第六章刚体力学 目录 1.刚体运动概述 2.刚体的定轴转动 3.刚体定轴转动定律和功能关系 4.定轴转动刚体角动量定理 5.刚体的平面平行运动 6.陀螺的运动
1 第六章 刚体力学 １. 刚体运动概述 ２. 刚体的定轴转动 ３. 刚体定轴转动定律和功能关系 ４. 定轴转动刚体角动量定理 ５. 刚体的平面平行运动 ６. 陀螺的运动 目 录
对于机械运动的研究,只局限于质点的情况是很不够的。 物体是有形状大小的,它可以作平动、转动,甚至更复杂的 运动。一般固体在外力的作用下,形变并不显著,故设想另 个抽象模型—刚体。以刚体为研究对象,除了研究它的 平动外,还研究它的转动以及平动与转动的复合运动等。 ()刚体运动概述 一、刚体模型 1刚体:在任何外力作用下,形状大小均不发生改变的物体 (特殊的质点系). 说明:(1)在外力的作用下任意两点均不发生相对位移; (2)内力无穷大的特殊质点系—内力做功为零 (3)理想模型
一、刚体模型 1.刚体:在任何外力作用下, 形状大小均不发生改变的物体 （特殊的质点系）. ㈠ 刚体运动概述 对于机械运动的研究，只局限于质点的情况是很不够的。 物体是有形状大小的，它可以作平动、转动，甚至更复杂的 运动。一般固体在外力的作用下，形变并不显著，故设想另 一个抽象模型 刚体。以刚体为研究对象，除了研究它的 平动外，还研究它的转动以及平动与转动的复合运动等。 说明: (1) 在外力的作用下, 任意两点均不发生相对位移; (2) 内力无穷大的特殊质点系 内力做功为零； (3) 理想模型
2自由度:用以确定一个力学体系的几何 位形所需的独立坐标的个数。 自由刚体的自由度数n=6 B 非自由刚体的自由度数小于6 物体系运动自由度m,决定了其独立的微分方程组的数目 有m个,其中每个方程均为二阶微分方程若运动被限制或被 约束,其自由度将减少多一个约束条件就减少一个自由度 3质心:刚体是由连续分布的质点所组成的质点组,故其 质心为 rdm prd m=dm= pdv r dm pdv 3
3 2.自由度：用以确定一个力学体系的几何 位形所需的独立坐 标的个数。 自由刚体的自由度数 n=6 非自由刚体的自由度数小于6 物体系运动自由度m，决定了其独立的微分方程组的数目 有m个,其中每个方程均为二阶微分方程.若运动被限制或被 约束,其自由度将减少.多一个约束条件,就减少一个自由度. 3.质心：刚体是由连续分布的质点所组成的质点组， 故其 质心为 = = = = dV rdV dm rdm m dm dV r c c A B C
二、刚体运动的几种形式 1.刚体平动(n=3) 连接刚体中任意两点的线段在运动中始终保持平行。 刚体上所有点的运动轨迹都相同,可当作质点来处理 2.刚体定轴转动(n=1) 刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的园 周运动,且在相同时间内转过相同的角度 特点: ☆角位移,角速度和角加速度均相同 质点在垂直转轴的平面内运动,且作圆周运动
二、刚体运动的几种形式 1. 刚体平动（n=3） 连接刚体中任意两点的线段在运动中始终保持平行。 刚体上所有点的运动轨迹都相同,可当作质点来处理. 刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的园 周运动, 且在相同时间内转过相同的角度. 2. 刚体定轴转动（n=1） 特点： ❖ 角位移，角速度和角加速度均相同 ❖ 质点在垂直转轴的平面内运动，且作圆周运动
3平面平行运动(n=3) 刚体运动时各点始终和某一平面保持一定的距离或者说 刚体中各点都平行于某一平面而运动 将刚体的运动看作质心的平动 与相对于通过质心并垂直运动平 面的轴的转动的叠加。 4刚体定点转动(n=3) 刚体运动时,始终绕一固定点转动 5.刚体的一般运动(n=6) 刚体的一般运动可视为随刚体上 某一基点A的平动和绕该点的定点 转动的合成
5 5. 刚体的一般运动（n=6） 刚体的一般运动可视为随刚体上 某一基点A的平动和绕该点的定点 转动的合成. O O O 将刚体的运动看作质心的平动 与相对于通过质心并垂直运动平 面的轴的转动的叠加。 3.平面平行运动（n=3） 刚体运动时, 各点始终和某一平面保持一定的距离, 或者说 刚体中各点都平行于某一平面而运动 4.刚体定点转动（n=3） 刚体运动时，始终绕一固定点转动
