第八章波导与谐振腔 导吉 前面两章分别讨时论了电磁波在无界空间中和双导线上的传播特性。本章将要讨论电磁波在 有界空间中的传播一在波导中的传播。波导是用来引导电磁波在有限空间中传播，使它不 至于扩散到漫无边际的空间中去的结构的总称。前一章中介绍的二导线传输线就是一种波导。 波导还可以作成导体管或介质板（杆）等形状。最常用的波导是一段空心金属管子，内壁常铵 以银。常见的有横截面为矩形和圆形的管子，分别称为矩形波导或圆波导，如图8一1所示。 波导管的金属管壁能把电磁波限制在管中，使其在管内且沿着管的轴线方向传播。它是一种 微波传输具。 本章首先讨论电磁波沿均匀波导传插的一般特性。然后，重点讨论两种常见的奥型波导 —矩形波导和介质板波导，得出其中的电场和磁场表达式。进而分析电磁波的传播模式及 截止颊率。最后介绍诺振腔，讨论场在矩形谐振腔内的不同模式。 介质板传输线 矩形波导 介质 介质杆传输线 精波导 脊波导 图8-1几种波导示意图 一导行电磁波的分类 1导行电磁波的分类 为了数学上力求简单，把坐标的2轴选作波导的轴线方向， 这样波导的横截面就是xoy平面，如图
第八章 波导与谐振腔 导 言 前面两章分别讨论了电磁波在无界空间中和双导线上的传播特性。本章将要讨论电磁波在 有界空间中的传播——在波导中的传播。波导是用来引导电磁波在有限空间中传播，使它不 至于扩散到漫无边际的空间中去的结构的总称。前一章中介绍的二导线传输线就是一种波导。 波导还可以作成导体管或介质板(杆)等形状。最常用的波导是一段空心金属管子，内壁常镀 以银。常见的有横截面为矩形和圆形的管子，分别称为矩形波导或圆波导，如图 8—1 所示。 波导管的金属管壁能把电磁波限制在管中，使其在管内且沿着管的轴线方向传播。它是一种 微波传输具。 本章首先讨论电磁波沿均匀波导传播的一般特性。然后，重点讨论两种常见的典型波导 ——矩形波导和介质板波导，得出其中的电场和磁场表达式。进而分析电磁波的传播模式及 截止频率。最后介绍谐振腔，讨论场在矩形谐振腔内的不同模式。 一 导行电磁波的分类 1 导行电磁波的分类 为了数学上力求简单，把坐标的 z 轴选作波导的轴线方向，这样波导的横截面就是 xoy 平面，如图
8一2所示，同时做以下假设： 介质 介质板传榆线 矩形被 圆波导 介质 介质杆传输线 桶圆波导 脊波导 图8一1几种被导示意图 图8一2任意截而的均匀波导 ()波导的横截面形状和煤质特性沿轴线z不变化，即具有轴向均匀性。 (②)金属波导为理想导体，即Y=©·波导内填充均匀、线性、各向同性的理想介质。 (3)波导内没有激励源存在，即p=0和J=0。 (④)电磁波沿z轴传播，且场随时问作正弦变化。 在以上假设下，电磁场的电场分量和磁场分量均满足齐次的波动方程 72+2E=08-) 72月+2户=08-6) 式中=是茨取既然泼导轴线沿2方向，事么不论液的传情况在技导内怎样复。，其最终的 效果只能是一个沿方向前进的导行电磁波。因而可以把波导内电场分量和磁场分量写成 E=8x,ye”8-7 A=Hxe”8-9
8—2 所示，同时做以下假设： 图 8—2 任意截面的均匀波导 (1)波导的横截面形状和媒质特性沿轴线 z 不变化，即具有轴向均匀性。 (2)金属波导为理想导体，即γ=∞ 。波导内填充均匀、线性、各向同性的理想介质。 (3)波导内没有激励源存在，即ρ=0 和 J＝0。 (4)电磁波沿 z 轴传播，且场随时间作正弦变化。 在以上假设下，电磁场的电场分量和磁场分量 均满足齐次的波动方程 (8—5) (8—6) 式中 是波数。既然波导轴线沿 z 方向，那么不论波的传播情况在波导内怎样复杂，其最终的 效果只能是一个沿 z 方向前进的导行电磁波。因而可以把波导内电场分量和磁场分量写成 (8-7) (8—8)
