第二章恒定电场 导言 本章主要讨论导电媒质中的恒定电场（通常又称恒定电流场）。 首先介绍各种形式的电流密度及其相应的元电流段。随后讨论欧姆定律的微 分形式、焦耳定律的微分形式及维持恒定电场所需的电源。 电场强度E和电流密度丁是恒定电场的主要场量。在分别研究E的回路线积 分和丁的闭合面积分之后，得出导电媒质中恒定电场（电源外）的基本方程 根据上列积分形式的基本方程，导得不同媒质分界面上的衔接条件。在微分 形式基本方程的基础上，导得拉普拉斯方程。 把无电荷分布区域的静电场与电源外导电媒质中的恒定电场相对比，两者有 相似的关系，从而引出静电比拟。 最后介绍电导与接地电阻、跨步电压和危险区半径的计算。 一导体媒质中的电流 在静电场中，导体内电场强度为零，导体内部也没有电荷的运动：若在外电场的作用下，自由电荷定向运 动则形成电流。在导电媒质（如导体、电解液等）中，电荷的运动形成的电流称为传导电流。 单位时间内通过某一横截面的电荷量，称为电流强度（简称电流），记作1 1 (2-1) 它只描述了每秒通过某一面积的电荷总量。从场的观点来看电流强度是一个通量概念的量，它没有说明 电荷在导体截面上每一点流动的情况。为了描述导体中每一点处电荷运动的情况，引入电流密度这个物理 量。 1电流密度和元电流 电流按分布的情况可分为体电流、面电流、线电流。电荷在空间某一体积内流动形成体电流。在某个面
第二章 恒定电场 导 言 本章主要讨论导电媒质中的恒定电场(通常又称恒定电流场)。 首先介绍各种形式的电流密度及其相应的元电流段。随后讨论欧姆定律的微 分形式、焦耳定律的微分形式及维持恒定电场所需的电源。 电场强度 E 和电流密度 J 是恒定电场的主要场量。在分别研究 E 的回路线积 分和 J 的闭合面积分之后，得出导电媒质中恒定电场(电源外)的基本方程 根据上列积分形式的基本方程，导得不同媒质分界面上的衔接条件。在微分 形式基本方程 的基础上，导得拉普拉斯方程。 把无电荷分布区域的静电场与电源外导电媒质中的恒定电场相对比，两者有 相似的关系，从而引出静电比拟。 最后介绍电导与接地电阻、跨步电压和危险区半径的计算。 一 导体媒质中的电流 在静电场中，导体内电场强度为零，导体内部也没有电荷的运动；若在外电场的作用下，自由电荷定向运 动则形成电流。在导电媒质(如导体、电解液等)中，电荷的运动形成的电流称为传导电流。 单位时间内通过某一横截面的电荷量，称为电流强度(简称电流)，记作 I （2－1） 它只描述了每秒通过某一面积的电荷总量。从场的观点来看电流强度是一个通量概念的量，它没有说明 电荷在导体截面上每一点流动的情况。为了描述导体中每一点处电荷运动的情况，引入电流密度这个物理 量。 1 电流密度和元电流 电流按分布的情况可分为体电流、面电流、线电流。电荷在空间某一体积内流动形成体电流。在某个面
积上流动形成面电流。当电荷沿一根截面积等于零的几何曲线流动时，形成线电流。 当按体密度分布的电荷，以速度D,作匀速运动时，形成电流密度矢量J,且表示为 卡N (2-2) 流过任意面积S的电流为 (2-3) 若按面密度口和线密度，分布的电荷，以速度。运动（设面电荷在其所分布的面上运动，线电荷沿其所分 布的线上运动武分别形成电流线密度矢量不电速作。其作位分别为A/安/米布AM安。 其中电流线密度描述在该面上某点处，通过垂直于电流方向单位宽度的电流。由此可知，通过该面上某点 元线段dl的电流为 dl=(K·en)dl (2-4) (2-4)式中 黑：为垂直于元线段 !的方向上的单位矢量。这样，流过任意线段1的电流为 w (2-5) 由此可见，电流密度的概念应用得更为广泛。一般把电流密度矢量在各处都不随时间而变化的电流称为 恒定电流。 如有元电荷g以速度v运动，则d?这一个量的单位为C·m/s=A·m,称之为元电流段。因此。 可以得到作不同分布的元电荷运动后形成的元电流段元电流段有下列不同形式： 0 (2-6) 2欧姆定律的徽分形式 要在导电媒质中维持恒定电流，必须存在一个恒定电场。因此，电流密度矢量与电场强度矢量一定存在 某种函数关系
