第五章准静态电磁场 导言 aB 时变电磁场中，当感应电场远小于库仑电场（即可忽略）时，称为电准静态 D 场（记作QS)；当位移电流密度远小于传导电流密度（即可忽略）时，称为磁 准静态场（记作MQS)。电准静态场和磁准静态场统称为准静态电磁场（简称准静 态场)，都具有静态场的一些性质。本章首先讨论它们的特点、各自的基本方程 组和判别方法，以及与电路理论的关系。本章着重讨论导体中的准静态电磁场问 题：()电准静态场，包括自由电荷在导体中的弛豫过程和自由电荷在分界面上 的积累过程：(2)磁准静态场，包括导体中的电流流动、涡流和磁扩散过程。本 章对集肤效应、邻近效应和电磁屏蔽等现象定性地作了说明。还介绍了导体的交 流内阻抗概念。 一电准静态场与磁准静态场 各种宏观电磁现象都可用特定条件下的麦克斯韦方程组来描述。例如静电场 和恒定磁场的条件是全部场量都不随时间变化。然而，实际还常常碰到这样的情 那D 况，电磁场虽随时间变化但变化很缓慢，此时麦克斯韦方程组中的或可 以忽略，这样一种随时间缓慢变化的电磁场称为准静态电磁场。 aB D 根据忽略洗或洗的不同，准静态电磁场分作电准静态场和磁准静态场两 类。它们的特点是：都属时变电磁场但却具有静态场的一些性质。 1.电准静态场
第五章 准静态电磁场 导言 时变电磁场中，当感应电场远小于库仑电场(即可忽略 )时，称为电准静态 场(记作 EQS)；当位移电流密度远小于传导电流密度(即可忽略 )时，称为磁 准静态场(记作 MQS)。电准静态场和磁准静态场统称为准静态电磁场(简称准静 态场)，都具有静态场的一些性质。本章首先讨论它们的特点、各自的基本方程 组和判别方法，以及与电路理论的关系。本章着重讨论导体中的准静态电磁场问 题：(1)电准静态场，包括自由电荷在导体中的弛豫过程和自由电荷在分界面上 的积累过程；(2)磁准静态场，包括导体中的电流流动、涡流和磁扩散过程。本 章对集肤效应、邻近效应和电磁屏蔽等现象定性地作了说明。还介绍了导体的交 流内阻抗概念。 一 电准静态场与磁准静态场 各种宏观电磁现象都可用特定条件下的麦克斯韦方程组来描述。例如静电场 和恒定磁场的条件是全部场量都不随时间变化。然而，实际还常常碰到这样的情 况，电磁场虽随时间变化但变化很缓慢，此时麦克斯韦方程组中的 或 可 以忽略，这样一种随时间缓慢变化的电磁场称为准静态电磁场。 根据忽略 或 的不同，准静态电磁场分作电准静态场和磁准静态场两 类。它们的特点是：都属时变电磁场但却具有静态场的一些性质。 1.电准静态场
在麦克斯韦方程(4一21)中忽略电磁感应项元时，或者说时变电磁场中各 处感应电场E远小于库仑电场卫。，电场呈现无旋时 V×E=7×E。+E:)7×E,=0 (5-1) 这样的电磁场称为电准静态场（记作EQS)。此时，电场可按静态场处理。电准 静态场的微分形式的基本方程组是 7×E0 (5-2) 7×H=J+D (5-3) VD=p (5-4) 7B=0 (5-5) 从上述方程组看出在QS近似下，同静态情况相比，只是磁场的方程发 生变化（此处考虑了位移电流引起的磁场），而电场的方程没有改变。电场强度E 和电通密度D的方程与静电场中对应的方程完全一样。所不同的是，现在E和D 都是时间的函数，但它们和源P之间具有瞬时对应关系，即每一时刻，场和源 之间的关系类似于静电场中场和源的关系。这样只要知道电荷分布，就完全可以 利用静电场的公式，确定出E和D,磁场H能够通过解(5一3)式和(5一5)式得到。 2,磁准静态场 在麦克斯韦方程(4一20)中忽略位移电流密度项时，磁场可按恒定磁 场处理，即
