第三章恒定磁场 导言 本章讨论恒定电流引起的磁场。首先介绍恒定磁场中最主要的场矢量一一磁感应强度B。在 分析真空中磁场的基础上，讨论导磁媒质在恒定磁场中的表现，用磁化后出现的磁化电流考虑其附 加作用，并引入磁化强度矢量M。在研究真空及导磁媒质中磁感应强度回路线积分的基础上，引 fH.n- 入磁场强度矢量H,并导得安培环路定律 ,它与磁通连续性原理B,S=0 一起，构成恒定磁场的基本方程（积分形式）。 应用积分形式的基本方程，导得不同媒质分界面上的衔接条件。根据微分形式的基本方程 V.B=0和7×H=0) (份别引入磁矢位A和磁位P 并导得泊松方程V2A=一山 m 和拉普拉撕方程( v2em-0 ) 本章还介绍通过磁链来计算电感的方法，提到可以由磁场能量计算自感(L=训，12)。 从场的角度，讨论磁场能量、磁能密度以及它们的计算公式。在磁场力部分，重点讨论应用虚 功原理求力的方法，并导得有关计算式。最后，简要介绍磁路的基本定律和恒定磁通磁路的计算。 一媒质的碳化 切物质都由分子或原子组成，每一个分子或原子中都有运动的电子，电子不仅绕其自身轴线 转动，同时还在一定的轨道上绕原子核运动，把分子或原子看成一个整体，分子或原子中各个电子 对外所产生的磁效应的总和，可用一个等效的环形电流来表示，称为分子电流，又称束缚电流或安
第三章 恒定磁场 导 言 本章讨论恒定电流引起的磁场。首先介绍恒定磁场中最主要的场矢量——磁感应强度 B。在 分析真空中磁场的基础上，讨论导磁媒质在恒定磁场中的表现，用磁化后出现的磁化电流考虑其附 加作用，并引入磁化强度矢量 M。在研究真空及导磁媒质中磁感应强度回路线积分的基础上，引 入磁场强度矢量 H，并导得安培环路定律 • = l H dl I ，它与磁通连续性原理 • = S B dS 0 一起，构成恒定磁场的基本方程(积分形式)。 应用积分形式的基本方程，导得不同媒质分界面上的衔接条件。根据微分形式的基本方程 B = 0 和 H = 0 ) (分别引入磁矢位 A 和磁位 m 并导得泊松方程 A = −J 2 和拉普拉斯方程( 0 m 2 = )。 本章还介绍通过磁链来计算电感的方法，提到可以由磁场能量计算自感( 2 2 / I m L = W )。 从场的角度，讨论磁场能量、磁能密度以及它们的计算公式。在磁场力部分，重点讨论应用虚 功 原理求力的方法，并导得有关计算式。最后，简要介绍磁路的基本定律和恒定磁通磁路的计算。 一 媒质的磁化 一切物质都由分子或原子组成，每一个分子或原子中都有运动的电子，电子不仅绕其自身轴线 转动，同时还在一定的轨道上绕原子核运动，把分子或原子看成一个整体，分子或原子中各个电子 对外所产生的磁效应的总和，可用一个等效的环形电流来表示，称为分子电流，又称束缚电流或安
培电流。它们不引起电荷的迁移，但它和发生电荷迁移的自由电流一样能产生磁感应强度。 分子电流具有一定的醴矩，称为分子磁矩，一个分子磁矩定义为m=S,其中1是分子电流强 度，S是分子电流围成的面积，S的方向与电流环绕方向服从右手螺旋关系。 在没有外磁场作用时，由于热运动，分子磁矩排列是随机的，因此总的磁矩等于零，整块物质 对外不显磁性。但是，若把物体放人外磁场中，外磁场将对分子磁矩有转矩作用T=m×B(T为分 子磁矩在外磁场B作用下受到的转矩，可见分子磁矩总是力图使自己的方向与外磁场的方向一致， 使得分子磁矩的排列比较有序化。这样，总的磁矩不再等于零，因而整块物质便呈现磁性，这种现 象称为物质的磁化，亦称煤质的磁化。 为了描述媒质磁化的状态，定义一个称为磁化强度的矢量，并用M表示之。它表示媒质中每 单位体积内所有分子磁矩的矢量和，即 M典 二恒定邀场的基本方程，分界面上的衔接条件 恒定磁场的基本方程 磁通连续性原理和安培环路定律表征了恒定磁场的基本性质。不论导 磁媒质分布情况如何，凡是恒定磁场，都具备这两个特性。这里把它们的 表达式列出 fB.as-0 fH.d=1 并称它们为恒定磁场的（积分形式的）基本方程。B和H这两个场量，一般 地可由关系式 B=H+M 相联系，对于各向同性的线性媒质，它们有下式所示的关系，即