积上流动形成面电流。当电荷沿一根截面积等于零的几何曲线流动时，形成线电流。 当按体密度 ρ 分布的电荷，以速度 υ，作匀速运动时，形成电流密度矢量 J，且表示为 （2－2） 流过任意面积 S 的电流为 （2－3） 若按面密度口和线密度，分布的电荷，以速度。运动(设面电荷在其所分布的面上运动，线电荷沿其所分 布的线上运动)，就分别形成电流线密度矢量 和线电流 。其单位分别为 A／m(安／米)和 A(安)。 其中电流线密度描述在该面上某点处，通过垂直于电流方向单位宽度的电流。由此可知，通过该面上某点 元线段 的电流为 （2－4） （2-4）式中 为垂直于元线段 的方向上的单位矢量。这样，流过任意线段 l 的电流为 （2－5） 由此可见，电流密度的概念应用得更为广泛。一般把电流密度矢量在各处都不随时间而变化的电流称为 恒定电流。 如有元电荷 以速度 v 运动，则 这一个量的单位为 ，称之为元电流段。因此， 可以得到作不同分布的元电荷运动后形成的元电流段元电流段有下列不同形式： （2－6） 2 欧姆定律的微分形式 要在导电媒质中维持恒定电流，必须存在一个恒定电场。因此，电流密度矢量与电场强度矢量一定存在 某种函数关系
E (2-7) 3焦耳定律的徽分形式 自由电荷在导电媒质内移动时，不可避免地会与其它质点发生碰撞。如金属导体中自由电子在电场力作 用下定向运动时，会不新与原子品格发生碰撞，将动能转变为原子的热振动，造成能量损耗，因此，如界 要在导体内维持恒定电流，必须持续地对电荷提供能量，这些能量最终都转化为热能。 小用 (2-8) (2一8)式即焦耳定律的微分形式。 二电源电动势与局外场强 焦耳定律说明恒定电流通过导电煤质，将电能转化为热能而损耗。所以，要在导电媒质中维持一恒定电 场从而维持一恒定电流，必须将导电煤质与电源相接，由电源不断地提供维持电流流动所需的能量 1,电源电动势与局外场强 电源是一种能将其它形式的能量（机械能、化学能、热能等）转换成电能的装置，它能把电源内导体原 子或分子中的正负电荷分开，使正负电极之间的电压维持恒定，从而使与它们相联结的（电源外）导体之间 的电压也恒定，并在其周国维持一恒定电场。电源中能将正负电荷分离开来的力厂，称为局外力，把作用 于单位正电荷上的局外力了。/9设想为一等效场强，称为局外场强，并用E。表示。其方向由电源的负 极指向正极。这样，从场的角度，可用局外场强来描述电源的特性，电源的电动势（与局外场强的关系为 6-E.di (2-9) 在电源内部，除了由两极上电荷所引起的库仑电场强度￡以 外，还有局外场强E。,因此其中的合成场强应为两者之和即 ￡+B,。应该注意，E与￡，是反向的，前者由正极指向负极，后 者则由负极指向正极，如图2-1所示。因此，通过含源导电媒质 的电流为
