第十三章结构弹性稳定
第十三章 结构弹性稳定
§13-1概述 第一类稳定问题(分支点失稳) 丌2EI 临界荷载 不稳定平衡状态在任意 PP 不稳定平衡 P q 完善体系 ↓↓H以↓↓↓↓ 不 两种平衡状态:轴心受压和弯曲、压缩。-—第一类稳定问题
§13-1 概述 一.第一类稳定问题(分支点失稳) l EI P 2 2 l EI Pcr = ---临界荷载 P Pcr 稳定平衡 P = Pcr 随遇平衡 P Pcr 不稳定平衡 q P P 不稳定平衡状态在任意 微小外界扰动下失去稳 定性称为失稳(屈曲). 两种平衡状态:轴心受压和弯曲、压缩。--- 第一类稳定问题 完善体系
二.第二类稳定问题(极值点失稳)P P 第二类稳定问题 非完善体系 分析方法 大挠度理论。 静力法 偏心受压有初曲率 小挠度理论。 能量法 四.稳定自由度 在稳定计算中,一个体系产生弹性变形时,确定其变形状态所需的 独立几何参数的数目,称为稳定自由度。 El=oo EI=∞ 1个自由度 C2个自由度 无限自由度
二.第二类稳定问题(极值点失稳) 偏心受压 三.分析方法 大挠度理论。 第二类稳定问题 P P 有初曲率 小挠度理论。 静力法 能量法 四 .稳定自由度 在稳定计算中,一个体系产生弹性变形时,确定其变形状态所需的 独立几何参数的数目,称为稳定自由度。 非完善体系 P EI = 1个自由度 P P EI = 2个自由度 无限自由度
§13-2.用静力法确定临界荷载 个自由度体系 ∑M EI=∞ kn·q- Plain=0 小挠度、小位移情况下: snq=卯 ofanim,k (kn-P)=0 ≠0k-P=0 稳定方程(特征方程) 抗转弹簧 P=k/1-临界荷载
§13-2. 用静力法确定临界荷载 一.一个自由度体系 MA = 0 k − Plsin = 0 小挠度、小位移情况下： k P EI = l k 1 抗转弹簧 A sin = k (k − Pl) = 0 0 k − Pl = 0 ----稳定方程（特征方程） P k l cr / = ---临界荷载
N自由度体系 NONE (以2自由度体系为例) y ∑MB=01+P(2-y)=0 EⅠ=0 ∑M4=02+h21-Py1=0 (kl-P)Y+Py2=0 (2-P)y1+b2=0 k1-p 0 稳定方程 1.618 2kI-p ki k(k-P)-P(2-p)=0 P2+3kP-k272=0 Pn=0.382k7-—临界荷载 fs d 2.618k kl 1.618失稳形式 2 0.382kl
二.N自由度体系 MB = 0 ky1 l + P(y2 − y1 ) = 0 （以2自由度体系为例） k l(k l − P) − P(2lk − p) = 0 0 ----稳定方程 2 = − − kl P kl kl P P ---临界荷载 k l A P EI = l k 1 y 2 y 1 ky2 ky B MA = 0 ky2 l +ky1 2l −Py1 = 0 (kl−P)y1 + Py2 = 0 (2lk − P)y1 + kly2 = 0 3 0 2 2 2 P + klP − k l = = = k l k l P k l 0.382 2.618 2 3 5 P kl cr = 0.382 1.618 1 2 = − y y ---失稳形式 P 1 1.618
无限自由度体系 挠曲线近似微分方程为 Q Q Ey”(x)=M(x) E M=-py+o(l-x X M Ey”(x)=-Py+Q-x) P 或y(x)+y=2(1-x) 得A+27=0 Er El 令 B 0 El P A cosn+ bsin nl=0 y(x)+ny=n=(l-x 通解为 y(x)=Acos nx+ Bsin nx+=(-x) coni sin nl0稳定方程 由边界条件 n cosnl+sin n=0 y(0)=0,y(0)=0,y()=0 tann=nl
三.无限自由度体系 EIy (x) = M (x) 0 cos sin 0 0 1 1 0 − = nl nl n l M = − py + Q(l − x) EI P n = 2 P EI l x y x y 挠曲线近似微分方程为 Q P M Q EIy (x) = −Py + Q(l − x) 或 ( ) (l x) EI Q y EI P y x + = − 令 ( ) ( ) 2 2 l x P Q y x + n y = n − 通解为 ( ) cos sin (l x) P Q y x = A nx + B nx + − 由边界条件 y(0) = 0, y (0) = 0, y(l) = 0 得 + l = 0 P Q A − = 0 P Q BnAcosnl + Bsin nl = 0 稳定方程 −nl cosnl +sin nl = 0 tan nl = nl