培电流。它们不引起电荷的迁移，但它和发生电荷迁移的自由电流一样能产生磁感应强度 。 分子电流具有一定的磁矩，称为分子磁矩。一个分子磁矩定义为 m＝IS，其中 I 是分子电流强 度，S 是分子电流围成的面积，S 的方向与电流环绕方向服从右手螺旋关系。 在没有外磁场作用时，由于热运动，分子磁矩排列是随机的，因此总的磁矩等于零，整块物质 对外不显磁性。但是，若把物体放人外磁场中，外磁场将对分子磁矩有转矩作用 T=m×B(T 为分 子磁矩在外磁场 B 作用下受到的转矩)，可见分子磁矩总是力图使自己的方向与外磁场的方向一致， 使得分子磁矩的排列比较有序化。这样，总的磁矩不再等于零，因而整块物质便呈现磁性，这种现 象称为物质的磁化，亦称媒质的磁化 。 为了描述媒质磁化的状态，定义一个称为磁化强度的矢量，并用 M 表示之。它表示媒质中每 单位体积内所有分子磁矩的矢量和，即 二 恒定磁场的基本方程，分界面上的衔接条件 恒定磁场的基本方程 磁通连续性原理和安培环路定律表征了恒定磁场的基本性质。不论导 磁媒质分布情况如何，凡是恒定磁场，都具备这两个特性。这里把它们的 表达式列出 并称它们为恒定磁场的(积分形式的)基本方程。B 和 H 这两个场量，一般 地可由关系式 相联系，对于各向同性的线性媒质，它们有下式所示的关系，即
B=u 分界面上的衔接条件 磁场强度和磁感应强度在两种不同媒质分界面上必须满足的衔接条 件。 H。-Ha=R 三磁失位 由于磁场的无散性，可以引入一个矢量函数A使 B=VxA 这个矢量函数A称为恒定磁场的磁矢位，亦称矢量磁位。磁矢位A满 足矢量形式的泊松方程。 2A=-四 四磁位 磁位 恒定磁场的基本方程之一×=说明恒定磁场不同于静电场，它不是一个无旋场。因此， 一服地说，不能通过一个标量位函数来表征磁场的特性。不过，在没有电流分布的区域内，传导电 流密度J=0,则 V×H=0 因此在传导电流为零的区域内，可假设 H=-Vp
分界面上的衔接条件 磁场强度和磁感应强度在两种不同媒质分界面上必须满足的衔接条 件。 三 磁矢位 由于磁场的无散性，可以引入一个矢量函数 A 使 这个矢量函数 A 称为恒定磁场的磁矢位，亦称矢量磁位。磁矢位 A 满 足矢量形式的泊松方程。 四 磁位 1 磁位 恒定磁场的基本方程之一 说明恒定磁场不同于静电场，它不是一个无旋场。因此， 一般地说，不能通过一个标量位函数来表征磁场的特性。不过，在没有电流分布的区域内，传导电 流密度 J＝0，则 因此在传导电流为零的区域内，可假设
式中？表示磁位，亦称标量磁位。引入磁位的概念完全是为了使某些情况 下磁场的计算简化，它并无物理意义。 磁场中，两点间的磁压定义为 Ue=H,dl=-dp。=pa-Pa 在磁场中，A、B两点间的磁压，要随积分路径而变。这样，对于磁场 中任意一点来说，即使参考点已选定，其磁位仍是一个多值函数。磁位的 多值性，对于计算磁感应强度和磁场强度并没有影响。另外还可以作一些 规定来消除多值性。例如，在电流回路引起的磁场中，可以规定积分路线 不准穿过回路所限定的面，即所谓磁屏障面。使磁场中各点的磁位成为单 值函数，两点间的磁压，也就与积分路径无关了。 2磁位的边值问题 在均匀媒质中，磁位也满足拉普拉斯方程。 V2%=0 两种不同媒质分界面上的衔接条件，也可以用磁位表示，它们是 见1=92 和 4答=4器 两式与场域边界条件一起就构成了用磁位描述恒定磁场的边值问题。但是 在应用时，还须考虑在该区域内，磁位的存在条件（即应注意在有电流分 布的区域里，不能引用磁位)。 五镜像法