（2－7） 3 焦耳定律的微分形式 自由电荷在导电媒质内移动时，不可避免地会与其它质点发生碰撞。如金属导体中自由电子在电场力作 用下定向运动时，会不断与原子晶格发生碰撞，将动能转变为原子的热振动，造成能量损耗。因此，如果 要在导体内维持恒定电流，必须持续地对电荷提供能量，这些能量最终都转化为热能。 （2－8） （2－8）式即焦耳定律的微分形式。 二 电源电动势与局外场强 焦耳定律说明恒定电流通过导电媒质，将电能转化为热能而损耗。所以，要在导电媒质中维持一恒定电 场从而维持一恒定电流，必须将导电媒质与电源相接，由电源不断地提供维持电流流动所需的能量 1.电源电动势与局外场强 电源是一种能将其它形式的能量(机械能、化学能、热能等)转换成电能的装置，它能把电源内导体原 子或分子中的正负电荷分开，使正负电极之间的电压维持恒定，从而使与它们相联结的(电源外)导体之间 的电压也恒定，并在其周围维持一恒定电场。电源中能将正负电荷分离开来的力 称为局外力，把作用 于单位正电荷上的局外力 设想为一等效场强，称为局外场强，并用 。表示。其方向由电源的负 极指向正极。这样，从场的角度，可用局外场强来描述电源的特性，电源的电动势 与局外场强的关系为 （2－9） 在电源内部，除了由两极上电荷所引起的库仑电场强度 E 以 外，还有局外场强 ，因此其中的合成场强应为两者之和即 。应该注意， 与 是反向的，前者由正极指向负极，后 者则由负极指向正极，如图 2-1 所示。因此，通过含源导电媒质 的电流为
J=(E+E,) (2-10) 图21电源 在电源以外区域中，则只存在库仑电场。产生库仑场强￡的不是静止电荷， 而是处于动态平衡下的恒定电荷。 2恒定电场 对于恒定电场应分别考虑两种情况：一种是导电媒质中的恒定电场。另一种 是通有恒定电流的导体周围电介质或空气中的恒定电场。由于电介质中的恒定电 场是由其分布不随时间变化的导体上电荷引起的，因此这类电场也是保守场，可 以用电位函数表征其特性，用解静电场问题相同的方法处理。虽然严格地说，导 体中如通有电流，导体就不是等位体，它的表面也就不是等位面。可是在很多实 际问题中，紧挨导体表面的电介质内电场强度E的切线分量，较其法线分量小 得多，往往可以忽略不计。这样一来导体表面上的边界条件就可认为与静电场中 的相同。因此，在研究有恒定电流通过的导体周围电介质中的恒定电场时，就可 以应用相应的静电场问题的解答。所以，这里将着重讨论电源以外导电媒质内的 恒定电场。 三恒定电场基本方程·分界面上的衔接条件 1恒定电场的基本方程 导电媒质（电源外）中积分形式的恒定电场基本方程是 ∮J·ds=0 $E·dl=0 上两式可以写成 J=0 (2-110
图 2-1 电源 （2－10） 在电源以外区域中，则只存在库仑电场。产生库仑场强 的不是静止电荷， 而是处于动态平衡下的恒定电荷。 2 恒定电场 对于恒定电场应分别考虑两种情况：一种是导电媒质中的恒定电场。另一种 是通有恒定电流的导体周围电介质或空气中的恒定电场。由于电介质中的恒定电 场是由其分布不随时间变化的导体上电荷引起的，因此这类电场也是保守场，可 以用电位函数表征其特性，用解静电场问题相同的方法处理。虽然严格地说，导 体中如通有电流，导体就不是等位体，它的表面也就不是等位面。可是在很多实 际问题中，紧挨导体表面的电介质内电场强度 的切线分量，较其法线分量小 得多，往往可以忽略不计。这样一来导体表面上的边界条件就可认为与静电场中 的相同。因此，在研究有恒定电流通过的导体周围电介质中的恒定电场时，就可 以应用相应的静电场问题的解答。所以，这里将着重讨论电源以外导电媒质内的 恒定电场。 三 恒定电场基本方程·分界面上的衔接条件 1 恒定电场的基本方程 导电媒质(电源外)中积分形式的恒定电场基本方程是 上两式可以写成 （2－11）
