D0I:10.13374/i.issm1001-053x.1958.01.016 調和函數為三次多项式的彎曲問題 王根 李繼讀 (力學教研組) 一、引雷 柱体悬臂梁自由端受横向力的弯曲問题，图(1)所示。早已出圣熊南〔1]〔8)简化为求 一个本面調和函数 02002中 0x2+0y2=0 (1) 及两数在边界上滿足 -品x-) ds (2) ds 其应力分量为 dx=0=T=0 0z、 Px(i-z) = (3) dy 这里，P为通过弯曲中心而不行主轴x的外力；I为截面对于主軸z的慣性炬；ⅴ为泊松 此0 阁1 本文就是甜論一个调和面数为三次多項式的情形，这是一个很古老的問題。圣稚南會用 这个函数解过圆和橢图截面，Grashof,F,所尉输的二条直線和双曲線图成的截面也是， Iove,A.E.H.臂指出一种对称截面也可以为这个函数的解。本文就是把这个函数給予更 系統的尉論，所得的秸果包括了前者所尉論的藏面，和其他一些新的截面，其中有机翼形截 面的解。每一个边界两数都包含了若干个参数，可以粗成截面族，如机翼形截面可以得到不 同的厚度
调 和 函 数 鸽 三 次 多项 式 的 誉 曲 简 题 王 很 李堪 箫 力 季教研 妞 一 、 引 柱体悬臂梁 自由端受横向力 的弯 曲朋题 ， 一个 平面霭和函 数 言 图 所示 。 早 已 田圣雄南〔幻 〔幻筒化为求 功 日 价 石二二石一 “ 。 十 石。 二万 一 及函 数在翘界上满足 单 一 粤艺 、 一 二 上 半州李日 其应 力分量为 ‘ 二 、 、 一 二 二 二 。 一……鱼牛丝 · 二 一 斋 一 丢 一 御 ” ， 一器 这里 ， 为通过弯 曲中心而 平行主翰 的外力 为截面对于主翰 的惯性矩 ， 为 泊松 此 。 弃琦令 圆 本文就 是甜谕一个 稠和面数为 三次多项式的情形 ， 这是一个很古老的周题 。 圣推南曹用 这个函 数解过 圆和椭圆截面 ， ， 所衬萧 的二条 道腺和双 曲腺四成 的 截面也是 ， ， 曾指 出一 种对 称截面也可以 为这个面数的解 。 本文就是把这个函数抬予更 系就的 甜湍 ， 所得 的拮果包括 了前者所村而的截面 ， 和其他一些新的截面 ， 其 中有机翼形截 面 的解 。 每一个边界雨 数都包含 了若干个 参数 ， 可以粗成截面族 ， 如机翼形截面可以 得到不 同 的厚度 。 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1958．01．016
一66- 绷院學報 二、間題的解 本文所指的三次多項式翮和面数就是 =合(G+列)+(5+) (4) 其中A和B为任意实常数；和各为 =y-ix, =y+ix 把(4)式展开，就得 中=A(y&-3x2y)+By (5) 把(5)式代入(2)式，我們有 0+(+品r）-飞+，品r+品)是x (6) (6)式是伯努利型的微分方程，其解为 x2=Cy+A'y+B' (7) 其中C为积分常数；n,A'和B'各为 n=-1+品r)，AN=45 (1+v)(18AI+P) (8) B'= 2BI 6AI+P (7)式就是配合(6)式的藏面边界函数，只要它能給出單速通的封阴曲線，都是我們所 須要的解。于是我們来尉論这个函数。 (I)当C=0,(7)式变为 x2=A'y2+B' (9) (9)式可能的封阴曲線有圆和橢圓。如取圆的边界函数为 x2+y2=a2 (10) 此較(9)与(10)雨式的系数，並与(8)式联立解得 A=.B-咒 8(1+v)I a? 則得 鼎t-x)+含2 8(1+y ,把土式代入(3)式，就得圆的应力。同样可以求出橢圓的解。 ()当C午0，由(7：)式取不同的n值来尉論。可以証明当n≤0；n=1,2时(7) 式均非對閉曲線。因此可以由n=3开始： (i)当n=3,由(8)式得
