第1讲矢量分析与场论导论 矢量分析导论 ·矢性函数 矢性函数的导数与微分 ·矢性函数的积分 ·场论导论 ·场论初窥 数量场的梯度 矢量场的矢量线 XIDIAN.EDU.CN 2009-3-1 lexu@mail.xidian.edu.cn
2009-3-1 lexu@mail.xidian.edu.cn 3 第1讲 矢量分析与场论导论 矢量分析与场论导论 矢量分析导论 • 矢性函数 • 矢性函数的导数与微分 矢性函数的导数与微分 • 矢性函数的积分 矢性函数的积分 场论导论 • 场论初窥 • 数量场的梯度 • 矢量场的矢量线 矢量场的矢量线 XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN
矢量分析导论 矢量 在二维空间或三维空间内的任 点P,存在三个既有天小或称为模) 又有方向特性的量，则称之为实数 矢量； 用黑体A表示，而自体4表示A的大 小（即A的模）方 若用几何图形表示，它是从该点出 发条董有箭头的真线段 直线 段的长度 袭示矢量A的模，箭筋 指向表示该矢量A的方向： 奇著物星整段清奖理单中盛为 度E、磁场强度H、速度等等。 2009-3-1 lexu@mail.xidian.edu.cn 4
2009-3-1 lexu@mail.xidian.edu.cn 4 矢量分析导论 矢量 • 若在二维空间或三维空间内的任一 若在二维空间或三维空间内的任一 点P，存在一个既有大小 ，存在一个既有大小(或称为模) 又有方向特性的量，则称之为实数 又有方向特性的量，则称之为实数 矢量； • 用黑体A表示，而白体A表示A的大 小(即A的模)； • 若用几何图形表示，它是从该点出 若用几何图形表示，它是从该点出 发画一条带有箭头的直线段，直线 发画一条带有箭头的直线段，直线 段的长度表示矢量 段的长度表示矢量A的模，箭头的 指向表示该矢量 指向表示该矢量A的方向； • 矢量一旦被赋予物理单位，便成为 矢量一旦被赋予物理单位，便成为 具有物理意义的矢量， 具有物理意义的矢量， 如电场强 度E、磁场强度H、速度v等等。 P XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN
矢量分析导论 矢性函数 ·自由矢量 ·矢性函数 设t是一数性变量，A为变矢，对于某一区间G[a, b]内的每一个数值A都有之个确定的矢量A(①)与 之对应，则称A为数性变量的矢性函数。记为 A=A(t,t∈G DUC 2009-3-1 lexu@mail.xidian.edu.cn
2009-3-1 lexu@mail.xidian.edu.cn 5 矢量分析导论 矢性函数 • 自由矢量 • 矢性函数 设t是一数性变量， 是一数性变量，A为变矢，对于某一区间 为变矢，对于某一区间G［a, b］内的每一个数值 ］内的每一个数值t, A都有一个确定的矢量 都有一个确定的矢量A (t)与 之对应，则称A为数性变量t的矢性函数。记为 的矢性函数。记为 A = At t G ( ), ∈ v v XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN
矢量分析导论 ■矢性函数的表示 ■矢量分解与组合满足三角法则或者平行四边形法则 ▣利用正交直角坐标系把矢量分解为三个坐标方向的 矢量 ◆ 矢性函数同样可以通过三个坐标轴上的投影分量来 表示，且其分量仍为的函数： A(t0=A,()x+A,()+A()E 其中，x,,分别为x,y,轴正向的单位矢量 2009-3-1 lexu@mail.xidian.edu.cn
2009-3-1 lexu@mail.xidian.edu.cn 6 矢量分析导论 矢性函数的表示： 矢性函数的表示： 矢量分解与组合满足三角法则或者平行四边形法则 矢量分解与组合满足三角法则或者平行四边形法则 利用正交直角坐标系把矢量分解为三个坐标方向的 利用正交直角坐标系把矢量分解为三个坐标方向的 矢量； 矢性函数同样可以通过三个坐标轴上的投影分量来 矢性函数同样可以通过三个坐标轴上的投影分量来 表示，且其分量仍为 表示，且其分量仍为t的函数： 其中， 分别为x，y，z轴正向的单位矢量 轴正向的单位矢量 () () () () ˆ ˆ A xyz t A tx A ty A tz =++ v ) x, , y z ) ) ) XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN
矢量分析导论 矢端曲线： ■将空间中所有矢量起 点固定在坐标原点， 当变化时，矢量的终 点描绘出一条曲线l, 该曲线称为矢性函数 的矢端曲线或图形。 矢性函数表示式也称 为曲线的矢量方程： A=A,(0)R+A,(0+A()月 AN.EDUCK 2009-3-1 lexu@mail.xidian.edu.cn
2009-3-1 lexu@mail.xidian.edu.cn 7 矢量分析导论 • 矢端曲线： 将空间中所有矢量起 将空间中所有矢量起 点固定在坐标原点， 点固定在坐标原点， 当t变化时，矢量的终 变化时，矢量的终 点描绘出一条曲线 点描绘出一条曲线l， 该曲线称为矢性函数 该曲线称为矢性函数 的矢端曲线或图形。 的矢端曲线或图形。 矢性函数表示式也称 矢性函数表示式也称 为曲线l的矢量方程： x )( ˆ y )( ˆ ++= z )( ztAytAxtAA ˆ r XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN
