笫三章动量守恒 目录 1动量与动量定理; 2质心与质心运动定理; 3动量守恒定律; 4变质量物体的运动
1 笫三章 动量守恒 ⒈动量与动量定理； ⒉质心与质心运动定理； ⒊动量守恒定律； ⒋变质量物体的运动. 目 录
牛顿定律表明,力的瞬时效应是受力物体获得加速度,而任 何运动必定经历空间和时间因此,应用牛顿定律于质点组,研 究力作用的时间累积效应与空间累积效应,从中寻求某些规律 便成为动力学理论进一步向前发展的一个方向 (-)动量与动量定理 动量 牛顿第二定律F=4=(m dt dt 定义动量: -v 作用在质点上的外力等于质点动量随时间的变化率。 动量是描述一定运动状态下物体“运动量”的概念,比速 度更能全面、确切地反映物体的运动状态,为状态量。2
2 ㈠ 动量与动量定理 动量是描述一定运动状态下物体“运动量”的概念，比速 度更能全面、确切地反映物体的运动状态，为状态量。 牛顿第二定律 作用在质点上的外力等于质点动量随时间的变化率。 dt d mv dt dp F ( ) = = p mv = 一、动量 定义动量： 牛顿定律表明，力的瞬时效应是受力物体获得加速度，而任 何运动必定经历空间和时间.因此，应用牛顿定律于质点组，研 究力作用的时间累积效应与空间累积效应，从中寻求某些规律， 便成为动力学理论进一步向前发展的一个方向
二、质点动量定理 动量定理 微分形式 由F= 4→F at= dP F()=「m=p2-1 定义d=Fdt为力的元冲量,则冲量为力对时间的积分 动量定理 Fidt= mv, -my 积分形式 动量定理常用于碰撞过程在碰撞、打击瞬间用平均冲力 概念 1 F F(tdt y t1 △t
3 二、质点动量定理 = = − 2 1 2 1 2 1 ( ) t t p p F t dt dp p p dt dp F = 由 Fdt dP = 动量定理 微分形式 定义dI=Fdt为力的元冲量，则冲量I为力对时间的积分 ( ) 2 1 2 1 I F dt mv mv t t t = = − 动量定理 积分形式 动量定理常用于碰撞过程.在碰撞、打击瞬间用平均冲力 概念 t p F t dt t t F t t = − = 2 1 ( ) 1 2 1
三、质点系动量定理 又 FI 1.对两质点系统(如图) 2 外力:F、F 内力:F12、F21 21 质点1「G+=m一m两 质点2「(+F1=m一m(2) 考虑牛顿第三定律,(1)+(2)得: (F+F2)=(m+m2)-(m +m2v20 P-P
4 三、质点系动量定理 1. 对两质点系统(如图) 内力： 外力： F1 F21 F2 F12 考虑牛顿笫三定律，(1)+(2)得: + = + − + 2 1 1 2 1 1 2 2 1 10 2 20 t t （F F）d t （m v m v ）（m v m v ） P P0 = − F1 F2 、 F12 F21 、 质点1 ( 1 1 2 ) 1 1 1 1 0 （1） 2 1 F F dt m v m v t t + = − ( 2 2 1 ) 2 2 2 2 0 （2） 2 1 F F dt m v m v t t + = − 质点2
2.对多质点系统 设质点组由N个质点组成,对笫个质点应用动量定理,有 +=m-m 对所有质点的动量定理表式求和,则有 ∑厅+∑=∑m-∑m t1 由于所有内力的矢量和为零,即∑方=0 ∫F=∑m-∑m=P一 i=1 i=1 质点系的动量定理作用于系统的合外力在一段时间内 的总冲量等于系统动量的增量
5 2. 对多质点系统 质点系的动量定理——作用于系统的合外力在一段时间内 的总冲量等于系统动量的增量. 设质点组由N个质点组成，对笫i个质点应用动量定理，有 ( ) 0 2 1 i i i i t t i i F f dt m v m v + = − 对所有质点的动量定理表式求和，则有 0 2 1 i i i i i i t t i i i i F f dt m v m v = − + 0 0 1 1 F dt m v m vi P P n i i i n i i = − = − = = 外 0 1 = = n i i f 由于所有内力的矢量和为零，即