三、刚体角速度(矢量的绝对性 一般来说,刚体的任何运动都可分解为基点的平动和 绕该点的定点转动的合成.。选择不同的基点,平动速度就 不同;而转动角速度就与基点的选择无关。即刚体上的 角速度矢量的大小和方向都相同。这即是刚体角速度的绝 对性 证明:如图选c为基点,则p点 的速度 v=+O×R C<a R′ R 若选C为基点,则p点绕c点有一角 速度,则 vn="。+×R 6
6 一般来说，刚体的任何运动都可分解为基点的平动和 绕该点的定点转动的合成.。选择不同的基点，平动速度就 不同；而转动角速度就与基点的选择无关。即刚体上的 角速度矢量的大小和方向都相同。这即是刚体角速度的绝 对性。 证明：如图,选c为基点，则p点 的速度 v p vc R = + 三、刚体角速度(矢量)的绝对性 若选 为基点，则p点绕 点有一角 速度 ，则 c c v p = vc + R c R p R c Rc
注意到 cctaxp R=R+R′ R R 代入前一式有 v+b×R=v+b×(R-R)+×R 由此得到 d×R-b×R=0 0=0 四、作用在刚体的力系的简化。作用在刚体的任何力系 ,最终可以等效为一个作用在刚体上某一点的力和一个力偶 矩方向与之平行的力偶
7 注意到 R R R v v R c c c c = + = + 代入前一式有 vc + R = vc + (R− R)+ R 由此得到 R − R = 0 = 四、作用在刚体的力系的简化。作用在刚体的任何力系 ，最终可以等效为一个作用在刚体上某一点的力和一个力偶 矩方向与之平行的力偶。 c R p R c Rc
(二)刚体的定轴转动 定轴转动刚体的角动量和转动惯量 如图所示,考虑以角速度O绕轴转 动的一个刚体,其上任一质元m相对 于原点0的角动量为 IR L=x(m2)=mx(D×) P L,的方向垂直于由矢量r和决 定的平面,因此与转动轴z之间的夹角 为x-0,,L1的大小为 L=mrv=mr osin 0 8
8 （二）刚体的定轴转动 一、定轴转动刚体的角动量和转动惯量 i r Ri i v i 0 p z ( ) i i i i i i i L r m v m r r = ( ) = 如图所示，考虑以角速度 绕z轴转 动的一个刚体，其上任一质元 相对 于原点0的角动量为 mi i i i i i i i L m r v m r sin 2 = = 的方向垂直于由矢量 和 决 定的平面，因此与转动轴 z 之间的夹角 为 ， 的大小为 i v i r Li Li i − 2
因此,定轴转动刚体的总角动量L对转动轴z轴的分 量的大小为 m,R; o=2a L=JO 刚体转动惯量定义 ∑m1R2 一般而言,刚体的总角动量L=>L并不一定平行于转 动轴,即L不一定与a同方向,们之间的关系不能简单 地用一个标量的转动惯量联系起来
9 刚体转动惯量定义： = 2 Jz mi Ri Lz = Jz z i i i i z i z L L m R = J = = 2 因此，定轴转动刚体的总角动量 对转动轴 z 轴的分 量的大小为 L 一般而言，刚体的总角动量 并不一定平行于转 动轴，即Ｌ不一定与 同方向，它们之间的关系不能简单 地用一个标量的转动惯量联系起来。 L = Li
附:定轴转动时刚体总角动量为 L=∑(Rxm)=∑mRx(xR 注意到质量元的位矢和角速度分量表示为 R(x,Pz)(0,0,a) 按矢积运算规则展开 Rx同×R)=xa2-+(x2+2)ok 于是总角动量的三个分量为 x:z n L,=0∑(ym) O∑(x2+n2 10
10 附：定轴转动时刚体总角动量为 ( ) ( ) i i i mi Ri Ri L R m v = = 注意到质量元的位矢和角速度分量表示为 ( ， ， )，(0，0，) i i i i R x y z 按矢积运算规则展开 Ri ( Ri ) xi zi i yi zi j (xi yi ) k 2 2 = − − + + 于是总角动量的三个分量为 ( ) ( ) ( ) z i i i y i i i x i i i L x y m L y z m L x z m = + = − = − 2 2 ，
