静电场 *1.5分离变量法 Separation Variable Method 1.分离变量法的思想 把一个包含多个自变量的函数用含单个自变量的函数的乘 积表示，从而将偏微分方程分离为几个常微分方程分别求解， 最后利用边界条件确定积分常数，得到级数形式的解。 分离变量法解题的一般步骤： 写出边值问题（微分方程和边界条件）； 分离变量，将偏微分方程分离成几个常微分方程； 解常微分方程，并叠加得到通解； 上页 下页
第 一 章 静 电 场 *1.5 分离变量法 Separation Variable Method 上 页 下 页 1. 分离变量法的思想 把一个包含多个自变量的函数用含单个自变量的函数的乘 积表示，从而将偏微分方程分离为几个常微分方程分别求解， 最后利用边界条件确定积分常数，得到级数形式的解。 分离变量法解题的一般步骤： 写出边值问题（微分方程和边界条件）； 分离变量，将偏微分方程分离成几个常微分方程； 解常微分方程，并叠加得到通解；
利用边界条件确定积分常数，最终得到电位的解。 分离变量法采用正交坐标系，当场域池界与正 交坐标面重合或平行时，分离变量法是一种有效 的方法。 2.直角坐标系中的分离变量法（二维场) 0= ∂0,80 0 分离变量，设解答为：p(x,y)=P(x)p2(y） 代入微分方程 de+o dy =0 dx" 上页 下页
第 一 章 静 电 场 利用边界条件确定积分常数，最终得到电位的解。 上 页 下 页 分离变量法采用正交坐标系，当场域边界与正 交坐标面重合或平行时，分离变量法是一种有效 的方法。 2. 直角坐标系中的分离变量法（二维场） 0 2 2 2 2 2 = + = x y 分离变量，设解答为： ( , ) ( ) ( ) x y =1 x 2 y 0 d d d d 2 2 2 2 1 1 2 2 + = x y 代入微分方程
除以01p2 1d+ 1 d'p =0 2 dx2 分离常数 设 d p dx P, 分离常数的取值有三种情况： d"P λ=0 dx P=A+Bx 92=C,+D dv? 特解1 P。=0(x)0(y)=(A+B。x)(C。+Dy） 上页 下页
第 一 章 静 电 场 2 2 =－ 2 2 d 1 d y ， 2 = 1 2 1 d 1 d x 设 分离常数的取值有三种情况： (1) λ = 0 0 d d 0 d d 2 2 2 2 1 2 = = y x 上 页 下 页 0 d 1 d d 1 d 2 2 2 2 2 1 2 1 + = x y 除以12 分离常数 C D y A B x 2 0 0 1 0 0 = + = + ( ) ( ) ( )( ) 0 1 2 0 0 0 0 特解1 = x y = A + B x C + D y
静电场 (2) 2=k,2>0 指数函数 g dx2 k =A,chk,x+B,shk,x 1d42 =-kn2 2=C,cosk,y+D,sin k 4d2 特解2 =P (4,chk,x+B,shk,x)C cosky+D,sin ky) 上页 下页
第 一 章 静 电 场 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 d d 1 d d n n k x k y = = − 上 页 下 页 (2 0 指数函数 2 ) = k n A k x B k x n n n n 1 = ch + sh C k y D k y n n n n 2 = cos + sin 特解2 (A k x B k x)(C k y D k y) n n n n n n n n n c h s h cos sin 1 2 = + + =
电场 (3) 元=-k2<0 1 do 2 dx2 =A.coskx+B'sin kx 1 d'p=ki =Cchky+D'shk,y 特解3 0,=pp3 =(A,cosk,x+B'sin k,x)C,chk,y+D'shk,y) 上页 下页
第 一 章 静 电 场 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 d 1 d d 1 d n n k y k x = = − 上 页 下 页 (3) 0 2 ＝− k n C k y D k y n n n n 2 = ch + sh A k x B k x n n n n 1 = cos + sin 特解3 (A cos x B sin x)(C c h y D s h y) 1 2 n n n n n n n n n = k + k k + k =