在麦克斯韦方程(4—21)中忽略电磁感应项 时，或者说时变电磁场中各 处感应电场 远小于库仑电场 ，电场呈现无旋时 (5—1) 这样的电磁场称为电准静态场(记作 EQS)。此时，电场可按静态场处理。电准 静态场的微分形式的基本方程组是 (5—2) (5—3) (5—4) (5—5) 从上述方程组看出在 EQS 近似下，同静态情况相比，只是磁场的方程发 生变化(此处考虑了位移电流引起的磁场)，而电场的方程没有改变。电场强度 E 和电通密度 D 的方程与静电场中对应的方程完全一样。所不同的是，现在 E 和 D 都是时间的函数，但它们和源 之间具有瞬时对应关系，即每一时刻，场和源 之间的关系类似于静电场中场和源的关系。这样只要知道电荷分布，就完全可以 利用静电场的公式，确定出 E 和 D，磁场 H 能够通过解(5—3)式和(5—5)式得到。 2.磁准静态场 在麦克斯韦方程(4—20)中忽略位移电流密度项 时，磁场可按恒定磁 场处理，即
7×H=J+0N于 (5-6) 这样的电磁场称为磁准静态场（记作MQS)。磁准静态场的微分形式的基本方 程组是 VxH=J (5-7) (5—8) VD=p (5-9) 7.B=0 (5-10) 从上述方程组看出在MQS近似下，同静态情况相比，只是电场的方程发 生了变化（此处考虑了电磁感应），而磁场的方程没有改变 二电准静态场与电荷驰豫 1.电荷在均匀导体中的驰豫过程 在具有均匀的电导率'和介电常数的导体区域内，电荷守恒原理和高斯定 律确定了整个体积内的自由电荷分布及其随时间的变化规律 p=Po(x.y.z)ete 式中%g,y,2)为t=0时的P， 习称为跑豫时间。这个结果表明，导 体中的自由电荷体密度随时间按指数规律衰减，其衰减的快慢决定于弛豫时间 :。把这个衰减过程称为电荷的弛豫，由于良导体的·远小于1，所以一般可 认为良导体内部无自由电荷的积累，即P=0
(5—6) 这样的电磁场称为磁准静态场(记作 MQS)。磁准静态场的微分形式的基本方 程组是 (5—7) (5—8) (5—9) (5—10) 从上述方程组看出在 MQS 近似下，同静态情况相比，只是电场的方程发 生了变化(此处考虑了电磁感应)，而磁场的方程没有改变 二 电准静态场与电荷弛豫 1.电荷在均匀导体中的弛豫过程 在具有均匀的电导率 和介电常数 的导体区域内，电荷守恒原理和高斯定 律确定了整个体积内的自由电荷分布及其随时间的变化规律。 式中 为 t=0 时的 ， 称为弛豫时间。这个结果表明，导 体中的自由电荷体密度随时间按指数规律衰减，其衰减的快慢决定于弛豫时间 。把这个衰减过程称为电荷的弛豫，由于良导体的 远小于 1，所以一般可 认为良导体内部无自由电荷的积累，即
由于在QS近似下，有7×E0,因此可定义电位函数如下 E=-7g (5-24) 代人(5一4)式，得 g=-8 考虑到(5一23)式，则有 72o=-e% (5-25) 这就是支配电位变化所要求的偏微分方程。对于无限空间处处充满同一种导 电媒质的情况，其解为 e7=人食“w=以 (5-26) 式中三)-成为0时的电位分布。这个结果表明，导体中的电 位分布随时间也按指数规律衰减，其衰减的快慢同样决定于弛豫时间？。 2。电荷在分片均匀导体中的豫过程 当区域中存在分片均匀导体时，自由电荷趋向于聚积在两种导体的分界 面上，这种积累过程是比较复杂的。在分界面两侧，关系式 Ex=Ex台阴=3(6-27)） 和 Da-Du=g台8，Ea-Em=g (5-28)
由于在 EQS 近似下，有 ，因此可定义电位函数如下 (5—24) 代人(5—4)式，得 考虑到(5—23)式，则有 (5—25) 这就是支配电位变化所要求的偏微分方程。对于无限空间处处充满同一种导 电媒质的情况，其解为 (5—26) 式中 为 t=0 时的电位分布。这个结果表明，导体中的电 位分布随时间也按指数规律衰减，其衰减的快慢同样决定于弛豫时间 。 2. 电荷在分片均匀导体中的弛豫过程 当区域中存在分片均匀导体时，自由电荷趋向于聚积在两种导体的分界 面上，这种积累过程是比较复杂的。在分界面两侧，关系式 (5—27) 和 (5—28)
