典型例题分析(动力学) 、自由度 判断自由度的数量。 两个自由度 两个自由度 4 两个目山度 两个自由度 「丽 个自由度 三个自由度 四个自由度 两个自由度 单自由度体系的自振频率 试列出图1a结构的振动方程,并求出自振频率。EI=常数 成 图 图1bM1 分析:
典型例题分析（动力学） 一、自由度 1. 判断自由度的数量。 二、单自由度体系的自振频率 1. 试列出图 1a 结构的振动方程，并求出自振频率。EI＝常数。 图 1a 图 1b M1 图 1c M2 分析：
(1)质点m的水平位移y为由惯性力和动荷载共同作用引起:y=1(m)+a2F) (2)挠度系数 1215 Er222322 23224EI 27 E/ 2 gEl (3)自振频率: mou 2.图2a简单桁架,在跨中的结点上有集中质量m。若不考虑桁架自重,并假定各杆的EA 相同,试求自振频率 →0.5 0.5 0.5 0 图 图 分析: (1)由于结构对称,质量分布对称,所以质点m无水平位移,只有竖向位移,此桁架为单 自由度体系 (2)挠度系数:61=E2 (3)自振频率:a= 3.计算图3a结构的自振频率,设各杆的质量不计 L B1易 易 B 分析: (1)A、B两点的竖向位移相同,△4=(1-X)4=△8=XOB (2)挠度系数:=2)43 (2l2)123 48E/16E 48EL 6El (3)自振频率:O
（1） 质点 m 的水平位移 y 为由惯性力和动荷载共同作用引起： y ( my) F (t) = 11 − + 12 p 。 （2） 挠度系数： EI l l l l l l l EI 24 5 3 2 2 2 2 2 1 3 2 2 2 2 2 1 1 3 11 = + = EI l l l l EI 2 2 8 1 2 2 2 1 1 3 12 = = （3） 自振频率： 11 1 m = 2. 图 2a 简单桁架，在跨中的结点上有集中质量 m。若不考虑桁架自重，并假定各杆的 EA 相同，试求自振频率。 图 2a 图 2b 分析： （1）由于结构对称，质量分布对称，所以质点 m 无水平位移，只有竖向位移，此桁架为单 自由度体系。 （2） 挠度系数： (1 2) 1 2 11 = = + EA l F l EA N （3） 自振频率： 11 1 m = 3. 计算图 3a 结构的自振频率，设各杆的质量不计。 图 3a 图 3b 分析： （1）A、B 两点的竖向位移相同， ( ) A = 1− X 1A = B = X 1B。 （2） 挠度系数： ( ) 1 3 1 1 3 1 1 48 6 2 EI l EI l A = = ， ( ) 2 3 2 2 3 2 1 48 6 2 EI l EI l B = = （3） 自振频率： m A 1 =
、单自由度体系的动力特性 1.简支梁,跨度α,抗弯刚度EI,抗弯截面模量W。跨中放置重量为G转速n的电动机.离 心力竖直分量F()=Fm。若不计梁重,试求动力系数、最大动位移及最大动应力。 分析 (1)动力系数:= 48EI (2)最大动位移:ym=ym+△,=pyn+△nyn=F2O1 (3)最大动应力:σm Mm=Mdms+MG=u +MG=uF+Gk 四、两个自由度体系的特性(自振频率、主振型、位移一振型分解法) 1.求la体系的自振频率和主振型,作振型图并求质点的位移。 已知m=2m=m,且=常数,质点m上作用突加荷载F,0=0 211m+1m+1m4 图 型 分析: Im 62m2 (1)频率方程 (2)挠度系数:δ1= 2El 12El (3)解方程求自振频率:C1=0.59 a1=1.65, (4)求主振型:=-m 6m1-1L-04 4.6 61m1 (5)振型分解:{}=1均 71 y2[y12y2n204446n2∫