其中E(x,y)和H(x,y)是待定函数。Y为波沿z方向的传播常数。将(8一7)式代 人方程(8一5)式，得 7,28(x,)+k28(x,y)=0(8-9) 内-豪字a种 这里 2=2+护8-10 同理 7,2H(x,)+2H(x,月=0(8-11） 可以由方程(8一9)式和方程(8一1)式得到E(x,y)和H(x,y)各分量的标量波动方程。也可先求解纵向场 分量的波动方程，得到两个纵向分量z和z,然后再根据电磁场基本方程组求得所有横向分量。纵向场 分量Ez和比满足的标量波动方程为 是+号+-0 (8-12) 0把+世+大2出=0 0x202 (8-13) 由上述两个方程求得z和出：0后，即可从电酷场基本方程组中的两个旋度方程得到四个横向场分量
其中 E(x，y)和 H(x，y)是待定函数。 为波沿 z 方向的传播常数。将(8—7)式代 人方程(8—5)式，得 (8-9) 这里 是横向拉普拉斯算子。式中 (8 一 10) 同理 (8—11) 可以由方程(8—9)式和方程(8—11)式得到 E（x，y)和 H(x，y)各分量的标量波动方程。也可先求解纵向场 分量的波动方程，得到两个纵向分量 Ez 和 Hz，然后再根据电磁场基本方程组求得所有横向分量。纵向场 分量 Ez 和 Hz 满足的标量波动方程为 (8—12) (8—13) 由上述两个方程求得 Ez 和 后，即可从电磁场基本方程组中的两个旋度方程得到四个横向场分量
) 恤京0要-v曾 你0a要+v尝 (8-14) 上式中所有场量只与坐标x和y相关。 根据以上的分析，在被导中竹牡夹械绱摞阶贍t就？/span>EZ或Hz分量，因此可以依照Ez和Hz的 存在情况，将在波导中传播的导行电磁波分为三种波型（成模式）：TEW波型、TE波型及W波型. 横电磁波(B0:这种波既无Ez分量又无业分量，即Ez=0、亚=0.从(8一1式可看出，只有当 时，横向分量才不为零。所以有 y2=-2 或者 y=jk=jHE (8-15) 则方程(8一9)式和方程(8一1山)式就变成 7,2B(x,)=08-16 72Hx,八=08-1m 这正是拉普拉斯方程.。这表明，导波系统中T波在横截面上的场分量满足拉普拉斯方程。因此其 分布应该与前态场中相同边界条件下的场分布相同。正是由于这一点，我们断定凡能维持二维静态场的导 波系统，都能传输T波。例如二线传输线、同轴线等。也即为了传输T波必须委有二个以上的导体。 空心金属波导管内部，由于不能维持二潍静态场，故不能传输波。这是波导管中电磁波显著的 特点之一
(8-14) 上式中所有场量只与坐标 x 和 y 相关。 根据以上的分析，在波导中 サ牡夹械绱挪 赡艹鱿?/span>Ez 或 Hz 分量。因此可以依照 Ez 和 Hz 的 存在情况，将在波导中传播的导行 电磁波分为三种波型(或模式)：TEM 波型、TE 波型及 TM 波型。 横电磁波(TEM)：这种波既无 Ez 分量又无 Hz 分量，即 Ez＝0、Hz＝0。从(8—14)式可看出，只有当 时，横向分量才不为零。所以有 或者 (8—15） 则方程（8—9)式和方程(8—11)式就变成 (8—16) (8 一 17) 这正是拉普拉斯方程。这表明，导波系统中 TEM 波在横截面上的场分量满足拉普拉斯方程。因此其 分布应该与静态场中相同边界条件下的场分布相同。正是由于这一点，我们断定凡能维持二维静态场的导 波系统，都能传输 TEM 波。例如二线传输线、同轴线等。也即为了传输 TEM 波必须要有二个以上的导体。 空心金属波导管内部，由于不能维持二维静态场，故不能传输 TEM 波。这是波导管中电磁波显著的 特点之一
