第一章静电场 导吉 相对于现察者静止且量值不随时间变化的电荷所产生的电场，称为静电场 本章首先介绍静电场中最主要的场量一电场强度E和标量电位。从库仑 定律出发，在分析真空中静电场的基础上，分别讨论导体和电介质对电场的影 响。电介质的影响可归结为板化后出现的极化电荷所产生的影响，从而引入电 毅化强度失量P。在研究电场强度失量闭合面积分的基础上，引入电通[量]密 度（又称电位移）D,并导得高斯定律(D·S=q小，它与静电场无旋特性 (付B·山=0）一起，构成特电场的积分形式的落本方程。 应用积分形式的基本方程，导得不同媒质分界面上的衔接条件。应用微分 形式的基本方程(D=P和7×E=0),导出电位p满足的泊松方程(2e= 在讨论静电场问题解答唯一性的基础上，先介绍三种直接解法一直接积 分法、分离变量法和有很差分法，然后介绍两种重要的特殊解法一镜像法和 电轴 本章将电客概念推广于多导体系统，引入部分电客。从场的角度，讨论了 静电能量的计算和静电能量的分布，引入静电能量密度。最后，重点讨论应用 虚位移法求电场力，并介绍关于电场力的法拉弟观点。 一静电场中的导体和电介质 1静电场中的导体 导体的特点是其中有大量的自由电子，因此导体为自由电荷可以在其中自由运动的物质。当将导体 入外电场中以后，其自由电荷将会在导体中移动，煤来的静电平衡状态被破坏。自由电荷的移动将使其积 紧在导体表面，并建立附加电场，直至其表面电荷（这些电荷也称为感应电荷）建立的附加电场与外加电场 在导体内部处处相抵消为止，这样才达到一种新的静电平衡状态，这时，将出现下列现象：第一，导体内 的电场为零，E=0。不然的话，导体内的自由电荷将受到电场力的作用而移动，就不属静电避的范围 第二，静电场中导体必为一等位体，导体表面必为等位面，因为导体中E了90.第三，导体表面上 的E必定垂直于表面。第四，导体如带电，则电荷只能分布于其表面。总之，静电场中导体的特点是：在 导体表面形成一定的面积电荷分布，使导体内的电场为零，每个导体都成为等位体，其表面为等位面。 2静电场中的电介质 与导体不同，电介质的特点是其中的电子被原子核所束缚而不能自由运动，称为束缚电荷。但在外加 电场的作用下，电介质分子中的正负电荷可以有微小的移动，但不能离开分子的范围，其作用中心不再重
第一章 静电场 导 言 一 静电场中的导体和电介质 1 静电场中的导体 导体的特点是其中有大量的自由电子，因此导体为自由电荷可以在其中自由运动的物质。当将导体引 入外电场中以后，其自由电荷将会在导体中移动，原来的静电平衡状态被破坏。自由电荷的移动将使其积 累在导体表面，并建立附加电场，直至其表面电荷(这些电荷也称为感应电荷)建立的附加电场与外加电场 在导体内部处处相抵消为止，这样才达到一种新的静电平衡状态。这时，将出现下列现象：第一，导体内 的电场为零，E＝0。不然的话，导体内的自由电荷将受到电场力的作用而移动，就不属静电问题的范围。 第二，静电场中导体必为一等位体，导体表面必为等位面，因为导体中 。第三，导体表面上 的 E 必定垂直于表面。第四，导体如带电，则电荷只能分布于其表面。总之，静电场中导体的特点是：在 导体表面形成一定的面积电荷分布，使导体内的电场为零，每个导体都成为等位体，其表面为等位面。 2 静电场中的电介质 与导体不同，电介质的特点是其中的电子被原子核所束缚而不能自由运动，称为束缚电荷。但在外加 电场的作用下，电介质分子中的正负电荷可以有微小的移动，但不能离开分子的范围，其作用中心不再重