V×E=0 (2-12) 这是导电媒质（电源外）中微分形式的恒定电场基本方程。它说明电场强度E 的旋度等于零，恒定电场仍为一个保守场。同时说明J线是无头无尾的闭合曲 线，因此恒定电流只能在闭合电路中流动。电路中只要有一处断开，电流就不能 存在。电流密度J与电场强度E间的关系为 J=yE (2-13) 2分界面上的衡接条件 在两种不同导电媒质分界面上，由于物性发生突变，场量也会随之突变，故必须补充适合于分界面上 的衔接条件。 Eu=E2 (2-14) Ji=J2n (2-15) 在两种不同导电媒质的分界面处，设区域1的电导率为Y,介电常数为1， 区域2的电导率为Y2,介电常数为2，则电位移和电流密度的法线分量的衔接 条件由此得出，分界面上的电荷面密度为 (2-16) a=(e-e别E=(e-6E 3恒定电场的边值问题 在恒定电场中，电场强度￡与标量电位函数P的关系仍然是 E=-V@ (2-17) 对于均匀媒质，应有
（2－12） 这是导电媒质(电源外)中微分形式的恒定电场基本方程。它说明电场强度 的旋度等于零，恒定电场仍为一个保守场。同时说明 线是无头无尾的闭合曲 线，因此恒定电流只能在闭合电路中流动。电路中只要有一处断开，电流就不能 存在。电流密度 与电场强度 间的关系为 （2－13） 2 分界面上的衔接条件 在两种不同导电媒质分界面上，由于物性发生突变，场量也会随之突变，故必须补充适合于分界面上 的衔接条件。 （2－14） （2－15） 在两种不同导电媒质的分界面处，设区域 1 的电导率为 ，介电常数为 ， 区域 2 的电导率为 ，介电常数为 ，则电位移和电流密度的法线分量的衔接 条件由此得出，分界面上的电荷面密度为 （2－16） 3 恒定电场的边值问题 在恒定电场中，电场强度 与标量电位函数 的关系仍然是 （2－17） 对于均匀媒质，应有
2g=0 (2-18) 即恒定电场的电位函数也满足拉普拉斯方程。 在两种不同导电媒质分界面上，由电位函数甲表示的衔接条件为 1=2 (2-19) 和 8会=号升 (2-20) 上述衔接条件与场域边界上所给定的边界条件一起构成了恒定电场的边值 条件。很多恒定电场问题的解决，都可归结为在一定条件下求拉普拉斯方程的解 答，称之为恒定电场的边值问题。 四静电比拟 比较电源外导电媒质中的恒定电场与无电荷分布区域中的静电场，可以看出 表征两类场性质的基本方程有相似的形式，由此可以引出一种方法，它在一定条 件下，可以把一种场的计算或实验所得的结果，推广应用于另一种场，这种方法 称为静电电比拟。将两种场对应的物理量列表如表2-1所示。 表2-1 静电场(e=0处) D 9(或%) 导电媒质中恒定电场（电源 外) 两种场所满足的基本方程和重要关系式如表2-2所示。 表2-2
（2－18） 即恒定电场的电位函数也满足拉普拉斯方程。 在两种不同导电媒质分界面上，由电位函数甲表示的衔接条件为 （2－19） 和 （2－20） 上述衔接条件与场域边界上所给定的边界条件一起构成了恒定电场的边值 条件。很多恒定电场问题的解决，都可归结为在一定条件下求拉普拉斯方程的解 答，称之为恒定电场的边值问题。 四 静电比拟 比较电源外导电媒质中的恒定电场与无电荷分布区域中的静电场，可以看出 表征两类场性质的基本方程有相似的形式，由此可以引出一种方法，它在一定条 件下，可以把一种场的计算或实验所得的结果，推广应用于另一种场，这种方法 称为静电电比拟。将两种场对应的物理量列表如表 2-1 所示。 表 2-1 两种场所满足的基本方程和重要关系式如表 2-2 所示。 表 2-2