三、单自由度体系的动力特性 1. 简支梁，跨度 a，抗弯刚度 EI，抗弯截面模量 Wz。跨中放置重量为 G 转速 n 的电动机．离 心力竖直分量 F (t) F t p = p sin 。若不计梁重，试求动力系数、最大动位移及最大动应力。 分析： （1）动力系数： 2 1 1 − = EI n g Ga st 30 st 48 3 = = = （2） 最大动位移： EI a y yd st yst st yst Fp 48 3 max = max + = + = 11 11 = （3） 最大动应力： M M M M M ( F G)a W M d G st G p z = = + = + = + 4 1 max max max max 四、两个自由度体系的特性（自振频率、主振型、位移－振型分解法） 1. 求 1a 体系的自振频率和主振型，作振型图并求质点的位移。 已知 ml＝2m2＝m，EI＝常数，质点 m1 上作用突加荷载 ( ) = 0 0 0 t F t F t p p 。 图 1a 分析： （1）频率方程： 0 1 1 21 1 22 2 2 11 1 2 12 2 = − − m m m m 。 （2） 挠度系数： EI EI 12EI 7 2 1 3 4 11 = 12 = 21 = − 22 = （3） 解方程求自振频率： m EI m EI 1 = 0.59 1 =1.65 （4） 求主振型： = − = − − = − = − 4.6 1 0.44 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 m m Y Y m m Y Y （5） 振型分解： − = = 2 1 2 1 12 22 11 21 2 1 0.44 4.6 1 1 y y y y y y
(6)求广义质量和广义矩阵:M,=yM0F()=yF M,=YMY=(1 2m01 2.19 0. M,=Y2My(2)=(146 =22.16m 0m(46 0-900-04(6)-00=50 (6)求正则坐标:突加荷载时n()=-2(- cos ot) 144F 0.37F n,", COS@,L (-c0s0)()=E (1-cOS, 1= (1-coS O, 1) (7)求质点位移: ()=n(0)+n2()y2(=-044(0)+46n() 五、能量法求第一自振频率 1.试用能量法求1a梁具有均布质量m=q/8的最低频率。 已知:位移形状函数为:(x)=,[2x2-52+2x 48EⅠ 图1a 分析 (1)计算公式:2 El[r"(o)Idx a(x)r(kdx 本例中m=0 顽()+∑m2p(a+∑m2 (2)积分计算 s6n-+2)x=921(3-5+2 3.125×10 =n12x2-x3+2x1)dx m,jx“+252x2+4x3-30x5-20x2+1 (48E) =1.309×105mq29 (E)2 =238.7
（6） 求广义质量和广义矩阵： ( ) ( ) ( ) ( ) M Y MY F t Y F (t) p i T i i T i i = = ( ) ( ) ( ) m m m M Y MY T 2.19 0.44 1 0 2 0 1 0.44 1 1 1 = − = = − ( ) ( ) ( ) m m m M Y MY T 22.16 4.6 1 0 2 0 1 4.6 2 2 2 = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F (t) F (t) F (t) F t F t Y F t p p p p T = = = = − 2 1 1 0 1 0.44 （6） 求正则坐标：突加荷载时 ( ) ( t) m F t i i i p i 1 cos 2 = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t) EI F t m F t t EI F t m F t p p p p 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 cos 0.37 1 cos 1 cos 1.44 1 cos 2 = − = − = − = − （7） 求质点位移： y (t) (t) (t) y (t) (t) (t) 1 1 2 2 1 6 2 = + = −0.44 + 4. 五、能量法求第一自振频率 1. 试用能量法求 1a 梁具有均布质量 m＝q／8 的最低频率。 已知：位移形状函数为： ( ) 2 2 3 4 3 5 2 48 l x lx x EI q Y x = − + 图 1a 分析： （1）计算公式： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = + = l i i i l l i i i l m Y x dx m Y q x Y x dx m Y x dx m Y EI Y x dx 0 2 2 0 0 2 2 0 2 2 本例中 mi=0 （2）积分计算：