合，形成一个个小的电偶极子，如图1所示，这种现象称为介质极化。极化的结果，使在电介质内部出现 连续的电偶极子分布。这些电偶极子形成附加电场，从而引起原来电场分布的变化。极化的电介质可视为 体分有的电偶极子，因此引起的附加电场可视为这些电偶极子的电场的叠加。 -q'+g ©©©© EDEDED ©©©⊙ SOOO -E。 ()极化前的介质分子 b)极化后形成电偶极了 图1 电介质的极化 整个极化电介所产生的电位为)点PV 上式应对电介质所在的体积进行积分，它可以写成 )iavf 也就是说，由极化电介质所产生的电位，等于电荷面密度为即的而积电荷与电荷体密度为P的体积电 荷共同产生的电位，即印=P·=一·P把卯称为电介质表面上的极化面积电荷的面密度，P称为 电介质内的极化电荷体密度。这两部分极化电荷的总和，一，-PPV+手，P:S 应等于零，符合电荷守恒理。P称为电介质的电极化强度，单位为Cm(库/米)。它从宏观上定量地 描述了电介质极化的程度，是极化后形成的每单位体积内的电偶极矩。实验表明，在各向同性的线性电 质中，电极化强度P与电场强度E成正比，即=E,X称为电介质的电极化率。 综上所述，电介质对电场的影响，可归结为极化后极化电荷或电偶极子在真空中所产生的作用。 二高斯定律 在无限大直空静电场中的任意闭合曲面$上，电场丞度正的面积分等于曲面内的总电荷 ?=dV的倍是s限定的体积)，而与曲面外电荷无关。其数学表示式为 f,E:ds=号=Jpdv 称之为真空中静电场的高斯定律。当有电介质存在时，电场可看成是由白由电荷和极化电荷共同在真空中 引起的，真空中静电场的高斯定律仍适用，只是总电荷不仅包括自由电荷9，而且包括极化电荷，即
合，形成一个个小的电偶极子，如图 1 所示，这种现象称为介质极化。极化的结果，使在电介质内部出现 连续的电偶极子分布。这些电偶极子形成附加电场，从而引起原来电场分布的变化。极化的电介质可视为 体分布的电偶极子，因此引起的附加电场可视为这些电偶极子的电场的叠加。 整个极化电介所产生的电位为 上式应对电介质所在的体积进行积分。它可以写成 也就是说，由极化电介质所产生的电位，等于电荷面密度为 的面积电荷与电荷体密度为 的体积电 荷共同产生的电位，即 把 称为电介质表面上的极化面积电荷的面密度， 称为 电介质内的极化电荷体密度。这两部分极化电荷的总和 应等于零，符合电荷守恒原理。P 称为电介质的电极化强度，单位为 。它从宏观上定量地 描述了电介质极化的程度，是极化后形成的每单位体积内的电偶极矩。实验表明，在各向同性的线性电介 质中，电极化强度 P 与电场强度 E 成正比，即 ，X 称为电介质的电极化率。 综上所述，电介质对电场的影响，可归结为极化后极化电荷或电偶极子在真空中所产生的作用。 二 高斯定律 在无限大真空静电场中的任意闭合曲面 S 上，电场强度正的面积分等于曲面内的总电荷 倍(y 是 S 限定的体积)，而与曲面外电荷无关。其数学表示式为 称之为真空中静电场的高斯定律。当有电介质存在时，电场可看成是由自由电荷和极化电荷共同在真空中 引起的，真空中静电场的高斯定律仍适用，只是总电荷不仅包括自由电荷 q，而且包括极化电荷 qp， 即
fav 式中q与分别为闭合面S内的总自由电荷和总极化电荷。为简化上面的方程，引入一新的物理量，令 D=oE+P (1-36 称D为电通量]密度，也称电位移，于是，得 手.D·ds=dV (1-37) 这是一般形式的高斯定律。它指出不管在真空中还是在电介质中，任意闭曲面S上电通密度D的面积分， 等于该曲面内的总自由电荷，而与一切极化电荷及曲面外的自由电荷无关.可以看到，引入D后，在方程 的右端只出现自由电荷，因为由极化而产生的极化电荷的效果已包括在P中，所以也就包括在D中了，这 样大大有利于电介质中电场的分析和计算。应用高斯散度定理于(1一37)式，则得 V.D=P 这是高斯定律的微分形式。它表明静电场中任一点上电通密度D的散度等于该点的自由电荷体密度。(1一3 6式称为电介质的构成方程.对于各向同性的电介质，将一3)式代入，得D=E+P=o(1+X)E, 引入=(1+X)0·0,则D=E=,E此式称为各向同性电介质的构成方程。E称为电介质的 介电常数而￡，=€/0称为相对介电常数，无量纲。 高斯定律反映了静电场的一个基本性质。在场的分布具有某种对称性（常见的有面对称、柱对称和球对 称)情况下，应用它来求解电场是很直接的， 三静电场基本方程 以下两组基本方程 fD.ds =edv (1-41) ∮，E·dl=0 (1-42)
