7 k p 。 单纯形的定义： 1 1 ,..., 1, 1 2 n kk k k S pp p p k n p 单纯形 S是有界集： 1 1 2 k p n 单纯形 S是闭集： 1 1 2 k p n 单纯形 S 是凸集： 取 1 2 S p ,p ， 取 t 0,1 ， 令 1 2 1 t pp p t t 。 1 2 1 t kk k p tp t p 。 1 2 11 1 1 1 nn n t kk k kk k ptp t p 1 2 1 1 12 12 12 t kk k p tp t p t t n nn t S p 单纯形 S非空集： 1 1 2 1 ... , 0,1 12 12 n n p p nnn ，则 S p 2、 记 z z k k p p min ,1 对每一个 k ，设 z z k k p p min ,1 ，p 0 。 0 k p p pzp z 商品 1 商品2 商品 3 1 p 2 p 7 7 构造价格调整函数： 1 max 0, 1 max 0, k k k n m m p z f n z p p p 价格调整函数的意义在于： a) 如果 0 k z p ，瓦尔拉斯拍卖人将调高 k 的价格，调整幅度为 zk p 0,1 ，调整后的价格为 p z k k p ，再将其调整为相对价格： 1 1 max 0, k k k n m m p z f n z p p p 。 注意，这里的商品价格为相对价格，调高一种商品的价格等于降低了其他所有商品的价格，包括本来供求 相等的商品的价格。分母起到这一作用。 b) 如果在价格为 k p 时，商品 k 供求相等，即 0 k z p ，则不对此商品价格进行调整。但由于对其他过 度需求的商品价格进行调整，影响到分母，相对价格发生变化，为： 1 1 max 0, k k n m m p f n z p p 。 c) 如果在价格为 k p 时，商品 k 上供过于求，即 0 k z p ，也不对此商品价格进行调整。但由于对其他 过度需求的商品价格进行调整，影响到分母，相对价格发生变化，为： 1 1 max 0, k k n m m p f n z p p 以这种方式得到的新的价格向量 1 ,..., ,..., k n ff f f pp p p 。 显然， f S p 且 f : S S 的作用：确保调整后的价格 f p 0 。 1 1 max 0, 1 1 12 1 max 0, n k k k n m m p z f nn n n z p p p 根据 Brouwer 不动点定理，存在 p 使 f p p 。即对所有的 k ，存在 k k f p p 。即 1 max 0, 1 max 0, k k k k n m m p z f p p n z p p 1 1 max 0 m , , ax 0 n km k m k pn z z p p p 8 1 max 0, max 0, >0 n km k m pn z z p p 3、 令 0 ： 随着 0 的不同取值，得到一个数列 p 。 显然， p 有界（ 0 1 k p ），故有收敛子列。不妨设其收敛子列为该数列本身，即 p p 。 下证 * p 0 （反证法）： 假设 * p 0，且 * p 0 。则在其中有些商品 k 的价格为零。根据条件（3），存在某些价 格为零的商品 k * 0 k p ，当 0 时， zk p 无上界。对于此类商品，根据步骤 3 有： 1 max 0, max 0, n km k m pn z z p p 由于 * 0 k k p p ，上式等号左边趋近零。而右边为 1。矛盾。因此 * p 0 。 4、 证明 0 * z p 对 1 max 0, max 0, n km k m pn z z p p 两边关于 0 求极限，得到： ** * 1 max 0, max 0, n km k m pz z p p 商品 1 商品2 商品 3 * p 0 2 p 7 p * p 0 * p 0
等号将边源以三(p）,补到： p店(p2ma色三.(e=p)m,(e》 4p色ma三e川-2eaoe》 上试左地年E国公三()m(p》s0 →(p)=mm(.(p)小s0→(p)s0 商p(p)=0,且p*0 →z(p)=0 QED 三交类经济的瓦尔拉斯均衡：效率 9
9 等号两边乘以 * k z p ，得到： ** * * * 1 max 0, max 0, n kk m k k m pz z z z p pp p 求和得到： * * 1 1 * * * max 0, max 0, n n mk k m k zzz pz p pp p 上式左边非正，因此 * * 1 max 0, 0 n k k k z z p p ** * min ,1 0 0 kk k zz z pp p 而 * * 0 k p p z ，且 * p 0 * z p 0 QED . . 三 交换经济的瓦尔拉斯均衡：效率