矢量分析导论 ▣矢性函数 ·矢端曲线的参数方程： 下=x(t)龙+y(t)少+z(t)月 矢性函数的终端M是I上的一个动点，其三个坐 标x,y,z随的变化规律分别为： x=A.(t) y=A(t) 曲线的参数方程 T=A 2009-3-1 lexu@mail.xidian.edu.cn
2009-3-1 lexu@mail.xidian.edu.cn 8 矢量分析导论 矢性函数 • 矢端曲线的参数方程： 矢端曲线的参数方程： • 矢性函数的终端 矢性函数的终端M是l上的一个动点，其三个坐 上的一个动点，其三个坐 标x，y，z随t的变化规律分别为： 的变化规律分别为： r xtx yt y ztz = () () () + +ˆ ˆ v ) tAx )( = x tAy )( = y tAz )( = z 曲线l的参数方程 XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN
矢量分析导论 ■ 矢性函数的导数与微分 ·导数 。设A是的矢性函数，当数性变量t在 其定义域内从变到t+△（△t≠0）时， 对应的矢量从4)变化到A(t+△t),则 称△4=A(t+△)-A()为A()对应于△t的 增量。 A 令： lim =lim A(t+△t)-A(t A(t) △A △t→0 △t △1→0 △t A(t+△t) 若极限存在，则称矢性函数在处可 导，且为矢性函数在处的导数。 2009-3-1 9 lexu@mail.xidian.edu.cn
2009-3-1 lexu@mail.xidian.edu.cn 9 矢量分析导论 矢性函数的导数与微分 矢性函数的导数与微分 • 导数 • 设 是t的矢性函数，当数性变量 的矢性函数，当数性变量t在 其定义域内从t变到 时， 对应的矢量从 变化到 ，则 称 为 对应于 的 增量。 • 令： 若极限存在，则称矢性函数在 若极限存在，则称矢性函数在t处可 导，且为矢性函数在 导，且为矢性函数在t处的导数。 tA )( r + Δ Δttt ≠ )0( tA )( r Δ+ ttA )( r tAttAA )()( r r r −Δ+=Δ tA )( r Δt 0 0 ( ) () lim lim t t A At t At t t Δ→ Δ→ Δ +Δ − = Δ Δ r r r O A t( ) v Δ+ ttA )( v A v Δ XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN
矢量分析导论 设矢性函数A0=A,()+A,()D+A0)的三个分 量4,0,40，A0在处均可导，则有： dA △4 0△t =lim △A A 0△ +四 d4+ dA dA dt "dt dt 把一个矢性函数导数的计算转化为三个标量函数的 导数的计算； 。 矢性函数的导数仍为矢量； 2009-3-1 lexu@mail.xidian.edu.cn 10
2009-3-1 lexu@mail.xidian.edu.cn 10 矢量分析导论 • 设矢性函数 的三个分 量 ， ， 在t处均可导，则有： 处均可导，则有： • 把一个矢性函数导数的计算转化为三个标量函数的 把一个矢性函数导数的计算转化为三个标量函数的 导数的计算； • 矢性函数的导数仍为矢量； 矢性函数的导数仍为矢量； x )()( ˆ y )( ˆ ++= z )( ztAytAxtAtA ˆ r tA )( x tA )( y tA )(z z t A y t A x t A t A dt Ad z t y t x t t lim lim ˆ lim ˆ lim ˆ 0 0 0 0 Δ Δ + Δ Δ + Δ Δ = Δ Δ = →Δ →Δ →Δ →Δ r r z dt dA y dt dA x dt dAx y z ˆˆ ++= ˆ XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN
矢量分析导论 ·导矢的几何意义 △t02 指向与△4一致，指向 △ 值增大的方： A(t) A At+△t) △10 △小于0，所以导失仍然指向值增大 N 的一方 A() A(t+△) A M ■△t-→0，割线MN绕M转动，其极限 △t A(t) 位置为M处（即点）的切线，而导矢 △r<0 为处割线向量的极限，即与切线平行 2009-3-1 lexu@mail.xidian.edu.cn
2009-3-1 lexu@mail.xidian.edu.cn 11 矢量分析导论 • 导矢的几何意义 导矢的几何意义 ， 指向与 一致，指向t 值增大的一方； ， 指向与 相反，由于 △t小于0，所以导矢仍然指向t值增大 的一方； ，割线MN绕M转动，其极限 位置为M处（即t点）的切线，而导矢 为t处割线向量的极限，即与切线平行 t >Δ 0 t A Δ Δ r A r Δ Δ <t 0 t A Δ Δ r A r Δ t →Δ 0 XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN
矢量分析导论 导矢的几何意义 dA lim dt 0△ ·综上所述 导矢是矢端曲线在处的切向矢量，其指向对应 增大的一方； dr 为切向单位矢。 d EDU 2009-3-1 lexu@mail.xidian.edu.cn 12
2009-3-1 lexu@mail.xidian.edu.cn 12 矢量分析导论 导矢的几何意义 导矢的几何意义 • 综上所述 • 导矢是矢端曲线在 导矢是矢端曲线在t处的切向矢量，其指向对应 处的切向矢量，其指向对应 t增大的一方 ； • 为切向单位矢。 为切向单位矢。 t A dt Ad t Δ Δ = →Δ r r 0 lim dr ds r XIDIAN UNIVERSITY LEXU@MAIL.XIDIAN.EDU.CN