式中 q 与 qp 分别为闭合面 S 内的总自由电荷和总极化电荷。为简化上面的方程，引入一新的物理量，令 （1－36） 称 D 为电通[量]密度，也称电位移，于是，得 （1－37） 这是一般形式的高斯定律。它指出不管在真空中还是在电介质中，任意闭曲面 S 上电通密度 D 的面积分， 等于该曲面内的总自由电荷，而与一切极化电荷及曲面外的自由电荷无关。可以看到，引入 D 后，在方程 的右端只出现自由电荷，因为由极化而产生的极化电荷的效果已包括在 P 中，所以也就包括在 D 中了，这 样大大有利于电介质中电场的分析和计算。应用高斯散度定理于(1—37)式，则得 这是高斯定律的微分形式。它表明静电场中任一点上电通密度 D 的散度等于该点的自由电荷体密度。(1—3 6)式称为电介质的构成方程。对于各向同性的电介质，将(1—33)式代入，得 ， 引入 则 此式称为各向同性电介质的构成方程。 称为电介质的 介电常数而 称为相对介电常数，无量纲。 高斯定律反映了静电场的一个基本性质。在场的分布具有某种对称性(常见的有面对称、柱对称和球对 称)情况下，应用它来求解电场是很直接的。 三 静电场基本方程 以下两组基本方程 （1－41） （1－42）
和 t·D=p (1-43) VX E=0 (1-44) 微分形式的静电场基本方程， 高斯定律的积分形式说明，电通I量]密度D的闭合面积分等于面内所包围的总自由电荷，它表征静电 场的一个基本性质。静电场的环路特性(1一42)说明电场强度正的环路线积分恒等于零，即静电场是一个 守恒场。高斯定律的微分形式式表明，静电场是有散场：(1一4)式是静电场环路特性的微分形式，它表 明静电场是无旋场。从物理概念上来说，积分形式描述的是每一条回路和每一个闭合面上场量的整体情况 微分形式则描述了各点及其邻域的场量情况，也即反映了从一点到另一点场量的变化，从而可以更深刻更 精细地了解场的分布。从数学角度来说，微分形式便于进行分析和计算。 四分界面上的衡接条件 在静电场中，空间往往分区域分布着两种或多种媒质（导体和电介质）。对于两种互相密接的媒质，分 界面两侧的静电场之间存在着一定关系，称为静电场中不同媒质分界面上的衔接条件，它反映了从一种媒 质过泼到另一种煤质时分界面上电场的变化规律。 由于分界面两侧的物性发生突变，经过分界面时，场量也可能随之突变 Di.-Di.= 其中O是分界面上分布的自由电荷面密度， 6器-器=。 (1-50) 对于导体与电介质的分界面，衔接条件也可以用电位函数表示成 =段=常数 (1-51) 0=-6:器 (1-52） 式中，第一种媒质为导体，n为法线方向，且由导体指向电介质 五电杨边值问题
和 （1－43） （1－44） 微分形式的静电场基本方程。 高斯定律的积分形式说明，电通[量]密度 D 的闭合面积分等于面内所包围的总自由电荷，它表征静电 场的一个基本性质。静电场的环路特性（1－42）说明电场强度正的环路线积分恒等于零，即静电场是一个 守恒场。高斯定律的微分形式式表明，静电场是有散场；（1－44）式是静电场环路特性的微分形式，它表 明静电场是无旋场。从物理概念上来说，积分形式描述的是每一条回路和每一个闭合面上场量的整体情况； 微分形式则描述了各点及其邻域的场量情况，也即反映了从一点到另一点场量的变化，从而可以更深刻更 精细地了解场的分布。