(nl)=nl y(nl)=tan nl Q Q E X M 丌 5丌 2 得A+27=0 B 0 P A cosn+ bsin nl=0 经试算n/=4.493 tan nl=4485 p=n'EL cosnl sin n!0稳定方程 4.493 n cosnl+sin n=0 )2E=20.19E/2 tann=nl
0 cos sin 0 0 1 1 0 − = nl nl n l P EI l x y x y Q P M Q 得 + l = 0 P Q A − = 0 P Q BnAcosnl + Bsin nl = 0 稳定方程 −nl cosnl +sin nl = 0 tan nl = nl nl y 2 2 3 2 5 y(nl) = nl y(nl) = tan nl 经试算 nl = 4.493 tan nl = 4.485 P n EI cr 2 = 2 2 ) 20.19 / 4.493 ( EI EI l l = =
§13-3.具有弹性支座压杆的稳定 h 3EI EⅠ El BEl 练习:简化成具有弹簧支座的压杆 k EA=∞ 6El El k EⅠ E E rKO
§13-3. 具有弹性支座压杆的稳定 l EI k 3 = P EI l EI k P k 1 练习:简化成具有弹簧支座的压杆 P EIl EI l EI P EI EI l EA = k P l EI k 6 = P EI k 3 3 l EI k =
挠曲线近似微分方程为 E/(x)=M(x) Q py+o(-x E Ely(x)=-Py+o(-x) ∑M1=0/=k9 P k 令n El 稳定方程 y(x)+n'y=(l-x k/P El 通解为 0 (k/Pl+1)=0 y(x)=Acos nx+ Bsin nx+g(l-x) COS nl SIn n 0 边界条件y(0)=0,y(0)=,y(1)=0 tan nl El A+q=0 1+,,(nl k Bn-(+1)g=0 Pl 解方程可得n的最小正根P=n2E A cosnl+ Bsin nl=0
EI k P l A y y x k Q P M EIy (x) = M (x) Q M = − py + Q(l − x) 挠曲线近似微分方程为 EIy (x) = −Py + Q(l − x) MA = 0 Ql = k EI P n = 2 令 ( ) ( ) 2 l x EI l k y x n y − + = 通解为 ( ) cos sin (l x) Pl k y x = A nx + B nx + − 边界条件 y(0) = 0, y (0) =, y(l) = 0 + = 0 P k A − ( +1) = 0 Pl k BnAcosnl + Bsin nl = 0 0 cos sin 0 0 ( / 1) 1 0 / − + = nl nl n k Pl k P 稳定方程 2 1 ( ) tan nl k l EI nl nl + = 解方程可得nl的最小正根 P n EI cr 2 =
若kn=0 tann=0 Q sin nl=o E EIl n1=元 丌2EI k 若k 稳定方程 N tann=nl k/P EⅠ P.=20.19EⅠ/l 0 (k/Pl+1)=0 COS nl SIn n 0 tan nl El 1+,,(nl 解方程可得n的最小正根P=n2E
EI k P l A y y x k Q P M Q 0 cos sin 0 0 ( / 1) 1 0 / − + = nl nl n k Pl k P 稳定方程 2 1 ( ) tan nl k l EI nl nl + = 解方程可得nl的最小正根 P n EI cr 2 = l EI P 2 2 l EI Pcr = nl = = 0 若 k tan nl = 0 sin nl = 0 若 k = tan nl = nl 2 P 20.19EI / l cr = P EI l