第十章矩阵位移法 第一节矩阵位移法的概念 第二节单元刚度矩阵 与三节结构刚度矩阵 四节坐标转换矩阵 第五节非结点荷载的处理 第六节矩阵位移法的解题步聚 第七节结构分析的计算机方法简介 小结 返回
第 十 章 矩 阵 位 移 法 • 矩阵位移法的概念 • 单元刚度矩阵 • 结构刚度矩阵 • 坐标转换矩阵 • 非结点荷载的处理 • 矩阵位移法的解题步骤 • 结构分析的计算机方法简介 • 小结 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 返回
第一节矩阵位移法的概念 结构矩阵分析方法是利用计算机进行结构力学计算的方法。 杆系结构的有限单元 矩阵力法—柔度法 矩阵位移法刚度法(直接刚度法)* 矩阵位移法是以位移法为力学原理,应用矩阵理论,以电子 计算机为工具的结构分析方法。 有限单元法包含两个基本环节:一是单元分析;一是整体分析。 在矩阵位移法中:单元分析的任务是建立单元刚度方程,形 成单元刚度矩阵讨论任意坐标系中单元刚度方程的通用形式 整体分析的任务是将单元及合成整体,由单元刚度矩阵按照 刚度集成规则形成整体刚度矩阵,建立整体结构的位移法基本方 移′直接由单元刚度矩阵导出整体刚度矩阵的集成规则,是矩阵 从而求解。 位移法的核心内容。 返回下一张上一张小结
第一节 矩阵位移法的概念 • 结构矩阵分析方法是利用计算机进行结构力学计算的方法。 杆系结构的有限单元法 矩阵力法 矩阵位移法 ——柔度法 ｛ ——刚度法(直接刚度法)* 矩阵位移法是以位移法为力学原理，应用矩阵理论，以电子 计算机为工具的结构分析方法。 有限单元法包含两个基本环节：一是单元分析；一是整体分析。 在矩阵位移法中：单元分析的任务是建立单元刚度方程，形 成单元刚度矩阵——讨论任意坐标系中单元刚度方程的通用形式； 整体分析的任务是将单元及合成整体，由单元刚度矩阵按照 刚度集成规则形成整体刚度矩阵，建立整体结构的位移法基本方 程，从而求解。 直接由单元刚度矩阵导出整体刚度矩阵的集成规则，是矩阵 位移法的核心内容。 返回 下一张 上一张 小结
·以图示连续梁为例说明 矩阵位移法的概念。 A 2 1单元分析 2 ①确定基本未知量,O2 ·②划分单元杆;12杆,23杆; M2 ·③列各杆端转角位移方程 b 12 2ie. M M23=3i26 M21=4i10 21 3262 M21=4i:月 E E 2 ·2.整体分析 ·①建立位移法基本方程 41M2 (4十3i2 °∑M2=0:M1+M2=M2mxa l山m M2=(41+312)2(1+3 3i2M 2 ②求杆端弯矩 (4y+3x) (d) 3绘M图。 返回下一张上一张小结
• 以图示连续梁为例说明 矩阵位移法的概念。 0 3 4 2 32 23 2 2 21 1 2 12 2 = = = = M M i M i M i 12杆,23杆; 2 = 21 + 23 = 2 M 0 : M M M 2 1 2 2 M = (4i + 3i ) , 2 ３.绘M图。 •２．整体分析 • ①建立位移法基本方程； • • ②求杆端弯矩； •1.单元分析 • ①确定基本未知量， • ②划分单元杆； • ③列各杆端转角位移方程 返回 下一张 上一张 小结
·17.1.2直接刚度法 对于连续梁的每一个结点都视为有一个角位移未知 数,并规定这些转角均以顺时针方向为正。 H 17.1.3转角位移方程 K11+K1262+K133=M1 K2,1+K2O,+K23=M 图72 K3161+K322+K353=M3 式中:K(i=12,3=123)称为结点刚度系数。它表示当6=1 时,在结点处并在日方向上所需加的结点力矩总和 返回下一张上一张小结
• 17.1.2 直接刚度法 • 对于连续梁的每一个结点都视为有一个角位移未知 • 数，并规定这些转角均以顺时针方向为正。 • 17.1.3 转角位移方程 • 式中：Kij（i=1,2,3;j=1,2,3）称为结点刚度系数。它表示当θj=1 时，在结点i处并在θi方向上所需加的结点力矩总和。 3 1 1 3 2 2 3 3 3 3 2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 K K K M K K K M K K K M + + = + + = + + = 返回 下一张 上一张 小结
写成矩阵形式为 K1K12K139 K 21 K 22 K23, 23 K,KK MMM 31 32 33 简式为:[K]}=轨M} ·式中:〖K为结构总刚度矩阵 Q}为结点转角列阵 M}为结点力矩列阵 返回下一张上一张小结
• 写成矩阵形式为： • 简式为： • 式中： [K]为结构总刚度矩阵 • {Q}为结点转角列阵 • {M}为结点力矩列阵 = 3 2 1 3 2 1 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 M M M K K K K K K K K K K= M 返回 下一张 上一张 小结
17.1.4形成单元刚度矩阵 ·例17-3:写出图示结构的杆端力矩 ·解:据转角方程可得 M1=4i1+2i0 M M2=2i01+4i2 式中 El M. 上式写成矩阵形式为 图73 M42i19 2)|24;7=[x 返回下一张上一张小结