从数学角度来说，微分形式便于进行分析和计算。 四 分界面上的衔接条件 在静电场中，空间往往分区域分布着两种或多种媒质(导体和电介质)。对于两种互相密接的媒质，分 界面两侧的静电场之间存在着一定关系，称为静电场中不同媒质分界面上的衔接条件。它反映了从一种媒 质过渡到另一种媒质时分界面上电场的变化规律。 由于分界面两侧的物性发生突变，经过分界面时，场量也可能随之突变， 其中 是分界面上分布的自由电荷面密度。 （1－50） 对于导体与电介质的分界面，衔接条件也可以用电位函数表示成 （1－51） （1－52） 式中，第一种媒质为导体，n 为法线方向，且由导体指向电介质。 五 电场边值问题
基于库仑定律与叠加原理的叠加积分或高斯定律计算电场的方法，只能适用于已知的电荷布十分简单 的问题。实际上在电工中经常话到的是这样一类问瑟：给定空间某一区域内的电荷分布（可以是零，同时 给定该区域边界上的电位或电场（即边值，或称边界条件），在这种条件下求解该区域内的电位函数或电场 强度分布。 1泊松方程和拉普拉斯方程 在高斯定律，D=P中，代入D=eE和E=-PF的关系，可得P·e(-P)=P 对于均匀电介质，€为常数，则得 g=-p心 (1-53) 这就是电位甲的泊松方程。在自由电荷体密度P=U的区域内，(1一53)式变为 华0 (1-54) 这就是电位甲的拉普拉斯方程。泊松方程和拉普拉断方程表达了场中各点电位的空间变化与该点自由电荷 体密度之问的普遍关系是电位函数应当满足的微分方程。所有静电场问题的求解都可归结为在一定条件 下寻求泊松方程或拉普拉斯方程的解的过程。 2静电场边值问避 寻求泊松方程或拉普拉斯方程的解答是一个积分过程，在所得的通解中，必然出现一些未确定的常数 这说明只由泊松方程或拉普拉斯方程不能唯一地确定静电场的解，还必须利用静电场的边界条件及电位的 性质来确定通解中的常数。也就是说，静电问趣变为求满足给定边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解 的问恶，称之为静电场的边值问题。 在场域的边界面S上给定边界条件的方式有以下几种类型： (1)己知场域边界面S上各点的电位值，即给定： 9s=1() (1-55) 称为第一类边界条件。这类问题称为第一类边值问题， (2)已知场城边界而S上各点的电位法向导数值，即给定
基于库仑定律与叠加原理的叠加积分或高斯定律计算电场的方法，只能适用于已知的电荷布十分简单 的问题。实际上在电工中经常遇到的是这样一类问题：给定空间某一区域内的电荷分布(可以是零)，同时 给定该区域边界上的电位或电场(即边值，或称边界条件)，在这种条件下求解该区域内的电位函数或电场 强度分布。 1 泊松方程和拉普拉斯方程 在高斯定律 中，代入 和 的关系，可得 对于均匀电介质， 为常数，则得 （1－53） 这就是电位甲的泊松方程。在自由电荷体密度 的区域内，（1－53）式变为 （1－54） 这就是电位甲的拉普拉斯方程。泊松方程和拉普拉斯方程表达了场中各点电位的空间变化与该点自由电荷 体密度之间的普遍关系，是电位函数应当满足的微分方程。所有静电场问题的求解都可归结为在一定条件 下寻求泊松方程或拉普拉斯方程的解的过程。 2 静电场边值问题 寻求泊松方程或拉普拉斯方程的解答是一个积分过程，在所得的通解中，必然出现一些未确定的常数， 这说明只由泊松方程或拉普拉斯方程不能唯一地确定静电场的解，还必须利用静电场的边界条件及电位的 性质来确定通解中的常数。也就是说，静电问题变为求满足给定边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解 的问题，称之为静电场的边值问题。 在场域的边界面 S 上给定边界条件的方式有以下几种类型： （1）已知场域边界面 S 上各点的电位值，即给定： （1－55） 称为第一类边界条件。这类问题称为第一类边值问题。 （2）已知场域边界面 S 上各点的电位法向导数值，即给定：