7J+2=0 仍然成立。另外，表示电荷守恒原理 的连续性条件是 -+贤-0 (5-29) 当应用J=E时，这个连续性条件变成 Ga5)+=0 (5-30) (5一28)式和(5一30)式相结合组成一个新的连续性条件 ,BhB)+(eB-5)=0 (5-31) 这个连续性条件和关于切向场的连续性条件（行一27）式，是在分片均匀导体系统 中把表示场的一些解答结合在一起所需要的。 三集肤效应 当交变电流流过导线时，导线周围变化的磁场也要在导线中产生感应电流， 从而使沿导线截面的电流分布不均匀。尤其当频率较高时，此电流几乎是在导线 表面附近的一薄层中流动，这就是所谓的集肤效应现象。 1.尽、H和J的微分方程 在MQS近似中，导体中的位移电流密度远小于传导电流密度，可以忽略不计。 在MQS近似下，导体中任一点电场E、磁场H满足的微分方程为： 72H=9 a (5-42)
仍然成立。另外，表示电荷守恒原理 的连续性条件是 (5—29) 当应用 时，这个连续性条件变成 (5—30) (5—28)式和(5—30)式相结合组成一个新的连续性条件 (5—31) 这个连续性条件和关于切向场的连续性条件(5—27)式，是在分片均匀导体系统 中把表示场的一些解答结合在一起所需要的。 三 集肤效应 当交变电流流过导线时，导线周围变化的磁场也要在导线中产生感应电流， 从而使沿导线截面的电流分布不均匀。尤其当频率较高时，此电流几乎是在导线 表面附近的一薄层中流动，这就是所谓的集肤效应现象。 1. E、H 和 J 的微分方程 在 MQS 近似中，导体中的位移电流密度远小于传导电流密度，可以忽略不计。 在 MQS 近似下，导体中任一点电场 E、磁场 H 满足的微分方程为： (5—42)
8=网号 (5-43) 方程(5一43)式两边同乘以电导率”，并考虑到丁=E，得 图5-7半无限大导体 中的电磁场 时 (5一44) 这就是电流密度J满足的微分方程。 2集肤效应 作为一个例子，图5一7中X>0的半无限大空间为导体，设其中有正弦 变化电流i沿y方向流过，电流密度J只有y分量并在y0z平面上处处相等。现 在研究电流ⅰ在半无限大导体中的分布为 jy=Joe "tei (5-48) 式中 a+a==受0+》 (5-49) 电场强度的解为 B,=0e。a=Eega (5-50) 磁场强度的解可由(5一8)式求得，即 (5-51)
(5—43) 方程(5—43)式两边同乘以电导率 ，并考虑到 ，得 (5—44) 这就是电流密度 J 满足的微分方程。 2 集肤效应 作为一个例子，图 5—7 中 X>0 的半无限大空间为导体，设其中有正弦 变化电流 i 沿 y 方向流过，电流密度 J 只有 y 分量并在 yOz 平面上处处相等。现 在研究电流 i 在半无限大导体中的分布为 (5—48) 式中 (5—49) 电场强度的解为 (5—50) 磁场强度的解可由(5—8)式求得，即 (5—51)
由以上各式看出，电流密度、电场强度和磁场强度的振幅沿导体的纵深都按 指数规律©“衰减，而且相位也随之改变。它说明，当交变电流流过导体时，靠 近导体表面处电流密度大，愈深入导体内部，它们愈小。当频率很高时，它们几 乎只在导体表面附近一薄层中存在，这种场量主要集中在导体表面附近的现象， 称为集肤效应。 工程上常用透入深度d表示场量在良导体中的集肤程度。它等于场量振幅衰 减到其表面值的1/e时所经过的距离。由此定义 ead =e-1 香 (5-52) 这个结果表明，频率越高，导电性能越好的导体，集肤效应越显著。例如，=5 0z时，铜中透入深度为9.4mm:当频率f=5×100z时，透入深度为0.66m。 经过13.8个透入深度距离，场强振幅就衰减到只有表面值的百万分之一。工业 上利用高频电流集中在导体表面的特点，对金属构件进行表面淬火处理，以减小 金属内部的脆性，增加金属表面的硬度等。 四祸流及其损耗 5一4节分析了当导体自身载有电流时，其内部的电流流动及其电磁场的分 布特性。本节将分析导体（自身不载电流）置于外部磁场中时，其内部的电磁场分 布和感应电流（也称涡流）分布。 1.涡流 在许多电工设备中都存在有大块导体（如发电机和变压器的铁心和端盖等）。 当这些大块导体处在变化的磁场中时，其内部都会感应出电流。这些电流的特点