静电场 通解为所有特解的叠加 p=p(x)0(y)=(A,+B。x)(C+Dy) (4.chk,x+B,shk,x)(C cosky+Dsinky) (4'cosk,+B,'sin kx(C,'chk+D.'shky) 对于具体问题，根据边界条件确定积分常数， 积分常数的确定一般有： 比较系数法 ② 傅立叶级数展开法 上页 下页
第 一 章 静 电 场 ( c h s h )( cos sin ) 1 A k x B k x C k y D k y n n n n n n n n + n + + = ( ) ( ) ( )( ) 1 2 0 0 0 0 = x y = A + B x C + D y 通解为所有特解的叠加 上 页 下 页 ( 'cos 'sin )( 'c h 's h ) 1 A k x B k x C k y D k y n n n n n n n n + n + + = 对于具体问题，根据边界条件确定积分常数， 积分常数的确定一般有： ① 比较系数法 ② 傅立叶级数展开法
例 试求长直接地金属槽内电位的分布。 解 边值问题(D域内) =0 9=100Sinx Ox" p=0 D 0=0 1x=0,0≤y≤a 0 =0 p=0日 a =0.0≤x≤a 接地金属槽的截面 =0 =a.0≤y≤d =100sin二x v-a,0<x<a a 上页 下页
第 一 章 静 电 场 试求长直接地金属槽内电位的分布。 边值问题（D 域内） 接地金属槽的截面 x a y a x a x a y a y x a x y a π 100 sin 0 0 0 ,0 ,0 0,0 0,0 = = = = = = = = 上 页 下 页 例 解 0 2 2 2 2 2 = + = x y
p=p(x)p(y)=(A,+B,x)(C。+D,y〉 (k+Bsk,C cosky+Dsink) (+B'snk)C'chk+D'shk y) 代入边界条件，确定积分常数 9沿x方向作正弦变化，A,=B,=An=0 0 0=(A+Bx)(C。+Dy) shx sin(k,)C,'chk,y+D,'shk,) 双曲函数 上页 下页
第 一 章 静 电 场 代入边界条件，确定积分常数 沿 x方向作正弦变化， An = Bn = An = 0 上 页 下 页 双曲函数 ( c h s h )( cos sin ) 1 A k x B k x C k y D k y n n n n n n n n + n + + = ( ) ( ) ( )( ) 1 2 0 0 0 0 = x y = A + B x C + D y ( 'cos 'sin )( 'c h 's h ) 1 A k x B k x C k y D k y n n n n n n n n + n + + = ( )( ) 0 0 0 0 = A + B x C + D y sin( )( 'c h 's h ) 1 k x C k y D k y n n n n n n + + =
+∑sin()(Cchk,y+D.'shk)） 1）90s=0 2)9,0=0 k,a=π(n=1,2,3. (n=1,2,3.） sin()sh 上页 下页
第 一 章 静 电 场 ( 1,2,3 ) π = n = a n k n 1 π π ( , ) sin( )sh n n n n x y D x y a a = = 上 页 下 页 ( )( ) 0 0 0 0 = A + B x C + D y sin( )( 'c h 's h ) 1 k x C k y D k y n n n n n n + + = 0 0,0 = x= ya 1） 0 ,0 = x=a ya 3） 0 0,0 = y= xa 2） k a = nπ (n =1,2,3) n
静电场 o(x,)=之Dsim(匹xsh匹 元 4),a0ea =100 sin x a I0sng-Pnm-sn受： 比较系数 当n=1时， Dshπ=100 D'= 100 h元 当n≠1时， D,=0 (x)= 100 a 上页下页
第 一 章 静 电 场 1 π π 100sin sh( n π) sin n x n D n x a a = = 比较系数 当 n 1 时， D n = 0 y a x sh a x y π )s h π sin( 100 ( , ) = 当 n =1 时， 1 Dshπ =100 1 100 shπ D = n 1 π π ( , ) sin( )sh n n n x y D x y a a = = 上 页 下 页 x a y a x a π 100 sin ,0 = = 4）