别=6a (1-56) 称为第二类边界条件，这类问题称为第二类边值问愿。 (3)已知场域边界面S上各点电位和电位法向导数的线性组合的值，即给定： (+l=6 (1-57) 称为第三类边界条件。这类问题称为第三类边值问愿。 因此，静电场边值问题就是在给定第一类、第二类或第三类边界条件下，求电位函数甲的泊松方程或 拉普拉斯方程定解的问愿。 如果场域仲展到无限远处，则必须提出所谓无限远处的边界条件。对于电荷分布在有限区域的情况， 则在无限远处电位为有限值，即 m9=有限值 (1-58) 称为自然边界条件。 另外，当边值问题所定义的整个场域中电介质并不是完全均匀的，但能分成几个均匀的电介质子区域 时，按各电介质子区域分别写出泊松方程或拉普拉斯方程。作为定解条件，还必领相应地引入不同煤质分 界面上的衔接条件。 大唯一性定理 静电场的唯一性定理表明，凡满足下述条件的电位函数9，是给定静电场的唯一解： (1)在场域V中满足电位微分方程？■-p(或单■0。对于分区均匀的场域V,应满足每个 分区场域中的方程： (2)在不同介质的分界面上，符合分界面上的衔接条件： (3)在场域边界面S上，满足给定的边界条件。上列各项可简述为： 在静电场中凡满足电位微分方程和给定边界条件的解9，是给定静电场的唯一解，称为静电场的唯一 性定理
（1－56） 称为第二类边界条件。这类问题称为第二类边值问题。 （3）已知场域边界面 S 上各点电位和电位法向导数的线性组合的值，即给定： （1－57） 称为第三类边界条件。这类问题称为第三类边值问题。 因此，静电场边值问题就是在给定第一类、第二类或第三类边界条件下，求电位函数甲的泊松方程或 拉普拉斯方程定解的问题。 如果场域伸展到无限远处，则必须提出所谓无限远处的边界条件。对于电荷分布在有限区域的情况， 则在无限远处电位为有限值，即 （1－58） 称为自然边界条件。 另外，当边值问题所定义的整个场域中电介质并不是完全均匀的，但能分成几个均匀的电介质子区域 时，按各电介质子区域分别写出泊松方程或拉普拉斯方程。作为定解条件，还必须相应地引入不同媒质分 界面上的衔接条件 。 六 唯一性定理 静电场的唯一性定理表明，凡满足下述条件的电位函数 ，是给定静电场的唯一解： （1）在场域 V 中满足电位微分方程 。对于分区均匀的场域 V，应满足每个 分区场域中的方程； （2）在不同介质的分界面上，符合分界面上的衔接条件； （3）在场域边界面 S 上，满足给定的边界条件。上列各项可简述为： 在静电场中凡满足电位微分方程和给定边界条件的解 ，是给定静电场的唯一解，称为静电场的唯一 性定理
唯一性定理对求静电问题的解具有十分重要的意义，它指出了静电场具有唯一解的充要条件，且可用 来判定得到的解的正确性。据此，可以尝试任何一种能找到的最方便的方法求解某一问题，只要这个解满 足所有给定条件，那么这个解就是正确的，任何另一种方法求得的同一问题的解必然是与它完全相同的。 针对不同情况，人们已找到了多种求解静电问题的方法，如镜像法和电轴法、分离变量法等。 七分离变量法 当场域的边界面能与某正交坐标系的坐标面相重合时，分离变量法将是一种有效的求解方法。它也是 解边值问题的一种最基本和最经典的方法。 分高变量法的基本思想是：把电位函数用两个或三个仅含一个坐标变量的函数的乘积表示，代人偏 微分方程后，借助“分离”常数使原来的偏微分方程转化为几个常微分方程，然后分别求解这些常微分方程 并以给定的边界条件确定其中待定常数和函数，最终得到电位函数解。所得的解往往具有傅里叶级数形式， 因此又称傅里叶法。 