一 一 翎 院 李 根 二 、 周题的解 本文所指 的三次 多项式稠和 面数就是 ‘了、 子、、尹、， 度、、 ， 。 二 。 、 ， ， 二 、 一石 一 又‘ “ ‘ 。 少 一石一 ‘ 一 自 ‘ 日 其 中 和 为任意实常数 否和 屯各为 」 乙 一 父， 乙 把 式展 开 ， 就得 功 忿 一 把 式代入 式 ， 我俩有 贵 十 、 ，二石一一 一 ‘ ， 乙 、 十 、 一 万 了万 一 十 几不万万 一 刃不亏 入 气 广性 “ 石 、 吸厂、了、 了了、 、 、 叮 了 式是伯 努利型的微分方程 ， 其解为 ‘ ‘ 其 中 为积分常数 ， ‘ 和 ‘ 各为 一 十 里一 、 ’ 话装劣淤昌 ， 十 式就 是配合 式的截面边界函数 ， 只 耍它能抬出翠速通 的封阴 曲腺 ， 都是我们所 复耍的解 。 于是我们来衬希这个函 数 。 当 ， 式变 为 二 户 护 式 可能 的封阴 曲腺有圆和椭圆 。 如取圆 的边界函数为 盆 一 此较 与 雨式的系数 ， 龙与 夕式联立解得 广飞 二二 幻 一 一丁一 一一一一丫 二 又 ” 一 霞挥架 一 ’ 得 ，一命筹 ， 尹 一 “ 。 号尖罕 一 把土式代 入 式 ， 就得圆 的应 力 。 伺样 可以 求出椭圆 的解 。 ℃ 当 粉 ， 由 · 式取不同 的 植来衬豁乱 可以 征朋 当 三 一 七 时 式均非封朋 曲腺 。 因此 可以 由 一 开始 当 ， 由 式得
第五期 -67- (11) 这时(7)式变为 1+v?+8B1 X2=C*--8 8P (12) 如分 ±1-： 1+v (v*) (1B) 根号内的“士”为保不出现虚数。把(13)式入(12)式，得 =c(年器+) (14) 其中 c=C1+）,B”-8BI1t (15) 1-3v 3P(1-3v) (14)式是对称于y軸的雨条曲線，如果它們能組合一段封阴曲線，須在y軸上至少有雨个 相異实根，也就是方程 y年是+”=0 (I6) 須有三个相翼实根或一对重根。为了求出根的倒别式，合 1 y=”±C (17) 把(17)式代入(16)式，得 2B” 78-29千7C8+Cm三0 (18) 命 P ,-[急+] 因此得根的倒别式为 +品（年+） (19) 如果方程(18)有三个相異的笑根，则須 (年急+8水0 (20) 要不等式(0)南足，可以看出，当“干”中报“一”号，也卸是取ⅴ<时，B”必須取 正值；反之须取负。並且 IB"|<27C 4
策 一 五 期 一 盯 一 这 时 式变 为 、 一 二 一 淤 · 十 一 …只禽 杏弓 如 合 、 、 于 万 少 玲 根号内 的 “ 土 ” 为保敲不 出现虚数 。 把 拐 式 入 式 ， 得 扑一 干 一咎 一 十 等 其 中 ， 卫丝上旦 、 ’，一 一 ， 。 卜台 夕式是对 称于 釉 的雨条 曲腺 ， 如果它 外能粗合一段封阴 曲徐 ， 须在 轴上 至少有雨个 相奚卖根 ， 也就是方程 千 ‘ ， 一万久矛 丁一 军 须有三个相龚实 根或一对重机 。 为 了求 出根 的判别式 ， 合 二 刃士 万口 把 式代入 式 ， 得 卫 刀。 一 下石两厅 一 刃干 不认奋丽笼 十 一矛布万一 、 沪 一 “ 、 洲 一 、 产 一 弓 ‘ 一 〔 益 万 十 答〕 因此得根的料别式为 『 忿 ’ ， ， 。 ， 、 一 万一” 一 云 一五亡了了 气十 云厄 沪可 十 。 如 果 方程 有三个相龚 的实根 ， ， ‘ 填 二 云鲁 材 十 “ “ 乡 耍不等式 部 痛足 ， 可以看川 ， 当 “ 千 ’ ‘ 中取 “ 一 ” 号 ， ， 也郎是取 惫时 ， ， 必筑取 正值 反 之须取负植 。 兹且 ‘ 。 。 一 茄
-68- 鲷院学報 或写成 ±B"=2(2-) 27C2 (21) 其中 0≤B≤2 (22) 当=0和。=2时，把(21)式代入(19)式，則得判别式等于零，也就是一对重根的情 形。因此，关系式(21)同时表示了三个相異实根和一对重根的情形。由(21)式和(15) 式，我們得 B=±P沿，(v*君) (23) 36C2I(1+v) 由代数学我們知道三个实根的值为 1=2 co,=2r3cos9告 3 (24) :7a=2r3co89 。m0+4红 3 这里 -() m-()月-(1竖0四）} (25) 把(21)式代入(25)式的第二式，得 0=c0s1干(1-c) (26) 最后由(17)，(24)，(25)，(26)等式，得 (27) =(2ca+ 由(27)，(14)，(13)等式，得边界函数为 x2=±1C(y-y)(y-)(y-y),(*名)(28) 1+v (28)式就是当A,B为(11)和(23)式时，配合(5)式所得的截面边界曲線族。其中 有任意常数C'和(22)式的：。曲線的相略图形如下列諸图。在这里合 ±1，-3=m (m>0) 1+v