静电场(p=0处) 导电媒质中恒定电函（电源外） v×E=0(或E=-又p) V×E=0(或E=-V) V.D=0 7·J=0 D=eE J=yE 72p=0 2g=0 ==D.ds 1=Jas 可以看出对应的物理量所满足的方程形式上是一样的，若两个场的边界条件也 一样的话， 那么只要通过对一个场的求解，再利用对应量的关系进行置换，便可立即得到另 一个场的解。 五电导和部分电导 工程上常常需要计算两电极之间充填的导电媒质（或有损耗绝缘材料）的电 导（或漏电导， 其倒数又称绝缘电阻)，这也是恒定电场中的一个重要问题。 1电导 电导的定义是流经导电媒质的电流与导电媒质两端电压之比，即 G-U (2-21) 当导体形状较规则或有某种对称关系时，可先假设一电流，然后按 一J一E→U~G的步骤求得电导。当然也可以先假设一电压，然后按U→E→J→1→G 的步骤求电导。一般情况下，则从解拉普拉斯方程人手来计算电导。当恒定电场 与静电场两者边界条件相同时上利用电导计算公式与电容计算公式的相似性，可 用静电比拟法。 8-9 (2-22)
可以看出对应的物理量所满足的方程形式上是一样的，若两个场的边界条件也 一样的话， 那么只要通过对一个场的求解，再利用对应量的关系进行置换，便可立即得到另 一个场的解。 五 电导和部分电导 工程上常常需要计算两电极之间充填的导电媒质(或有损耗绝缘材料)的电 导(或漏电导， 其倒数又称绝缘电阻)，这也是恒定电场中的一个重要问题。 1 电导 电导的定义是流经导电媒质的电流与导电媒质两端电压之比，即 （2－21） 当导体形状较规则或有某种对称关系时，可先假设一电流，然后按 的步骤求得电导。当然也可以先假设一电压，然后按 的步骤求电导。一般情况下，则从解拉普拉斯方程人手来计算电导。当恒定电场 与静电场两者边界条件相同时上利用电导计算公式与电容计算公式的相似性，可 用静电比拟法。 （2－22）
故在求电容公式中将ε代换为y,即得求相应电导的公式，反之亦然。 2部分电导 在导电媒质中，对于由三个及三个以上的良导体电极（可看成等位体）组成的多 电极系统，任意两个电极之间的电流不仅要受到它们自身间电压还要受其它电极 间电压的影响。这时系统中电极间的电压与电流关系不能再仅用一个电导来表 示，需将电导的概念加以扩充，引入部分电导概念。设在线性各向同性导电媒质 中有(n+1)个排列一定的电极，它们的电流分别为a、1、.、.、,且有关系 16+h+.+h+.+Inm0 (2-23) 则根据叠加原理得各电极间的电压和各电极的电流之间有下列关系 I1=G1oUo+G2U2+.+GUu+.+G1nU1 (2-24) I=G1U1+GzUa+.+GoUo+.+GU n=GalUa1+Gn2Un2+.+GU+.+GnU0 式中G%称为多电极系统中电极间的部分电导。其中GoG0,Go“,G称为 自有部分电导，即各电极与0号电极间的部分电导；而G2、.、G、.、G、.等 称为互有部分电导，即相应两个电极间的部分电导。所有的部分电导都为正值， 且G=G。在(n+)个电极 #(n+1) 2 组成的多电极系统中，共应有 个部分电导。 3接地电阻 工程上常将电气设备的一部分和大地联接，这就叫接地。 接地电阻就是电流由接地装置流人大地再经大地流向另一接地体或向远处扩 散所遇到的电阻，它包括接地线和接地体本身的电阻、接地体与大地之间的接触 电阻以及两接地体之间大地的电阻或接地体到无限远处的大地电阻。其中前三部