式中 表示磁位，亦称标量磁位。引入磁位的概念完全是为了使某些情况 下磁场的计算简化，它并无物理意义。 磁场中，两点间的磁压定义为 在磁场中，A、B 两点间的磁压，要随积分路径而变。这样，对于磁场 中任意一点来说，即使参考点已选定，其磁位仍是一个多值函数。磁位的 多值性，对于计算磁感应强度和磁场强度并没有影响。另外还可以作一些 规定来消除多值性。例如，在电流回路引起的磁场中，可以规定积分路线 不准穿过回路所限定的面，即所谓磁屏障面。使磁场中各点的磁位成为单 值函数，两点间的磁压，也就与积分路径无关了。 2 磁位的边值问题 在均匀媒质中，磁位也满足拉普拉斯方程。 两种不同媒质分界面上的衔接条件，也可以用磁位表示，它们是 和 两式与场域边界条件一起就构成了用磁位描述恒定磁场的边值问题。但是 在应用时，还须考虑在该区域内，磁位的存在条件(即应注意在有电流分 布的区域里，不能引用磁位)。 五 镜像法
求解恒定磁场问题，通常可归结为求解满足给定边值条件的泊松方程 或拉普拉斯方程的问题。根据磁场问题解答的唯一性，可以应用与静电场 相似的镜像法来求解恒定磁场的问题。 如有两种媒质，磁导率分别为4和4，在媒质1内置有电流为1的无 限长直导线，且平行于分界面，如下图()所示。求解两种媒质内的磁 场。 (a) 6) 对照静电场的镜像法，要求解媒质1中的场，可考虑整个场都充满导 磁媒质小，而其中的场是由线电流1和像电流”，共同产生的，如图(6) 所示。同样，对于媒质2中的场，则可考虑整个场都充满导磁媒质4，其 中的场由像电流·所产生，如图(c)所示。这样不论对媒质1区域还是媒 质2区域，位函数所满足的方程都没有改变。如果在两种媒质分界面上满 足衔接条件，则原来场中的一切条件都得到满足。 这里要注意，在上面两式中，”和”的参考方向都规定和I的参考方 向一致。可以看出，”总是正的，即它的方向总是和I的方向一致：但”的 方向要看(4一4)的正负而定。 大电感
求解恒定磁场问题，通常可归结为求解满足给定边值条件的泊松方程 或拉普拉斯方程的问题。根据磁场问题解答的唯一性，可以应用与静电场 相似的镜像法来求解恒定磁场的问题。 如有两种媒质，磁导率分别为 和 ，在媒质 1 内置有电流为 I 的无 限长直导线，且平行于分界面，如下图（a）所示。求解两种媒质内的磁 场。 对照静电场的镜像法，要求解媒质 1 中的场，可考虑整个场都充满导 磁媒质小，而其中的场是由线电流 I 和像电流 ，共同产生的，如图 (b) 所示。同样，对于媒质 2 中的场，则可考虑整个场都充满导磁媒质 ，其 中的场由像电流 所产生，如图 (c)所示。这样不论对媒质 1 区域还是媒 质 2 区域，位函数所满足的方程都没有改变。如果在两种媒质分界面上满 足衔接条件，则原来场中的一切条件都得到满足。 这里要注意，在上面两式中， 和 的参考方向都规定和 I 的参考方 向一致。可以看出， 总是正的，即它的方向总是和 I 的方向一致；但 的 方向要看( — )的正负而定。 六 电感
电感器的电感是电路理论中的基本参数之一，它有自感和互感之分。 1自感 在各向同性的线性媒质中，如磁场由某一电流回路产生，则穿过此回 路所限定面积的磁通，与回路中的电流有正比关系，也就是与回路相交链 的磁链4和电流成正比，即 %= 上-当 式中的%为自感磁链，L为自感系数，简称自感 2互感 在线性媒质中，由回路1的电流1所产生而与回路2相交链的磁链% 和1成正比，即 %=M 或 M=会 式中∑H队=N以回路1对回路2的互感。同理，回路2对回路1的互感可表示为 从=2 以上三个式子中的%和%都表示互感磁链，它们下标的第一个数字表示 与磁通交链的回路，第二个数字表示引起磁通的电流回路。可以证明
电感器的电感是电路理论中的基本参数之一，它有自感和互感之分。 1 自感 在各向同性的线性媒质中，如磁场由某一电流回路产生，则穿过此回 路所限定面积的磁通，与回路中的电流有正比关系，也就是与回路相交链 的磁链 和电流成正比，即 或 式中的 为自感磁链，L 为自感系数，简称自感 2 互感 在线性媒质中，由回路 1 的电流 Il所产生而与回路 2 相交链的磁链 和 Il成正比，即 或 式中 回路 1 对回路 2 的互感。同理，回路 2 对回路 1 的互感可表示为 以上三个式子中的 和 都表示互感磁链，它们下标的第一个数字表示 与磁通交链的回路，第二个数字表示引起磁通的电流回路。可以证明