在无限小的时间间隔内 质点系动量定 理的微分形式 Fhat= dP dP F 说明: 外dt (1)只有外力对系统动量的增量有贡献。 (2)系统内力不改变系统总动量,但可使系统内各质点 的动量变化 (3)动量定理与牛顿定律的关系 ①对一个质点,牛顿定律表示的是力的瞬时效应,而动 量主定理表示的是力对时间的积累效果 ②牛顿定律只适用于质点,不能直接用于质点系而动量 定理可适用于质点系 ③牛顿定律和动量定理都只适用于惯性系要在非惯性 系中应用动量定理,必须考虑惯性力的冲量
6 (1) 只有外力对系统动量的增量有贡献。 (2) 系统内力不改变系统总动量，但可使系统内各质点 的动量变化. 说明： ⑶ 动量定理与牛顿定律的关系： ①对一个质点，牛顿定律表示的是力的瞬时效应，而动 量主定理表示的是力对时间的积累效果. ②牛顿定律只适用于质点，不能直接用于质点系.而动量 定理可适用于质点系. ③牛顿定律和动量定理都只适用于惯性系.要在非惯性 系中应用动量定理，必须考虑惯性力的冲量. 在无限小的时间间隔内： F dt dP 外 = . 质点系动量定 理的微分形式 dt dP F 外 =
例题3.1如图,小球自由落体h距离,能将重物M提 升到多少高度? 解:设绳子为柔软钢丝绳,全过程分为 三段分析 ()软绳由松到紧,M不动,小球 自由下落,获得末速度 Mm v=√2gh G (2)软绳被绷紧,在此瞬间mMM 均受到绳子张力T的作用,达 到同一未速度V,故
7 例题3.1如图，小球自由落体h距离，能将重物M 提 升到多少高度? 解：设绳子为柔软钢丝绳，全过程分为 三段分析： ⑴ 软绳由松到紧，M不动，小球 自由下落，获得末速度 v = 2gh ⑵ 软绳被绷紧，在此瞬间m,M 均受到绳子张力T的作用，达 到同一末速度V，故 M m h M m T1 T2 G2 G1
根据动量定理有 I mv-m=(rAt MV-0=T△t my m+M 3)m、M-同运动,位移H,则 0-2=2(mg-T)H/m 10-2=2(r-)/M 解出 M+m y H M-m 2g M2-m2 M
8 ( ) MV T t mV mv T t − = − = − 0 m M mv V + = ⑶ m、M一同运动，位移H，则 ( ) V (T Mg )H M V mg T H m − = − − = − 0 2 0 2 2 2 解出： 1 2 2 2 2 2 2 − = − = − + = m M h h M m m g V M m M m H 根据动量定理有
例题3.2柔软链条自桌上小孔自由下落,求下落速度 与落下距离之间关系 分析:这是一个质点系的动量问题,可用体系动量定理 求解 解:如图,建立坐标系令线密度则在某时刻 iyN=m,g=ayg O P=m,v=Ay 根据 d(yv) dy d(v) y p dt dy
9 p m v yv = y = F 外 = my g = yg 分析：这是一个质点系的动量问题，可用体系动量定理 求解. 解： 如图，建立坐标系,令线密度 ,则在某时刻 例题3.2 柔软链条自桌上小孔自由下落，求下落速度 与落下距离之间关系. dt dp 根据 F 外 = 得 ( ) dt d yv yg = dy dy dy d yv v ( ) = y O y my
n④=vd()~AN 两端同乘以y:gy2小=yv(y) 两端积分:g oy dy=o yvd(yv) 得 J③ ()2 2 2
10 ( ) 2 gy dy = yvd yv 两端同乘以 y： = y yv g y dy yvd yv 0 0 2 ( ) 两端积分： ygdy = vd( yv) 得： ( ) 3 2 2 1 3 1 gy = yv 2 1 3 2 v = gy y O y my