翎 院 拳 权 或写成 ‘ ” 一 粤 一 ‘ ， 其 中 三 ‘ 三 当 ‘ 和 ‘ 时 ， 把 式代 入 式 ， 得判别式等于零 ， 也就是一对重根的情 形 。 因此 ， 关系式 同时表示 了三个相具实根和 一对重根的情形 。 由 式和 式 ， 我们得 一 士 一 。 一 ， 、 又 等飞 少 由代数学我们知 道三个实根的值为 弄 否 刃‘ 艺 “ 亡 万丁 ， 刀， 艺 ” 孔 。 一 户 。 。 ， 十 孔 这里 、‘ 、、万 ， 弄 、 ， 一 火一 厄百 一 一 、 云屯 矛 。一李 一笃 一 、香一 士 ， 艺 、 、 见 ， ‘ ， 把 式代入 式的第二式 ， 得 二 峰 一 一 。 最 后 由 ， ， ， 等式 ， 得 、叮、少‘ 、声 诊 占 、 忱 石了丽 艺 日不玉 一 圣 。 一 石了万 － 庵于一一 。 勺 、 。 口 七 ‘ 之， 了 ‘ 、 十 二 ， 、 ” 一 百百 护 ” ，二云一 十 上 由 ， ， 等式 ， 得趣界函 数为 ， 一 毛华擎 ， 一 ， 一 ， 二 ， ， 工 月 、 二牛 一二 石 场 式就 是 当 ， 为 幼 和 式 时 ， 配合 式所得的截面边界曲腺族 。 其 中 有任意常数 ’ 和 式的 。 曲腺的胡略图 形如 下列 甜图 。 在这里合 士 鱼二旦竺一 由
第五期 69 1)v02)y0 4 mc湖 27c -3 阁2 上图的第二情形就是翼形面，如变动参数C'可以得不同厚度。我們还可以取C等情形，其可能的图形与上逑的胡似。 (ii)当n-4,由(8)式得 A站 (29) 这时(7)式变为 x2Cw-2物y+b 1-4v 2P (30) 合 x=小 0,(*是) 2(1+v) (31) 把(31)式代入(30)式，得 2=C'y干y2+B" (32) 其中 C'=2CC1+D）,B”=5BI1+ P(1-4v) (33) 1-4v (32)式可以改变成 -C(干2)'+”-4品 (34) 如令 "-=-Ca, (a为任意常数) (35) 則 B"=C[(2C)广-a (36) 由(36)式和(3)式，我們得 (记)°-，(*4) B- (7)
第 五 期 一 一 丢 ， · ‘ 已 ， ‘ ， 弄 ， 。 二 ， ‘ 火七 一少 火二 一大 ， 固 上 图的 第二情形就 是翼形面 ， 如变动 参数 ‘ 可以 得 不 同 厚 度 。 我 们 还 可 以 取 ， 和 》 轰等情 形 ， 其 可能的 图形 与上 述的 相似 。 少当 一 ， 由 ’ ‘ 式得 这 时 式变 为 二 ‘ 一 一 奋 弓 几人 乙 十 ‘ 、 二 少 金 一 士 一一十 ， 气 二芍 一了 一 ‘ 夕 把 式代入 式 ， 得 右， ‘ 千 ， 其 中 ，二 二丝业止业 ， ，’ 一 一 一 式可以 改变成 ‘ ’ 一 仓 干 命 十 ’， 一 责 如合 ， 一 ， 一 ’ ‘ ， 为任意常数 “ 一 ‘ 〔 毛 ， ’ 一〕 由 式 和 式 ， 〔命 一〕 ， 一 扔
一70- 丽院學报 由(5)，(34)和(31)式，我們得到边界函数为 x=±0c6年0广'-a,（*4) (38) (38)式就是当A,B为(29）和(7)式时，配合(5)式所得的藏面边界曲線族。共中 有任意常数C和a。曲線的相似图形如下列諸图。在这里分 ±驾=k (k>0) 1)0 4)>子，0>C>-4 a匙 5)>，C=- 1 6)v>1 c(aa· a 皮a、 周3
一 一 翎 陇 李 银 由 ， 触 和 式 ， 我们得到边屏函 数为 一 士 一 呵介 干 品 ， ’ 一 ’ ， 一 奋 ‘ 式就 是 当 ， 为 和 式时 ， 配吞 式所得的截面 边卿勤徐族 。 其 中 有任意常数 产和 找 。 曲腺的 相似 图形 如下列甜图 。 在这 里合 一 一 二 一 二 下于在 一二 艺又 十 二 ‘ ， 奋 ， ， 命 艺 夕 咬 万 尸 ‘ 一 廿 赚 介一 叨 鼠翱 份 ‘ 。 、 ， ， 《 、 － ， ‘ 月 、 、 任 ， － 。 ‘ 六 、 。 ， 、 曰护介 吸奋 夕 ， 一 二一 二， 艺 、 改穿 丘 夕 多 ， 一 万一 任 ， 一 加 、 、 饭 护 一 二， 了一 、 奥艺 圆