互感不仅和线圈及导线的形状、尺寸和周围媒质及导线材料的磁导率有 关，还和两回路的相互位置有关。 七磁场能量与力 静电场中储存有能量，恒定磁场中也储存有能量。这些能量是在电场 或磁场建立过程中，由外源作功转换而来的。 1恒定磁场中的能量 假设磁场和电流的建立过程都缓慢进行，周围均为线性媒质，且没有 电磁能量辐射及其它损耗。这样，外源所做的功都转变为磁场中储存的能 量。 对于个电流回路组成的系统，磁场能量的表达式为： 或取-4号+.4+h4+M人 对更普遍的情况，电流不是限制在线性导体内，而是分布在导电媒质内， 形。=，H.Bdn 这一结果与静电能量的表达式完全类似。对比静电能量体密度同样的 讨论，由下式可以推出磁场能量的体密度为 成=号HB 2磁场力
互感不仅和线圈及导线的形状、尺寸和周围媒质及导线材料的磁导率有 关，还和两回路的相互位置有关。 七 磁场能量与力 静电场中储存有能量,恒定磁场中也储存有能量。这些能量是在电场 或磁场建立过程中，由外源作功转换而来的。 1 恒定磁场中的能量 假设磁场和电流的建立过程都缓慢进行，周围均为线性媒质，且没有 电磁能量辐射及其它损耗。这样，外源所做的功都转变为磁场中储存的能 量。 对于 n 个电流回路组成的系统，磁场能量的表达式为： 或 对更普遍的情况，电流不是限制在线性导体内，而是分布在导电媒质内， 这一结果与静电能量的表达式完全类似。对比静电能量体密度同样的 讨论，由下式可以推出磁场能量的体密度为 2 磁场力
酸场作用于元电流段1d的力为df=ld×B,磁场作用于载流回路的力为F=×B。原则上， 磁场力都可归结为磁场作用于元电流段的力，但这样需用矢量积分式来计 算，通常是很繁复的。如能像静电场中讨论过的那样，应用虚位移法求磁 场力，则在很多问题中都可以简化计算 设有n个载流回路所构成的系统，它们分别与电压为，2，.，U ,的外源相联，且分别通有电流1,12，.，1。假设除了第P号回路外， 其余都固定不动，且回路P也只能这样运动，即仅有一个广义坐标g发生 变化，这时在该系统中发生的功能过程是 dwy=dw+fdg 即所有电源提供的能量等于磁场能量的增量加上磁场力所作的功。上式中 的dm可表示成 dw -he 下面分别讨论两种情况： (1)假定各回路中的电流保持不变，即【，=常量，这时根据下式，有 k-挖m 可见dk4=d，即外源提供的能量，有一半作为磁场能量的增量，另一半用于作机 械功，即 fig=dwc 由此可得广义力
磁场作用于元电流段 Idl 的力为 df＝Idl×B，磁场作用于载流回路的力为 。原则上， 磁场力都可归结为磁场作用于元电流段的力，但这样需用矢量积分式来计 算，通常是很繁复的。如能像静电场中讨论过的那样，应用虚位移法求磁 场力，则在很多问题中都可以简化计算。 设有 n 个载流回路所构成的系统，它们分别与电压为 U1，U2，.， U n的外源相联，且分别通有电流 I1，I2，.，In 。假设除了第 P 号回路外， 其余都固定不动，且回路 P 也只能这样运动，即仅有一个广义坐标 g 发生 变化，这时在该系统中发生的功能过程是 即所有电源提供的能量等于磁场能量的增量加上磁场力所作的功。上式中 的 dW 可表示成 下面分别讨论两种情况： （1） 假定各回路中的电流保持不变，即 Ik＝常量，这时根据下式，有 可见 ， 即外源提供的能量，有一半作为磁场能量的增量，另一半用于作机 械功，即 由此可得广义力