故在求电容公式中将 代换为 ，即得求相应电导的公式，反之亦然。 2 部分电导 在导电媒质中，对于由三个及三个以上的良导体电极(可看成等位体)组成的多 电极系统，任意两个电极之间的电流不仅要受到它们自身间电压还要受其它电极 间电压的影响。这时系统中电极间的电压与电流关系不能再仅用一个电导来表 示，需将电导的概念加以扩充，引入部分电导概念。设在线性各向同性导电媒质 中有(n+1)个排列一定的电极，它们的电流分别为 ，且有关系 （2－23） 则根据叠加原理得各电极间的电压和各电极的电流之间有下列关系 （2－24） 式中 称为多电极系统中电极间的部分电导。其中 称为 自有部分电导，即各电极与 0 号电极间的部分电导；而 等 称为互有部分电导，即相应两个电极间的部分电导。所有的部分电导都为正值， 且 。在(n+1)个电 极 组成的多电极系统中，共应有 个部分电导。 3 接地电阻 工程上常将电气设备的一部分和大地联接，这就叫接地。 接地电阻就是电流由接地装置流人大地再经大地流向另一接地体或向远处扩 散所遇到的电阻，它包括接地线和接地体本身的电阻、接地体与大地之间的接触 电阻以及两接地体之间大地的电阻或接地体到无限远处的大地电阻。其中前三部
分电阻值比最后部分要小得多，因此，接地电阻主要是指后者，即大地的电阻。 计算接地电阻.必须研究地中电流的分布。 小结 1电流是由电荷的有规则运动形成的，不同的电荷分布运动时所形成的电流密 度，具有不同的表达式。两种电流密度以及线电流与它们相应的元电流段的表达 式，如下表所列。 电洗整发（或线电流） 元电流段 面率度 Idy 线度 K-av Kds 电 电流密度与相应的电流之间，有下列关系 I=K.c)dt 1=JJ.ds 对于传导电流，电流密度与电场强度间的关系为 J=YE 2导电媒质中有电流时，必伴随有功率损耗，其体密度为 p=J·E 因此要在导电媒质中维持一恒定电流，必须与电源相联。电源的特性可用它的局 外场强E,表示，E,与电源的电动势间的关系为 &=Ee·dl
分电阻值比最后部分要小得多，因此，接地电阻主要是指后者，即大地的电阻。 计算接地电阻．必须研究地中电流的分布。 小结 1 电流是由电荷的有规则运动形成的，不同的电荷分布运动时所形成的电流密 度，具有不同的表达式。两种电流密度以及线电流与它们相应的元电流段的表达 式，如下表所列。 电流密度与相应的电流之间，有下列关系 对于传导电流，电流密度与电场强度间的关系为 2 导电媒质中有电流时，必伴随有功率损耗，其体密度为 因此要在导电媒质中维持一恒定电流，必须与电源相联。电源的特性可用它的局 外场强 表示， 与电源的电动势间的关系为
3导电媒质中恒定电场（电源外）基本方程的积分形式和微分形式分别为 ∮Jds=0 ∮E·dl=0 和 7:1=0 V×E=0 由微分形式的基本方程可以导得拉普拉斯方程 74e=0 4两种不同媒质分界面上的衔接条件是 J.=Ji 和 E1=Ez 被理想介质包围的载流导体表面，有面积电荷存在。 5导电媒质中恒定电场（电源外，即E。处）和静电场（无电荷分布，即P=0处） 有相似的关系，有关的对应量为静电比拟法可应用于电场和电路参数的计算以及 实验研究中。 每电场(p=0处) 恒定电场(E,=0处) EJ I7 6电导的计算原则与电容相仿。 接地电阻的计算，要分析地中电流的分布。在电力系统的接地体附近，要注意 危险区
3 导电媒质中恒定电场(电源外)基本方程的积分形式和微分形式分别为 和 由微分形式的基本方程可以导得拉普拉斯方程 4 两种不同媒质分界面上的衔接条件是 和 被理想介质包围的载流导体表面，有面积电荷存在。 5 导电媒质中恒定电场(电源外，即 处)和静电场(无电荷分布，即 =0 处) 有相似的关系，有关的对应量为静电比拟法可应用于电场和电路参数的计算以及 实验研究中。 6 电导的计算原则与电容相仿。 接地电阻的计算，要分析地中电流的分布。在电力系统的接地体附近，要注意 危险区