由以上各式看出，电流密度、电场强度和磁场强度的振幅沿导体的纵深都按 指数规律 衰减，而且相位也随之改变。它说明，当交变电流流过导体时，靠 近导体表面处电流密度大，愈深入导体内部，它们愈小。当频率很高时，它们几 乎只在导体表面附近一薄层中存在，这种场量主要集中在导体表面附近的现象， 称为集肤效应。 工程上常用透入深度 d 表示场量在良导体中的集肤程度。它等于场量振幅衰 减到其表面值的 1／e 时所经过的距离。由此定义 得 (5—52) 这个结果表明，频率越高，导电性能越好的导体，集肤效应越显著。例如，f=5 0Hz 时，铜中透入深度为 9.4mm；当频率 时，透入深度为 0.66 。 经过 13.8 个透入深度距离，场强振幅就衰减到只有表面值的百万分之一。工业 上利用高频电流集中在导体表面的特点，对金属构件进行表面淬火处理，以减小 金属内部的脆性，增加金属表面的硬度等。 四 涡流及其损耗 5—4 节分析了当导体自身载有电流时，其内部的电流流动及其电磁场的分 布特性。本节将分析导体(自身不载电流)置于外部磁场中时，其内部的电磁场分 布和感应电流(也称涡流)分布。 1.涡流 在许多电工设备中都存在有大块导体(如发电机和变压器的铁心和端盖等)。 当这些大块导体处在变化的磁场中时，其内部都会感应出电流。这些电流的特点
是：在大块导体内部自成闭合回路，呈旋涡状流动。因此，称之为 涡旋电流，简称涡流。例如，含有圆柱导体芯的螺管线圈中通有 交变电流时，圆柱导体芯中出现的感应电流或涡流，如图5一8所 示。 图5-8涡流 涡流在导体内流动时，会产生损耗从而引起导体发热，故它具 有热效应同样，涡流与其它电流一样也要产生磁场。这个磁场是减弱外磁场的变 化，即涡流又具有去磁效应。涡流的这两个效应既有有利的一面，也有有害的 面。工业上利用涡流的热效应进行金属的加热和治炼，利用涡流的去磁效应制成 电磁闸。然而，有些情况下还需要设法减小涡流。 因此，研究涡流问题具有实际意义。 涡流问题中的电场强度E、磁场强度H和电流密度J同样遵守上一节导得的 微分方程(5一43)式、(5一42)式和(5一44)式。所以，通常也将这些方程称为涡 流方程，或磁扩散方程。它们是研究涡流问题的基础。 2.薄导电平板中的涡流 作为一个例子，研究变压器铁心叠片中的电磁场，如图5一9所示。考虑其 中一片铁片，看成是一薄导电平板，如图5一10所示 图5-9变压器铁心叠片 图5-10薄导电平板 薄板内的磁场强度和磁感应强度分别为 (5-56)
是：在大块导体内部自成闭合回路，呈旋涡状流动。因此，称之为 涡旋电流，简称涡流。例如，含有圆柱导体芯的 螺管线圈中通有 交变电流时，圆柱导体芯中出现的感应电流或涡流，如图 5—8 所 示。 涡流在导体内流动时，会产生损耗从而引起导体发热，故它具 有热效应同样，涡流与其它电流一样也要产生磁场。这个磁场是减弱外磁场的变 化，即涡流又具有去磁效应。涡流的这两个效应既有有利的一面，也有有害的一 面。工业上利用涡流的热效应进行金属的加热和冶炼，利用涡流的去磁效应制成 电磁闸。然而，有些情况下还需要设法减小涡流。 因此，研究涡流问题具有实际意义。 涡流问题中的电场强度 E、磁场强度 H 和电流密度 J 同样遵守上一节导得的 微分方程(5—43)式、(5—42)式和(5—44)式。所以，通常也将这些方程称为涡 流方程，或磁扩散方程。它们是研究涡流问题的基础。 2.薄导电平板中的涡流 作为一个例子，研究变压器铁心叠片中的电磁场，如图 5—9 所示。考虑其 中一片铁片，看成是一薄导电平板，如图 5—10 所示。 薄板内的磁场强度和磁感应强度分别为 (5—56)