(2)假定与各回路相交链的磁链保持不变，即常量，这时W也为零， 即外源提供的能量为零。根据下式，有 fdg =-dwmvc 从而得广义力 此时，磁场力作功只有靠系统内磁场能量的减少来完成。 (1)与(2)两式所得的都是在当时的电流和磁链情况下的力，因此，两 者是相等的，即 g 在实际问题中，有时只要求计算某一系统中的相互作用力，这时，只 要写出它们相互作用能的表达式，然后求偏导数即可。 八磁路及其计算 当磁场中存在有磁导率极高的材料（例如铁磁材料，又称铁磁质。它的 “>4,甚至大到几千、几万倍)时，将显著地影响并改变磁场的分布。求 解这类磁场问题一般是颇复杂的，但在工程应用上，常可作近似计算，把 磁场简化为磁路来处理。 1铁磁质和非铁磁质的分界面·磁路 现在讨论铁磁质与真空（或非铁磁质）分界面处磁场分布的特征。设分
（2） 假定与各回路相交链的磁链保持不变，即 常量，这时 dW 也为零， 即外源提供的能量为零。根据下式，有 从而得广义力 此时，磁场力作功只有靠系统内磁场能量的减少来完成。 （1）与（2）两式所得的都是在当时的电流和磁链情况下的力，因此，两 者是相等的，即 在实际问题中，有时只要求计算某一系统中的相互作用力，这时，只 要写出它们相互作用能的表达式，然后求偏导数即可。 八 磁路及其计算 当磁场中存在有磁导率极高的材料(例如铁磁材料，又称铁磁质。它的 ，甚至大到几千、几万倍)时，将显著地影响并改变磁场的分布。求 解这类磁场问题一般是颇复杂的，但在工程应用上，常可作近似计算，把 磁场简化为磁路来处理。 1 铁磁质和非铁磁质的分界面·磁路 现在讨论铁磁质与真空(或非铁磁质)分界面处磁场分布的特征。设分
界面媒质2一侧为铁磁质，媒质1一侧为真空或非铁磁质。由磁场的折射 规律，分界面两侧处磁感应强度的方向满足 ■名会始 由于两种媒质磁导率相差悬珠1，而%可达数千甚至数十万，因而 除==0的特殊情况外，一般总有4<且常常是乌0,0。这样铁 磁 非磁性物质 分界面 铁磁质 B线集中在铁磁体内部质内B线几乎与分界面平行，而 且也非常 密集%越大，越接近于90，B线就越接近于与表面平行，从而漏到外面 的磁通越小，即B在铁磁质内远大于其外，如下图所示。这种磁感应线分 布的特征可以形象地比喻为“B线沿铁走”，或定性地说：铁磁质具有把 B线聚集于自己内部的性质。 利用上述铁磁质与非铁磁质分界面处磁场分布的特征，如果铁磁质为 闭合或基本闭合的形状，就会使B线基本上聚集在铁心内部。这一情况与 电流几乎全部集中在导体内部相似。由于电流流经的区域称为电路，故把 能使磁通集中通过的区域称为磁路。例如，图()所示为一个没有铁心的 载流线圈产生的B线是弥散在整个空间的，若把同样的载流线圈绕在一个 闭合或基本闭合的铁心上（图(6）或(c),则不仅磁通量大大增加，而且这 时绝大部分B线都集中于铁心内部且沿着铁心走向分布。这样，闭合的铁 心或开有狭窄空气隙的铁心成为B线的主要通路，也就是所称的磁路。 磁路与电路有一系列对应的概念。磁路中的磁通少对应于电路中的电
界面媒质 2 一侧为铁磁质，媒质 1 一侧为真空或非铁磁质。由磁场的折射 规律，分界面两侧处磁感应强度的方向满足 由于两种媒质磁导率相差悬珠 ，而 可达数千甚至数十万，因而 除 的特殊情况外，一般总有 且常常是 ， 。这样铁 磁 质内 B 线几乎与分界面平行，而 且也非常 密集 越大， 越接近于 ，B 线就越接近于与表面平行，从而漏到外面 的磁通越小，即 B 在铁磁质内远大于其外，如下图所示。这种磁感应线分 布的特征可以形象地比喻为“B 线沿铁走”，或定性地说：铁磁质具有把 B 线聚集于自己内部的性质。 利用上述铁磁质与非铁磁质分界面处磁场分布的特征，如果铁磁质为 闭合或基本闭合的形状，就会使 B 线基本上聚集在铁心内部。这一情况与 电流几乎全部集中在导体内部相似。由于电流流经的区域称为电路，故把 能使磁通集中通过的区域称为磁路。例如，图(a)所示为一个没有铁心的 载流线圈产生的 B 线是弥散在整个空间的，若把同样的载流线圈绕在一个 闭合或基本闭合的铁心上(图(b)或(c))，则不仅磁通量大大增加，而且这 时绝大部分 B 线都集中于铁心内部且沿着铁心走向分布。这样，闭合的铁 心或开有狭窄空气隙的铁心成为 B 线的主要通路，也就是所称的磁路。 磁路与电路有一系列对应的概念。磁路中的磁通 对应于电路中的电