第五期 -71一 (ii)当n=46,8…断，如只取v=子。则(7)式变为 x2=Cyv+B' (39) 如(9)式中选C0,則有 器+(g)-1e: (40)· 的解。 此外，当n等于其他各值，可以同样进行制論 如果在（5)式中我們合A=0,卸得 中=By (41) 这时(7)式变为 14vy2-3B1 X2-.v (42) 如分 B-y Pa2 (1+可)，（。为任意常数) (43) 則(42)式变为 (1+v)x2-y2=a21][2] (44) 因为测和面数只是y的面数，所以(41)式还可以滿足下列的边界 y=b) (b,c为任意常数) (45) y=cl (42)和(45)式所園成的截面边界曲線族，就是配合(41)和(43)式的解。藏面的形状 如下列图。 (0a) 网4
第 五 期 一 一 ，川 当 一， ， · · · · · … … 时 ， 如 只 取 一 告 。 。 ，式变 为 了沙、了才、、了、‘孟‘沙、 ‘了、 鸽拐肠拱 了厂、广、尹‘、 如 临 式 中选 ， ‘ ， 只 有 一 ， 一 晋警 一 十 代 一 犷一 〔‘ 〕〔“ ， 的解 。 此外 ， 当 等于其他各值 ， 可以 同样进 行 衬渝 。 如果在 式 中我们 会 二 ， 即得 叻 这时 式变 为 竺 一 一卜 一 一 如 合 玄双 不订 一 ， 为任意常数 式变 为 “ 一 对 二 〔 〕〔 〕 因为刹和面数只 是 的函 数 ， 所以 式还可以浦足下列的边界 ， · 为任意常“ ， 和 式所困成的截面边界曲粉族 ， 就 是配合 和 拐 式的解 。 截面的形肤 如下列图 。 叼丫人 然全二乙鬓 圈
、 一72一 辆院，學報 如合 Pa2 B= (46) ,21(1+v) 則(42)式变为 y2-(1+v)x2=a2 (47) (47)和(45)式所圆成的截面边界曲線族。就是配合(41)'和(46)式的解。截面的形状 如下列图。 刷5 三、钻語 本文沒有具体算出应力分佈，因为与具体截面有关。这个工作已不摊了，只要由給出的 截面，决定边界函数中的参数，也就是决定了A,B常数，这样应力分布就可以由(3)式 算得。 註：本文曾在第一火全固力學會議上宣资當時所用题目禽“按胡和函数求解的柱能题臂 条彆曲同题”因就题目不夠难切所以進行了更改。 鉴考文默 [1 Love,A.E.H,The Mathematical Theory of Elasticity,Chap.XV, 1944。 [2 Timoshenko,s.,Theory of Elast icity,Chap.12,1951 3 MycxenHuBHnH,H.N.,HeKoTopbie oCHOBHLe 3anayn MaTemaTHyecKon TeopHn ynpyrocTH,CTP.531-538,1949 〔4〕林同驥，翼裁面柱體的梦曲問题，力學學報，1卷1期，1957,49一62页
一 学 一 翎 院 李 粗 如 会 ， ‘ 式变为 竹 一 一 和 式所圆成的截面边界曲腺族 。 就 是配合 ’ 和 式的解 。 截面的形状 如 下列图 。 圈 三 、 桔 豁 本文没 有具体 算 出应 力分怖 因为 与具体 截面 有 关 。 这个工作 已木难 了 ， 只 要 由拾出的 截面 ， 决定边 界函 数 中的 参 数 ， 也 就 是决 定 了 ， 常数 ， 这样应 力分怖就 可以 由 式 算得 。 让 本文 曾在 第一 次 全 因 力 李舍谈上 宣债 常峙 所 用 题 目篇 “ 按拥 和 函 数 求 解的 拄骸 愚臂 梁 梦曲 简题 ，， 因兹题 目术钧摧切 所以造 行 了更改 。 ’ 参 考 文 献 〔 〕 。 〔 〕 〔 〕 ， 〔 〕 ， ， 哪 ， ， 吕 ， 山 ， ， 恤 ， 双 勺 何 了“ 互 计 “ 林 同骥 ， 炭 一 名 ， ， 。 冀 截面 柱艘 的 警曲 尚 题 ， 力 李祭粗 ， 卷 期 ， ， 一 页