横电波（波：当传搭方向上有磁场的分量而无电场的分量（也≠0E,Ez=0)时，此导行波 称为TE波。对于TE波，需要研究确定z的方法。出满足波动方程(8一13)式，且在金属导体内壁的边界 条件为 警 8-18) 这表明对于E波来说，归结为在第二类齐次边界条件下求解二维齐次波动方程（⑧一13）式。对于该方程， 只有在KC取某些特定的离散值时才有解，使解存在的下©值称为本征值。针对不同截面形状及尺寸的波导。 这些本征值是不同的 横藏波（波：当传插方向上有电场的分量而无磁场的分量(B2≠0，出=0）时，此导行波称为W 波。对于TW波，需要研究确定Ez的方法。Ez满足波动方程(8一12)式，且在金属导体内壁的边界条件为 马，ls=08-19 这表明对于TW波来说，归结为在第一类齐次边界条件下求解二维齐次波动方程的本征值的kc 问题。 2电磁波在波导中的传播特性 对于正泼、W波，”≠0.因此将它政写成 7- 当时，波沿z方向传播，这种模式称为传播模式；当时，场沿z方向指数衰 减，波导内没有波的传播，这种模式称为非传播模式或凋落模式。从传播模式变 为非传播模式发生在k=kc处。故把时的频率称为截止须率c有 .=2元e(8-2
横电波(TE 波)：当传播方向上有磁场的分量而无电场的分量( E ， Ez＝0)时，此导行波 称为 TE 波。对于 TE 波，需要研究确定 Hz 的方法。Hz 满足波动方程(8—13)式，且在金属导体内壁的边界 条件为 (8—18) 这表明对于 TE 波来说，归结为在第二类齐次边界条件下求解二维齐次波动方程(8—13)式。对于该方程， 只有在 Kc 取某些特定的离散值时才有解，使解存在的 Kc 值称为本征值。针对不同截面形状及尺寸的波导， 这些本征值是不同的 横磁波(TM 波)：当传播方向上有电场的分量而无磁场的分量( ，Hz=0 )时，此导行波称为 TM 波。对于 TM 波，需要研究确定 Ez 的方法。Ez 满足波动方程(8—12)式，且在金属导体内壁的边界条件为 (8—19) 这表明对于 TM 波来说，归结为在第一类齐次边界条件下求解二维齐次波动方程的本征值的 kc 问题。 2 电磁波在波导中的传播特性 对于 TE 波、TM 波， 。因此将它改写成 (8—20) 当时，波沿 z 方向传播，这种模式称为传播模式；当时，场沿 z 方向指数衰 减，波导内没有波的传播，这种模式称为非传播模式或凋落模式。从传播模式变 为非传播模式发生在 k=kc 处。故把时的频率称为截止频率 fc 有 (8—21)
把对应于载止频率f心的自由空间波长A称为截止波长，有 7鸳。a 由上述两式可见，波导的本征值kc决定了它的截止频率和止波长。与波导的几何形状和尺寸大小有 关。当工作织率f比截止频率高或工作波长比截止波长短时，电磁波才可以在波导内传插，为传插模式： 反之，电磁波不能在波导内传播，为非传播模式。这和传播TEW波的导波系统不同，E训波传播模式是没 有酸止频常和截止波长的，因此，在双导线传输线中既可传播高频电磁波，也可传插低频电磁波以至稳恒 电流。 当寸>千或>k:时，由8-20)式得 ,=令今g圈 这是一个相位常数为的传播模式，且有 8=h-9 (8-240 此时，波导内沿传插方向上相位差2？巨的两点间的距离，称为相应的波导波长 ->见 (825) 式中是频率为的平面电磁波在无限大理想介质中的波长。上式表明波长大于无限大媒质中的波长。 在波导内，波传播的相速度为 (8-26)
把对应于截止频率 fc 的自由空间波长 称为截止波长，有 (8—22) 由上述两式可见，波导的本征值 kc 决定了它的截止频率和截止波长。Kc 与波导的几何形状和尺寸大小有 关。 当工作频率 f 比截止频率高或工作波长比截止波长短时，电磁波才可以在波导内传播，为传播模式； 反之，电磁波不能在波导内传播，为非传播模式。这和传播 TEM 波的导波系统不同，TEM 波传播模式是没 有截止频率和截止波长的，因此，在双导线传输线中既可传播高频电磁波，也可传播低频电磁波以至稳恒 电流。 当 或 时，由(8—20)式得 (8—23) 这是一个相位常数为的传播模式，且有 (8—24) 此时，波导内沿传播方向上相位差 E 的两点间的距离，称为相应的波导波长 (8—25) 式中是频率为的平面电磁波在无限大理想介质中的波长。上式表明波长大于无限大媒质中的波长。 在波导内，波传播的相速度为 (8—26)
