中国科学技术大学：《普通物理》课程PPT教学课件（力学）笫五章 角动量守恒

笫五章角动量守恒 目录 1.角动量和力矩 2.质点系角动量定理 3.质心系的角动量定理 4.质点在有心力场中的运动 5.对称性与守恒定律

1 笫五章 角动量守恒 1. 角动量和力矩 2. 质点系角动量定理 3. 质心系的角动量定理 4. 质点在有心力场中的运动 5. 对称性与守恒定律 目 录

()角动量与力矩 角动量是除动量和能量之外的另一个守恒量它不但能描 述经典力学中的运动状态,在近代物理理论中在表征状态方 面也是不可缺少的一个基本量 质点的角动量 角动量被定义为位矢r与动量mv的矢积 L L=F×P=F×mp 方向由右手定则确定 v X A0 大小:L= resin0=2S △OAB 单位:kgm2/s量纲:D2Mr

2 ㈠ 角动量与力矩 单位: kgm / s 2 量纲: 2 MT −1 L 大小: L mrv = SOAB = sin 2 角动量是除动量和能量之外的另一个守恒量.它不但能描 述经典力学中的运动状态，在近代物理理论中在表征状态方 面也是不可缺少的一个基本量. L r P r mv      =  =  方向由右手定则确定 一.质点的角动量 角动量被定义为位矢r与动量mv的矢积 O X Y Z A B L  r  mv  

讨论: ()角动量是相对于给定的参考点定义的,且参考点在所 选的参考系中必须是固定点。一般把参考点取在坐标原 点。这样,才有 L=FxP=F×mp (2)角动量是矢量,可用分量形式表示。 , 在直角坐标系中 (,L, L)=x z 其中小=mν Pr py p

3 讨论: ⑴ 角动量是相对于给定的参考点定义的，且参考点在所 选的参考系中必须是固定点。一般把参考点取在坐标原 点。这样，才有 ⑵角动量是矢量，可用分量形式表示。 在直角坐标系中 ( ) x y z x y z p p p x y z i j k L L L    ， ， = p mv   其中： = L r P r mv      =  =  L0 r R 0 mv 0

二、力矩 作用力F,其作用点的位矢为r,它对o点的力矩被定义为 M=rxF 方向由右手定则确定 大小: M=rF sine P 在直角坐标系中,其分量表示 F M, M,M FFF

4 二、力矩 作用力F，其作用点的位矢为r，它对o点的力矩被定义为 方向由右手定则确定 M r F    =  大小: M = rF sin 在直角坐标系中，其分量表示 ( ) x y z x y z F F F x y z i j k M M M    ， ， = F r d P z O 

二质点的角动量定理 角动量和力矩的物理意义体现在两者所遵从的物理规律上 F d(mv →)FxF=rx d(mv) dt dt d dt x mi) 、dm ),F dt dt dr p=0 d t d(mv) (F×m)=F at

5 二.质点的角动量定理 dt d mv F ( )    = dt d mv r F r ( )     →  =  = v, v  v = 0 dt dr      dt d mv r mv r dt d ( ) ( )       =  角动量和力矩的物理意义体现在两者所遵从的物理规律上. ( ) ( ) (mv ) dt dr dt d mv r mv r dt d        =  + 

F×Fd P L M dt dt 质点的角动量定理 M=或2Mdt=L2-L1 表明角动量的增量等于冲量矩(角冲量)的积分 讨论 ()各量均对同一参考点 (2)因数放值上等于r和v为邻边的平行四边形面积,也 就是r在单位时间内所掠过的面积(掠面速度)的两倍,故 角动量与掠面速度成正比,为掠面速度的2m倍 3)质点角动量定理系由牛顿定律导出,故它仅适用于惯 性系

6 ——质点的角动量定理 Mdt dL   = 或  = − 2 1 2 1 t t Mdt L L    表明角动量的增量等于冲量矩（角冲量）的积分 dt dL M   = ⑵因 在数值上等于r和v为邻边的平行四边形面积，也 就是r在单位时间内所掠过的面积（掠面速度）的两倍，故 角动量与掠面速度成正比，为掠面速度的2m倍. r v    ⑶质点角动量定理系由牛顿定律导出，故它仅适用于惯 性系. (r P) dt d r F      =  讨论: ⑴ 各量均对同一参考点

三质点的角动量守恒定理 角动守包s 当M=0 L=r×m= const 守恒条件:()F=0 (2)力F通过定点o,即有心力 (3)当外力对定点的某一分量为零时,则 角动量的该分量守恒: M.=0 const M.=0 L = const M=0

7 三.质点的角动量守恒定理 当 M = 0 L = r mv = const   守恒条件: ⑴ F=0 ⑵ 力F通过定点o，即有心力. ⑶ 当外力对定点的某一分量为零时，则 角动量的该分量守恒： M L const M L const M L const z z y y x x = = = = = = 0 0 0

例5.1一小球沿竖直的光滑圆轨道由静止开始下滑. 求小球在B点时对环心的角动量和角速度 解力矩分析M=ngRc OR t A 用角动量定理:M= d t dL= mgR cos edt B mg 又 L=mR o=mR d t LdL=mgR cos ede LL=Mm2gR3cosa0wL=mR2√2gsinφ mR2 √2gsinφ/R

8 例5.1 一小球沿竖直的光滑圆轨道由静止开始下滑. 求小球在B点时对环心的角动量和角速度. 解:力矩分析 M = mgRcos 用角动量定理： dt dL M = dL = mgRcosdt   =    0 2 3 0 LdL m gR cos d L LdL = m gR cosd 2 3 dt d L mR mR  =  = 又 2 2 g R mR L  2 sin  2 = = 2 sin  2 3 L = mR g B R A  t =0 O mg 

例题5.2摆长为的锥摆作匀速圆周运动,摆线与铅 垂线成确角,求摆球速率 解:如图,在圆锥摆的运动过程 中,摆球相对支点o的角动量为 L=F×一个可以绕z轴 o 旋转的矢量将其分解两个分量 L2,l其大小分别为 L=mvl sina Li=mvl cos a 显然,L不变,而随时间改变如图有 mg △L=△L1=L1△= ml cos a△

9 例题5.2 摆长为l的锥摆作匀速圆周运动，摆线与铅 垂线成  角，求摆球速率. 解：如图，在圆锥摆的运动过程 中，摆球相对支点o的角动量为 .L是一个可以绕z轴 旋转的矢量.将其分解两个分量 ,其大小分别为 L r mv    =  Lz L⊥ ,   cos sin L mvl L mvl z = = ⊥ 显然， Lz 不变，而 L 随时间改变 ⊥ .如图,有 L = L⊥ = L⊥  = mvl cos ① Lz L⊥ mg   l  o

另一方面,作用于摆球的外力有张力和重力,张力对支点o 无力矩,而重力矩的方向与圆周半径垂直,其大小为 M= mgl sina② 在式①两边都除以△并取△极限0利用角动量 定理及式②,得 de do g sina 唑 myl cos a dt- molina dt vcos a de v=sina- dt Ds olin a v cos a 由此解得 gl v= SIna cos a lcos a

10 另一方面，作用于摆球的外力有张力和重力，张力对支点o 无力矩，而重力矩的方向与圆周半径垂直，其大小为 M = mglsin ② 在式①两边都除以 ，并取 极限，利用角动量 定理及式②，得 t t → 0   cos mgl sin dt d mvl dt dL = =    cos sin v g dt d = 而 dt d v l  = sin   cos sin2 v gl v = 由此解得     cos cos sin l gl g v = =