1直角坐标系的分离变量法 +g=0 (1-60) 首先，给出分离变量形式的试探解即假设解答为 X (x)Y (y) ↓=-影 (1-62) 等-kx=0和影+y=0 (1-63 这样就把二维的拉普拉斯方程分离成两个常微分方程。k。称为分离常数。 当女。一0时 上面两个常微分方程的解分别为 而当 解分别为+B。和 Y (y)Coy Do 合也将是它的解 空数所有可能值的解的线性 61)式得到电位函数的一解是 (x.y)=(Aox+Bo)(Coy+Do) >(A.+B.sht(C. k+D k。y)(1-64 (.y)-(Aoz+Be)(Cox+Do) +B.sin )(C.chko D.sht.y 究如何选取分离常数，要由给定同题的具体边界条件情况而定。各待定的需
唯一性定理对求静电问题的解具有十分重要的意义，它指出了静电场具有唯一解的充要条件，且可用 来判定得到的解的正确性。据此，可以尝试任何一种能找到的最方便的方法求解某一问题，只要这个解满 足所有给定条件，那么这个解就是正确的，任何另一种方法求得的同一问题的解必然是与它完全相同的。 针对不同情况，人们已找到了多种求解静电问题的方法，如镜像法和电轴法、分离变量法等。 七 分离变量法 当场域的边界面能与某正交坐标系的坐标面相重合时，分离变量法将是一种有效的求解方法。它也是 解边值问题的一种最基本和最经典的方法。 分离变量法的基本思想是：把电位函数 用两个或三个仅含一个坐标变量的函数的乘积表示，代人偏 微分方程后，借助“分离”常数使原来的偏微分方程转化为几个常微分方程，然后分别求解这些常微分方程 并以给定的边界条件确定其中待定常数和函数，最终得到电位函数解。所得的解往往具有傅里叶级数形式， 因此又称傅里叶法。 1 直角坐标系的分离变量法
数An、Bm、Cn,和Dn,也按照给定的边界条件确定，即可获得唯一的答案。 2圆柱坐标系中的分离变量法 这里，仅介 行平面场。的拉 标系中。电位函数沿：方向没有变化时的二维平 e)=品(e}=0 只器+发都-a最- 或 船+Ps-2R=0 f8+n2Q=0 当 0时，Ro(p）=Aohe 一子是电达如时的兔积兔如组吸拉拉新方愿的报：的 +D.sin n (p.)=(Aolne+Bo)(Co+Do) +(Ao+Be-")(C.cos n+D.sin n) 上式中各常数由具体问题的给定边界条件确定 综上所述，分离变量法的具体步骤为： (1)按给定场域的形状选择适当的坐标系，使场域的边界而能与坐标面相吻合，并写出静电场边值问 题在该坐标系中的表达式。 (2)将偏微分方程通过“分离”变量转化为常微分方程。 (3)解各常微分方程并组成拉普拉斯方程的通解。通解含有分离”常数和特定常数。 (4)由边界条件确定“分离”常数和待定常数，得到问愿的唯一确定解 八有限楚分法 求解静电场边值问避，当场域边界的几何形状比较简单时，其解可以用分离变量法求得。但当边界形 状比较复杂时，一般只能求出近似解， 有限差分法的基本思想是：把场域用网格进行分割，再把拉普拉斯方程用以各网格节点处的电位作为 未知数的差分方程式来进行代换，将求拉普拉斯方程解的问题变为求联立差分方程组的解的问避
数 An 、Bn、Cn，和 Dn，也按照给定的边界条件确定，即可获得唯一的答案。 2 圆柱坐标系中的分离变量法 综上所述，分离变量法的具体步骤为： （1）按给定场域的形状选择适当的坐标系，使场域的边界面能与坐标面相吻合，并写出静电场边值问 题在该坐标系中的表达式。 （2）将偏微分方程通过“分离”变量转化为常微分方程。 （3）解各常微分方程并组成拉普拉斯方程的通解。通解含有“分离”常数和待定常数。 （4）由边界条件确定“分离”常数和待定常数，得到问题的唯一确定解。 八 有限差分法 求解静电场边值问题，当场域边界的几何形状比较简单时，其解可以用分离变量法求得。但当边界形 状比较复杂时，一般只能求出近似解。 有限差分法的基本思想是：把场域用网格进行分割，再把拉普拉斯方程用以各网格节点处的电位作为 未知数的差分方程式来进行代换，将求拉普拉斯方程解的问题变为求联立差分方程组的解的问题