• 17.1.4 形成单元刚度矩阵 • 例17-3：写出图示结构的杆端力矩 • 解： 据转角方程可得： • • • 式中 • • 上式写成矩阵形式为 2 1 2 1 1 2 2 4 4 2 M i i M i i = + = + e e e e K i i i i M M [ ] { } 2 4 4 2 2 1 2 1 = = l EI i = 返回 下一张 上一张 小结
17.1.5形成总刚度矩阵 例7-4:写出图7-4所示结构的刚度矩阵 ·解:图示结构的刚度矩阵 K9)=K K1}=E 1人, K 12 13 x]=k2K2k23 K;2=K E2=F22+ K Ka=ks 12 K1,K1+K2K2 3 := K K 0 X31= 2i14i1+4i22 2 图17-4 返回下一张上一张小结
• 17.1.5 形成总刚度矩阵 • 例7-4：写出图7-4所示结构的刚度矩阵 • 解：图示结构的刚度矩阵： • 图17-4 = + = + = 2 2 1 1 2 2 1 1 2 3 3 2 3 2 2 2 3 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 0 2 4 2 4 4 2 4 2 0 0 0 i i i i i i i i K K K K K K K K K K K K K K K K K K 返回 下一张 上一张 小结
17.1.6引入支承条件,求结点位移 已知上例支承条件e0,连同已获得的[],以及各结点荷载 值(M1、M2、及M3=0)一起代入基本方程(7-6)式中,得 2 0|0 2i,4i1+4i,2i;,O, ·据矩阵运算的基本法则,则得 41+4221262 2 2 4 解得 M 4i,+3 M 2(41+3i2) 返回下一张上一张小结
• 17.1.6 引入支承条件，求结点位移 • 已知上例支承条件 =0，连同已获得的[K]，以及各结点荷载 值（M1、M2、及M3=0）一起代入基本方程（7—6）式中，得： • 据矩阵运算的基本法则，则得： • 解得： 1 = + 0 0 0 2 4 2 4 4 2 4 2 0 2 1 3 2 2 2 1 1 2 2 1 1 M M i i i i i i i i = + 2 4 0 4 4 2 2 3 2 2 2 1 2 2 M i i i i i + − + = 2(4 3 ) 4 3 1 2 2 1 2 2 3 2 i i M i i M 返回 下一张 上一张 小结
17.1.7求单元杆端力2 M a 例75:求图75所示连续梁扮个面 的杆端力 ·解:由题可知杆1 2i. M 4 2 h1 41,+3;,M1 M i [K01 2 4i14i1+3i2 4i1M2 4i,+3 杆2 M2 3i、A,M3,3 4i1+3i 2i24i2 4i1+3i (4i1+3i2)×2 ; 注:以上用连续梁说明直接刚度的方法步骤, 完全适用于其它类型结构。其中,[K的组成 6 b ·是直接刚度法的核心部分。 图75 返回下一张上一张小结
• 17.1.7 求单元杆端力 • 例7-5：求图7-5所示连续梁 • 的杆端力 • 解： 由题可知 杆1 • 杆2 • 注：以上用连续梁说明直接刚度的方法步骤, • 完全适用于其它类型结构。其中，[K]的组成 • 是直接刚度法的核心部分。 + + = + = = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 4 3 4 4 3 2 4 3 0 2 4 4 2 [ ] i i i M i i i M i i M i i i i K M M = + + − + = 0 4 3 3 (4 3 ) 2 4 3 2 4 4 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 i i i M i i M i i M i i i i M M 返回 下一张 上一张 小结
第二节单元刚度矩阵 ·1721结构离散化 将杆系结构分离有限个单元杆一离散化。 ·原则:以杄元汇交点、荷载作用点、载面突变点为结点,尽量 使相关结点,编码和差值最小。矩阵位移法讨论结点荷载问题, 非结点荷载需另外处理。 (a) (b) 17.22单元杆端力和杆端位移表示方法 以为原点,从到的方向为轴的正向,并以轴的正向逆时针 转90为轴的正向,这样的坐标系称为单元局部坐标系 单元杆端力和杄端位移符号的上方加一横"-”,表示局部坐标 的意思。 返回正一强上一张小结
• 第二节 单元刚度矩阵 • 17.2.1 结构离散化 • 将杆系结构分离有限个单元杆— 离散化。 • 原则：以杆元汇交点、荷载作用点、载面突变点为结点，尽量 使相关结点，编码和差值最小。矩阵位移法讨论结点荷载问题， 非结点荷载需另外处理。 • 图7-6 • 17.2.2 单元杆端力和杆端位移表示方法 • 以i为原点，从i到j的方向为 轴的正向，并以 轴的正向逆时针 转900为 轴的正向，这样的坐标系称为单元局部坐标系 单元杆端力和杆端位移符号的上方加一横“—”，表示局部坐标 的意思。 − x − x − y 返回 下一张上一张 小结