失量分析 第0章矢量分析 Vector Analysis 标量场和矢量场 标量场的梯度 矢量场的通量与散度 矢量场的环量与旋度 玄姆霍茨定理 返回 下页
第 零 章 矢 量 分 析 标量场和矢量场 标量场的梯度 矢量场的通量与散度 矢量场的环量与旋度 亥姆霍茨定理 第0章 矢量分析 返 回 下 页 Vector Analysis
0.0 矢量代数 1.标量和矢量 标量：一个只用大小描述的物理量。 矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示 矢量的代数表示：A=e4A=eA 矢量的大小或模：A= 矢量的单位矢量：e4= 矢量的几何表示 常矢量：大小和方向均不变的矢量。 注意：单位矢量不一定是常矢量
第 零 章 矢 量 分 析 1. 标量和矢量 矢量的大小或模： A A = 矢量的单位矢量： 标量：一个只用大小描述的物理量。 A A eA = 矢量的代数表示： A eA A eA A = = 0.0 矢量代数 矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示 注意：单位矢量不一定是常矢量。 A 矢量的几何表示 常矢量：大小和方向均不变的矢量
上分析 矢量用坐标分量表示 A-Ae,A,e,Ae. A=Acosa A=AcosB A.Acosy A=4A(e,cosa+e,cos阝+e.cosy） e=e,cosa+e,cos B+e.cosy
第 零 章 矢 量 分 析 x x y y z z A A e A e A e = + + A A A A A A x y z = = = cos cos cos ( cos cos cos ) x y z A A e e e = + + cos cos cos A x y z e e e e = + + 矢量用坐标分量表示 z Ax A Ay Az x y
2.矢量的代数运算 (1)矢量的加减法 两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻 边的平行四边形的对角线如图所示。 A 在直角坐标系中两矢量的加法和减法： 矢量的加法 A±B=e,(A±B,)+e,(A,±B,)+e(A.±B) 矢量的加减符合交换律和结合律 B 交换律A+B=B+A B 结合律A+(B+C)=(A+B)+C 矢量的减法
第 零 章 矢 量 分 析 （1）矢量的加减法 ( ) ( ) ( ) x x x y y y z Az Bz A B = e A B + e A B + e 两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻 边的平行四边形的对角线,如图所示。 矢量的加减符合交换律和结合律 2. 矢量的代数运算 矢量的加法 A B + A B 矢量的减法 A B − A B B − 在直角坐标系中两矢量的加法和减法： 结合律 A B C A B C + + = + + ( ) ( ) 交换律 A B B A + = +
第零章 分桥 (2)标量乘矢量 kA=e kA+ekA,+e.kA (3)矢量的标积（点积） A.B=ABCOS0=AB,+A,B+A.B. 矢量A与B的夹角 AB=B.A—矢量的标积符合交换律 A1B◆AB=0A∥B◆A.B=AB exe,=e,e=e·ex=0 exex=e,y·e,=ee。=l1
第 零 章 矢 量 分 析 （2）标量乘矢量 （3）矢量的标积（点积） x x y y z z kA e k A e k A e k A = + + A B = AB = Ax Bx + Ay By + Az Bz cos AB = B A ——矢量的标积符合交换律 ex ex = ey ey = ez ez =1 ex ey = ey ez = ez ex = 0 A B 矢量 A 与 的夹角 B A⊥B A B = 0 A B // AB = AB
(4)矢量的矢积（叉积） Ax B=e ABsin 0 用坐标分量表示为 AxB=e(A,B.-A.B,)+e,(A.B,-AB.)+@.(ABy-A,B,) 写成行列式形式为 e, e A×B=A A×B A B By B B AB sin 0 AxB=-BxA A 若A⊥B,则A×B=AB 矢量A与B的叉积 若AWB,则A×B=0
第 零 章 矢 量 分 析 （4）矢量的矢积（叉积） A B en ABsin = ( ) ( ) ( ) x y z z y y z x x z z Ax By Ay Bx AB = e A B − A B + e A B − A B + e − x y z x y z x y z B B B A A A e e e A B = A B B A = − AB sin A B B A 矢量 A 与 的叉积 B 用坐标分量表示为 写成行列式形式为 A B ⊥ AB = AB 若 ，则 A B // A B = 0 若 ，则
第零 分析 (5)矢量的混合运算 (4+B)C=4.C+B.C 分配律 (A+B)xC=AxC+BxC— 分配律 A·(BxC=B.(Cx④=C.(AxB 标量三重积 Ax(BxC)=(A4.C)B-(4.B)C 矢量三重积
第 零 章 矢 量 分 析 （5）矢量的混合运算 A B C A C B C ( + ) = + A B C A C B C ( + ) = + A (B C) B (C A) C (A B) = = A B C A C B A B C ( ) = ( ) − ( ) —— 分配律 —— 分配律 —— 标量三重积 —— 矢量三重积
3.三种常用的正交曲线坐标系 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正 交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为 坐标变量。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐 标系、圆柱坐标系和球面坐标系
第 零 章 矢 量 分 析 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。 3. 三种常用的正交曲线坐标系 在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐 标系、圆柱坐标系和球面坐标系。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正 交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为 坐标变量
失量分析 (1)直角坐标系 二（平面 坐标变量 x,y,2 坐标单位矢量e,e, 点P(x6,Z0) 位置矢量 r=e,x+@,y+e.z y=%(平面) x=x（平面) 线元矢量 直角坐标系 dl=e,dx+e,dy+e.d正 dS.=e.dxdy 面元矢量 ds,=edl,dl.=e,dydz d- dS,=e,dxdz ds,e,dl dl.=e,dxdz dx ds.=edl dl,=e.dxdy dydS,=edd 体积元 d=dxdydz 直角坐标系的长度元、面积元、体积元
第 零 章 矢 量 分 析 （1）直角坐标系 r e x e y e z x y z 位置矢量 = + + 面元矢量 线元矢量 l e x e y e z x y z d d d d = + + S e l l e y z d x x d y d z x d d = = S e l l e x y d z z d x d y z d d = = 体积元 dV = dxdydz S e l l e x z y y x z y d d d d d = = 坐标变量 x, y,z 坐标单位矢量 x y z e e e , , 点P(x0 ,y0 ,z0 ) 0 y = y （平面） o x y z 0 x = x （平面） 0 z = z （平面） P 直角坐标系 x e z e y e x y z 直角坐标系的长度元、面积元、体积元 o dz d y dx S e y z d x x d d = S e x y d z z d d = S e x z d y y d d =
矢量分析 (2)圆柱面坐标系 20(平面) 坐标变量 D,中，2 P,z0） 坐标单位矢量 ep.es.e. P=P(圆柱面)☑ 位置矢量 r=ep+e.z 中=（半平面） 线元矢量 dl=e,dp+epdp+ed正 面元矢量 dS。=e,dl,dl=enpd dS。=edl,dl=e,dpd ds.=edl,dl,=epdpdo 体积元 dy pdpdodz
第 零 章 矢 量 分 析 （2）圆柱面坐标系 d d d d d d d d d d d d d d d z z z z z S e l l e S e l l e z S e l l e z = = = = = = 坐标变量 ,,z z e e e , , 坐标单位矢量 r e e zz 位置矢量 = + l e e e z z d d d d 线元矢量 = + + 体积元 dV = dddz 面元矢量