1差分格式 如图1一22所示，在一由边界L界定的二维区域D内，电位函数甲满足拉普拉斯方程且给定第一类边 界条件。 图1-2有限差分的网格分制 即有如下的静电场边值问恶 停·多0州 1-68) (1-69) 应用有限差分法，首先要确定网格节点的分布方式。为简单起见，在图1一22中，用分别与X、y轴平 行的两组直线（网格线）把场域D划分成足够多的正方形网格，网格线的交点称为节点，两相邻平行网格线 间的距离称为步距。划分好网格后，需把拉普拉斯方程离散化。为此，将偏导数以有限差商表示。得通 过差分离散后二维拉普拉斯方程的有限差分近似表达式为 +2+彩+-40=0 (1-72) 称之为拉普拉斯方程的差分格式，或差分方程。这一关系式对区域内的每一节点都成立。也就是说，对于 场域内的每一个节点，都可以列出一个（一2）式形式的差分方程。但是，对于紧邻边界的节点，其边界不 一定正好落在正方形网格的节点上，而可能如图1一23所示
1 差分格式 如图 1—22 所示，在一由边界 L 界定的二维区域 D 内，电位函数甲满足拉普拉斯方程且给定第一类边 界条件， 即有如下的静电场边值问题 （1－68） （1－69） 应用有限差分法，首先要确定网格节点的分布方式。为简单起见，在图 1—22 中，用分别与 x、y 轴平 行的两组直线(网格线)把场域 D 划分成足够多的正方形网格，网格线的交点称为节点，两相邻平行网格线 间的距离称为步距 h。划分好网格后，需把拉普拉斯方程离散化。为此，将偏导数以有限差商表示。得通 过差分离散后二维拉普拉斯方程的有限差分近似表达式为 （1－72） 称之为拉普拉斯方程的差分格式，或差分方程。这一关系式对区域内的每一节点都成立。也就是说，对于 场域内的每一个节点，都可以列出一个(1—72)式形式的差分方程。但是，对于紧邻边界的节点，其边界不 一定正好落在正方形网格的节点上，而可能如图 1—23 所示
其中1,2为边界线上的节点，P、9为小于1的正数，仿上所述，可推得对这些节点的拉普拉斯方程的差 分格式为 p+p+g0g。+。-+=0 (1-73) 式中1和：分别是给定边界条件函数1)在对应边界点处的值，是已知的， 由上述知，在场域D内的每一个节点都有一个差分方程，通过这些方程把各个内节点的电位以及边界 上的节点电位联系起来。只要解这个联立方程组，便可求得各个节点的电位值。 代法 代初 ”=(9+0渭+9州+）=1,2，. 1-74 反复选代(k=0,L,)。必须注意，在选代过程中遇到边界点时，需用(1一69) 式中的边界条件角=代入，代一直进行到对所有内节点满足条件 1-91<W 1-75) 2差分方程组的解为止，其中W是预定的最大允许误差。 在高斯一塞德尔达代中，网格节点一般按“自然顺序排列，即先“从左到右”，再“从下到上“的顺序排 列，如图(1一24)所示。迭代也是按自然顺序进行
其中 1，2 为边界线上的节点，p、q 为小于 1 的正数，仿上所述，可推得对这些节点的拉普拉斯方程的差 分格式为 （1－73） 式中 和 ：分别是给定边界条件函数 f／(s)在对应边界点处的值，是已知的。 由上述知，在场域 D 内的每一个节点都有一个差分方程，通过这些方程把各个内节点的电位以及边界 上的节点电位联系起来。只要解这个联立方程组，便可求得各个节点的电位值。 2 差分方程组的解 在高斯一塞德尔迭代中，网格节点一般按“自然顺序”排列，即先“从左到右”，再“从下到上”的顺序排 列，如图(1—24)所示。迭代也是按自然顺序进行