可见，波导中波的相速度亦大于无限大媒质中波的相速度。)八也说明波在波导内的真实传播方向并不是2 轴方向，而是曲折前进，这一点不同于TW波。（⑧一26）式还表明是频率的函数，TE、TW波是色散波。此 色散不同于前面的因导电媒质引起的色散，它是由波导的边界条件引起的，因此称它为几何色敢。 当>或大>在时，为-实数，由份-20)式得 这是一个衰减常数，由于场分量都有传插因子，所以波沿z方向很快衰减。由此可见，波导星现高 通滤波器的特性。对给定的模式，只有频率高于模式止频率的波，才能在波导内传。 三矩形波导 矩形波导管通过传播TE波或TW波来传输电磁能量：矩形波导管不能传播TEW波。由理想导 体壁组成的截面为矩形的波导管，如图8-2所示。 图84矩形波导 】矩形波导中的波和E波 T波
可见，波导中波的相速度亦大于无限大媒质中波的相速度。>v 也说明波在波导内的真实传播方向并不是 z 轴方向，而是曲折前进，这一点不同于 TEM 波。(8—26)式还表明是频率的函数，TE、TM 波是色散波。此 色散不同于前面的因导电媒质引起的色散，它是由波导的边界条件引起的，因此称它为几何色散。 当 或 时，为一实数，由(8—20)式得 (8—27) 这是一个衰减常数，由于场分量都有传播因子，所以波沿 z 方向很快衰减。由此可见，波导呈现高 通滤波器的特性。对给定的模式，只有频率高于模式截止频率的波，才能在波导内传播。 二 矩形波导 矩形波导管通过传播 TE 波或 TM 波来传输电磁能量；矩形波导管不能传播 TEM 波。由理想导 体壁组成的截面为矩形的波导管，如图 8-2 所示。 图 8-4 矩形波导 1 矩形波导中的 TM 波和 TE 波 TM 波
TW波的=0，纵向电场z的解为 岳=儿m管司答》 好-2-0+学。0 式中Am是振幅常数，由导行波的激励源确定。马n是不为零的任何正整数。否则，只要马，n中 有一个为零，场量将全部为零。 其它横向场分量为 马=专受A受a列 a E波 TE波的z=0,纵向磁场恤的解为 月=人oa管0con号》。 2=k2=+(2 B(8-34) 式中Am是振幅常数，由导行波的激励源确定，、n为任何正整数和零，但不能同时为零，否则 场量将全部为零，其它横向场分量为
TM 波的 Hz=0，纵向电场 Ez 的解为 (8—29) (8—30) 式中 Amn 是振幅常数，由导行波的激励源确定。m, n 是不为零的任何正整数。否则，只要 m,n 中 有一个为零，场量将全部为零。 其它横向场分量为 TE 波 TE 波的 Ez=0，纵向磁场 Hz 的解为 (8—33) (8—34) 式中 Amn 是振幅常数，由导行波的激励源确定，m、n 为任何正整数和零，但不能同时为零，否则 场量将全部为零。其它横向场分量为
名=学受Ao管列n管受列 g=g4um(coa管》 女Am管oa管列 =点受Aom管》 J(8-35) 2矩形波导中波的传播特性 (1)在波导管的横截面上，场是正弦变化的，其分布情况直接取决于■和这两个常数的 值。取不同m和n值，有不同的场分布，称为不同的模式，分别用Tn模和Tm模表示。在实际 问愿中，总是选取一个特定的模式来传送电磁波。 (2)截止频率f为 (8-36 而相应的截止波长 2 = 含+学 (8-37) 可见，截止频率和波长都与工作频率无关，仅与波导的尺寸和模式有关。 不同的波型可以具有相同的截止波长，这种现象称为简并现象，发生简并的模式称为简 并模式。在模TEm和模Tm中，除了和T0模外，其它模式都是“双重简并的”，例如和模TE 11,和模TE21等等. (3)波导的尺寸决定后。m,n的值越小，截止波长越长。TE10和I1模分别是TE被和TM 波中具有最长截止波长的模式，称为最低模式。面E0模的截止波长又比TW11模的截止波长长
