1.7镜像法与电轴法 Image Method and Electric Axis Method 镜像法与电轴法的基本思想 根据唯一性定理，用虚设的简单分布电荷替代未知的 复杂分布电荷，把求解偏微分方程的问题转化为求解简单 分布电荷电场的问题。是一种间接计算方法。 1.点电荷对平面导体的镜像 场分布特点： ①平面导体上产生负感应电荷 平面导体 ②电场为两维子午平面场
第 一 章 静 电 场 1 1.7 镜像法与电轴法 Image Method and Electric Axis Method 镜像法与电轴法的基本思想 根据唯一性定理，用虚设的简单分布电荷替代未知的 复杂分布电荷，把求解偏微分方程的问题转化为求解简单 分布电荷电场的问题。是一种间接计算方法。 1. 点电荷对平面导体的镜像 场分布特点： ① 平面导体上产生负感应电荷 ② 电场为两维子午平面场
边值问题 V20=0 y 感应电 荷产生 的电位 D.ds=q 业 -q 上半空间的电位 q 一+0 4π8r 导体平面上 0= 1+0'=0 4πG' 9 4πE' 方程相同，边界条件相同，解唯一
第 一 章 静 电 场 2 边值问题 0 板 ＝ d S = q D S 2 = 0 0 4 q r = + 0 4 q r = − 上半空间的电位 导体平面上 0 0 4 q r = + = 方程相同，边界条件相同，解唯一。 感应电 荷产生 的电位
上半场域的电位和电场 9 9 4πe 4πe'3 q E e,2 4πeo 4π'2 注意 ① -9是虚设的电荷，称为镜像电荷，用来替代导板 上复杂分布的感应电荷的作用； ②镜像电荷应放置在所求区域（有效区)以外； ③ 根据叠加原理，导板上方有任意分布的电荷时也可 作相应的镜像
第 一 章 静 电 场 3 上半场域的电位和电场 p 0 1 0 2 4 4 q q πε r πε r = − ① -q 是虚设的电荷，称为镜像电荷，用来替代导板 上复杂分布的感应电荷的作用； 注意 ② 镜像电荷应放置在所求区域（有效区）以外； ③ 根据叠加原理，导板上方有任意分布的电荷时也可 作相应的镜像。 p r1 r2 p 1 2 2 2 0 1 0 2 E 4 4 r r q q e e πε r πε r = −
0q2 ●q42 91 q1 ●q3 0q3 e91 0-q3 -q2
第 一 章 静 电 场 4 q2 q1 q3 q2 q1 q3 -q2 -q1 -q3 -
例 试求空气中点电荷g在地面引起的感应电荷分布。 解 应用镜像法，地面任意点 E=E+E 0 垂直地面的电场分量 E=29c0s0 gh 4π6r 2π6(h2+x2)32 0,=-D。=-8E=- gh 2π(h2+x2)32 地面上感应电荷的总量为 od=20Gy2=9 -gh
第 一 章 静 电 场 5 地面上感应电荷的总量为 垂直地面的电场分量 E E E = ++ − 2 0 2 4 qcos E r = 2 2 3 2 0 2 / ( ) qh h x = + 0 2 2 3/2 = 2 ( ) p n qh D E h x − = − = − + 2 2 3 2 0 d 2 d 2 / ( ) p S qh S x x h x − = + = −q 试求空气中点电荷q 在地面引起的感应电荷分布。 解 例 应用镜像法，地面任意点 地面电荷分布
镜像法小结 镜像法的理论依据是：静电场唯一性定理； 镜像法的实质是： 用虚设的简单分布的镜像电荷替代未知的复杂分布电荷， 使计算场域为无限大均匀媒质； ③镜像法的关键是： 确定镜像电荷的个数，大小及位置以保证原场的边值 问题不变； ④应用镜像法解题时注意： 镜像电荷只能放在待求场域以外的区域
第 一 章 静 电 场 6 镜像法小结 ① 镜像法的理论依据是： ② 镜像法的实质是： ③ 镜像法的关键是： 镜像电荷只能放在待求场域以外的区域。 用虚设的简单分布的镜像电荷替代未知的复杂分布电荷， 使计算场域为无限大均匀媒质； 静电场唯一性定理； 确定镜像电荷的个数，大小及位置以保证原场的边值 问题不变； ④ 应用镜像法解题时注意：
2.点电荷对球面导体的镜像 点电荷位于接地导体球外 场分布特点： 球面上产生负感应电荷 R ① ② 电场为两维子午平面场 边值问题 导体球外（除9点)空间： V2p=0 ∮D-ds=9 0,→=p球面=0 ∮D-ds=-g
第 一 章 静 电 场 7 2. 点电荷对球面导体的镜像 点电荷位于接地导体球外 0 r → = = 球面 场分布特点： ① 球面上产生负感应电荷 ② 电场为两维子午平面场 边值问题 导体球外（除q点）空间： d S = q D S 2 = 0 d S = −q 球 D S
应用镜像法求解 ①确定镜像电荷的位置 镜像电荷放在求解的 场域外。 ②确定镜像电荷大小球面电位 q'=0 r2=d2+R2-2Rd cos0 4π8o1 4πEo'2 52=b2+R2-2Rbc0s0 将1,2代入方程93+q'r=0,得
第 一 章 静 电 场 8 0 1 0 2 0 4 4 ' p q q r r = − = 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 cos cos r d R Rd r b R Rb = + − = + − ① 确定镜像电荷的位置 ② 确定镜像电荷大小 应用镜像法求解 球面电位 将 r1 , r2 代入方程 qr q r 2 1 + = ' 0 ，得 镜像电荷放在求解的 场域外
[g2(b2+R2)-g2(d2+R2)1+2R(g2d-g"b)cos0=0 q(b2+R2)-q2(d2+R2)=0 g2d-g"b=0 联立求解得 R2 镜像电荷位置 R 镜像电荷大小 镜像电荷等于负感应电荷总量
第 一 章 静 电 场 9 2 2 2 2 2 2 2 2 [ ( ) ' ( )] ( ' )cos q b R q d R R q d q b + − + + − = 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 ( ) ' ( ) ' q b R q d R q d q b + − + = − = 联立求解得 = = = q d R q d b q d R b ' 2 镜像电荷位置 镜像电荷大小 镜像电荷等于负感应电荷总量
球外任一点P的电位与电场为 R 2 er2 d 球外的电场计算 球外的电场分布 g' 9p= qR 4π6o5 4π63 10
第 一 章 静 电 场 10 球外任一点P 的电位与电场为 0 1 0 2 4 4 ' p q q r r = − 2 2 1 2 0 1 0 2 4 4 P r r q qR r dr E e e = − 球外的电场计算 球外的电场分布