B:=Bo chkx (5-57) 可得电场强度和电流密度分别是 ,-8正6 (5-58) iy=-Bok ghkx (5-59) 可以看出磁场在薄板中心处取最小值，这是由于涡流的去磁效应形成的。涡流电流密度反对称于中心处， 中心处为零，在表面处取最大值。还可看出在蒋板内部，电场及磁场的分布并不均匀，愈深入内部，场量 愈小.场的分布比较集中在薄板表面附近，也呈现出集肤效应现象，对电工钢片来说，一般4侧10004 7=1081m,厚度4=05mm分折结果表明当工作频率为了=50时 =0.715×103m9=0.7 d 集肤效应不显著，可以认为B还是沿截面均匀分布的 =4.4 但当工作频事为寸=200：时.d ,钢片中间的B差不多比表面处要小45倍，可见在音时， 已不适宜采用 0.5m厚的钢片了，要用更薄的钢片。因此，在设计工作于音频、超音频等 较高频率的变压器时，必须考虑集肤效应的影响。 最后，计算钢片中的涡流损耗。在体积y中消耗的平均功率为 (5-60) 这里，讨论当频率较低的特殊情况。即当d较小时，则
(5—57) 可得电场强度和电流密度分别是 (5—58) (5—59) 可以看出磁场在薄板中心处取最小值，这是由于涡流的去磁效应形成的。涡流电流密度反对称于中心处， 中心处为零，在表面处取最大值。还可看出在薄板内部，电场及磁场的分布并不均匀，愈深入内部，场量 愈小。场的分布比较集中在薄板表面附近，也呈现出集肤效应现象。对电工钢片来说，一般 ， ，厚度 。分析结果表明，当工作频率为 时， ， ，集肤效应不显著，可以认为 B 还是沿截面均匀分布的。 但当工作频率为 时， ,钢片中间的 B 差不多比表面处要小 4.5 倍。可见在音频时， 已不适宜采用 0.5 mm 厚的钢片了，要用更薄的钢片。因此，在设计工作于音频、超音频等 较高频率的变压器时，必须考虑集肤效应的影响。 最后，计算钢片中的涡流损耗。在体积 y 中消耗的平均功率为 (5—60) 这里，讨论当频率较低的特殊情况。即当 较小时，则
P-aiy (5-61) 式中V是薄板的体积，B是磁感应强度在板厚上的平均值。可以看出，为了 减小涡流损耗，薄板应尽量薄，电导率应尽量小。因此，交流电器的铁心都是由 彼此绝缘的硅钢片叠装而成的。但当频率高到一定程度后，（⑤一61）式就不正确 了，采用薄板形式也不适宜了，而应该用粉状材料压制而成的铁心。 五导体的交流内阻抗 在交流情况下，由于集肤效应的出现，电流和电磁场在导体内部的分布集中 于表面附近。在深度大于数个透人深度后，它们都近似等于零。尽管导体截面 相当大，但大部分未得到利用，实际载流截面积减小了。因此，在交流情况下， 导体的电阻和内电感与直流时不同。 如果设导体中通有总电流？，它的等效交流电路参数为Z=R+这，则该导 体消耗的复功率为 1z1=1(R+ 又从坡印亭定理知道，流人该导体的复功率也可表示成 -(⑧xi)as 因此，得导体的等效交流电路参数的计算公式为 2(x (5-62) 式中$为导体的表面，乙称为等效交流阻抗。从上面分析可知，交流阻抗只 计及了导体内部电磁场引起的阻抗，故又称Z为导体的交流内阻抗：
(5—61) 式中 V 是薄板的体积， 是磁感应强度在板厚上的平均值。可以看出，为了 减小涡流损耗，薄板应尽量薄，电导率应尽量小。因此，交流电器的铁心都是由 彼此绝缘的硅钢片叠装而成的。但当频率高到一定程度后，(5—61)式就不正确 了，采用薄板形式也不适宜了，而应该用粉状材料压制而成的铁心。 五 导体的交流内阻抗 在交流情况下，由于集肤效应的出现，电流和电磁场在导体内部的分布集中 于表面附近。在深度大于数个透人深度 d 后，它们都近似等于零。尽管导体截面 相当大，但大部分未得到利用，实际载流截面积减小了。因此，在交流情况下， 导体的电阻和内电感与直流时不同。 如果设导体中通有总电流 ，它的等效交流电路参数为 ，则该导 体消耗的复功率为 又从坡印亭定理知道，流人该导体的复功率也可表示成 因此，得导体的等效交流电路参数的计算公式为 (5—62) 式中 S 为导体的表面，Z 称为等效交流阻抗。从上面分析可知，交流阻抗只 计及了导体内部电磁场引起的阻抗，故又称 Z 为导体的交流内阻抗