(8-35) 2 矩形波导中波的传播特性 （1）在波导管的横截面上，场是正弦变化的，其分布情况直接取决于 m 和 n 这两个常数的 值。取不同 m 和 n 值，有不同的场分布，称为不同的模式，分别用 TEmn 模和 TEmn 模表示。在实际 问题中，总是选取一个特定的模式来传送电磁波。 （2）截止频率 fc 为 (8—36) 而相应的截止波长 (8—37) 可见，截止频率和波长都与工作频率无关，仅与波导的尺寸和模式有关。 不同的波型可以具有相同的截止波长，这种现象称为简并现象，发生简并的模式称为简 并模式。在模 TEmn 和模 TMmn 中，除了和 TMm0 模外，其它模式都是“双重简并的”，例如和模 TE 11，和模 TE21 等等。 (3)波导的尺寸决定后。m,n 的值越小。截止波长越长。TE10 和 TM11 模分别是 TE 波和 TM 波中具有最长截止波长的模式，称为最低模式。而 TE10 模的截止波长又比 TM11 模的截止波长长
它具有最长的截止波长。因此模亦称为主模，其它模式都称为高次模。 (④若工作波长在a<1<2a,就只有一个模出现，其它模式都处于截止状态，这种情况称为 单模传输。因此，这个区又称单模区。在使用波导传输能量时，道常要求工作在单模状态 三谐振腔 低频无线电技术中采用LC回路产生电磁振荡，当频率很高时（例如微波范围），这种振荡回 路有强烈的辐射损耗和焦耳损耗，不能有效地产生高额振荡。因此，必须用另一种叛荡器一—谐振 腔来激发高频电磁振荡，谐振腔是一种适用于高频的谐振元件，它是用理想导体围成的空腔，凡是 用理想导体围成的任意形状的空腔都有共振现象，具有LC回路的性质，称为谐振腔。谐振整可以 将电酷振荡全部约束在空腔内，电磁场没有辐射，也没有介质损耗，金属导体的焦耳损耗很小，因 此具有较高的品质因数。它在微波频段中广泛用于波长计、滤波器等器件。 谐振腔中的场钻构 一段长为的矩形波导，两端用金属板将它封闭起来就构成了矩形谐振腔。由于这两个导体 端面对电磁导波的反射作用，波将在其间来回反射，而形成驻波。驻波不能传输电磁能量，它只能 产生电磁能的相互转换，在能量转换过程中表现出振荡现象。所以封闭的导体空腔可用来作电磁振 满的谐探器， 对于矩形谐振整，可不按普遍方法来解，而是从矩形波导管的解出发，利用波的反射定律来 讨论，这要简单得多。现在选择z轴为参考的“传播方向”，按相对于z轴的TE模、模来分别 讨论。 2谐报腔的谐振频半 诺振频岸是谐振腔最重要的一个参数。当电场和磁场沿x,y,2三个方向都形成驻波 时，即达到谐报条件。诺报腔中的振荡模式的谐振角须率
它具有最长的截止波长。因此模亦称为主模，其它模式都称为高次模。 (4)若工作波长在 a< <2a，就只有一个模出现，其它模式都处于截止状态，这种情况称为 单模传输。因此，这个区又称单模区。在使用波导传输能量时，通常要求工作在单模状态。 三 谐 振 腔 低频无线电技术中采用 LC 回路产生电磁振荡。当频率很高时(例如微波范围)，这种振荡回 路有强烈的辐射损耗和焦耳损耗，不能有效地产生高频振荡。因此，必须用另一种振荡器——谐振 腔来激发高频电磁振荡。谐振腔是一种适用于高频的谐振元件，它是用理想导体围成的空腔。凡是 用理想导体围成的任意形状的空腔都有共振现象，具有 LC 回路的性质，称为谐振腔。谐振腔可以 将电磁振荡全部约束在空腔内，电磁场没有辐射，也没有介质损耗，金属导体的焦耳损耗很小，因 此具有较高的品质因数。它在微波频段中广泛用于波长计、滤波器等器件。 1 谐振腔中的场结构 一段长为的矩形波导，两端用金属板将它封闭起来就构成了矩形谐振腔。由于这两个导体 端面对电磁导波的反射作用，波将在其间来回反射，而形成驻波。驻波不能传输电磁能量，它只能 产生电磁能的相互转换，在能量转换过程中表现出振荡现象。所以封闭的导体空腔可用来作电磁振 荡的谐振器。 对于矩形谐振腔，可不按普遍方法来解，而是从矩形波导管的解出发，利用波的反射定律来 讨论，这要简单得多。现在选择 z 轴为参考的“传播方向”，按相对于 z 轴的 TE 模、TM 模来分别 讨论。 2 谐振腔的谐振频率 谐振频率是谐振腔最重要的一个参数。当电场和磁场沿 x，y，z 三个方向都形成驻波 时，即达到谐振条件。谐振腔中的振荡模式的谐振角频率