孤立波 第一节历史回顾 第二节KdV方程 第三节正弦一高登方程 第四节非线性薛定谔方程与 光学孤立子
孤立波 第一节 历史回顾 第二节 KdV方程 第三节 正弦—高登方程 第四节 非线性薛定谔方程与 光学孤立子
1.一个奇特的水波 罗素的发现 一个奇特的水波 约170年前,苏格兰海军工程师罗素( Scott russell.-次偶然中观察 到一种奇特的水波。 184年,他的报告:“我看到两匹骏马拉着一条船沿运河迅速前进。 当船突然停止时,随船-起运动的船头处的水堆并没有停止下来。它激烈 地在船头翻动起来,随即突然离开船头,并以巨大的速度向前推进 一个轮廓清晰又光滑的水堆,犹如一个大鼓包,沿着运河一直向前推进 在行进过程中其形状与速度没有明显变化。 我骑马跟踪注视,发现它保持着起始时约30英尺长,1-1.5英尺高的浪头 ,约以每小时8-9英里的速度前进后来,在运河的拐弯处消失了”。 罗素称之为孤立波- Solitary wave
1. 一个奇特的水波 一个奇特的水波 约170年前,苏格兰海军工程师罗素 (J.Scott Russell)在一次偶然中观察 到一种奇特的水波。 1844年,他的报告:“我看到两匹骏马拉着一条船沿运河迅速前进。 当船突然停止时,随船一起运动的船头处的水堆并没有停止下来。它激烈 地在船头翻动起来,随即突然离开船头,并以巨大的速度向前推进。 一个轮廓清晰又光滑的水堆,犹如一个大鼓包,沿着运河一直向前推进 在行进过程中其形状与速度没有明显变化。 我骑马跟踪注视,发现它保持着起始时约 30 英尺长,1-1.5 英尺高的浪头 ,约以每小时8-9英里的速度前进后来,在运河的拐弯处消失了” 。 罗素称之为 孤立波 - Solitarywave。 罗素的发现
1.一个奇特的水波 罗素的发现 水槽中的实验 罗素在-长水槽的一端,用一重锤垂落入水中,反复的观察重锤激起的水 浪的运动。 实验结论 水波移动速度ν、水的深度d及水波幅度A的关系为 2=B(d+A)B为比例常数 实验结果说明水波的运动速度与波幅高度有关,波幅高的速度较快,且 波幅的宽度对高度之比也相对较窄
1. 一个奇特的水波 水槽中的实验 罗素在一长水槽的一端,用一重锤垂落入水中,反复的观察重锤激起的水 浪的运动。 实验结论 水波移动速度 v、水的深度d 及水波幅度 A的关系为: B 为比例常数 实验结果说明水波的运动速度与波幅高度有关,波幅高的速度较快,且 波幅的宽度对高度之比也相对较窄。 罗素的发现 ( ) 2 v = B d + A
1.一个奇特的水波 漫长的发展史 Kd方程 半个世纪后,1895年,两位荷兰科学家科特维格( Korteweg与德弗雷斯 ( de vries认为:罗素观察到的孤立浪是波动过程中韭线性效应与色散现象 互相平衡的结果。他们建立了KdV方程 a aa a i-+ a ax (x, t)=3vsech*-(x-vt) sech(x)为双曲正割函数具有钟形形状。 FP问题 又过半个多世纪,1955年,美国阿尔莫斯国家实验室,著名物理学家 费米Ferm)帕斯塔( J Pasta)和乌莱姆(Uam)设计了一个数值计算实验 韭线性弹箐联结的64个质点组成弦的振动”,发现初始对少数质点激发 长时间后能量几平全部回到了初始集中在少数质点上的状态
1. 一个奇特的水波 KdV方程 半个世纪后,1895年,两位荷兰科学家科特维格(Kortweg)与德弗雷斯 (de Vries) 认为:罗素观察到的孤立波是波动过程中非线性效应与色散现象 互相平衡 的结果。他们建立了KdV方程: 解 sech(x)为双曲正割函数,具有钟形形状。 FPU问题 又过半个多世纪,1955年,美国阿尔莫斯国家实验室,著名物理学家 费米(E.Fermi)、帕斯塔(J.Pasta)和乌莱姆(Ulam) 设计了一个数值计算实验: “非线性弹簧联结的64个质点组成弦的振动”,发现初始对少数质点激发 ,长时间后能量几乎全部回到了初始集中在少数质点上的状态。 漫长的发展史 0 3 3 + + = x u x u u t u ( , t) 3 sech ( ) 2 x v t v v u x = v −
1.一个奇特的水波 漫长的发展史 1965年两位美国数学家,采布斯基( Zabusky)与克鲁思卡尔 Kruskal) ,用计算机计算发现,FPU问题与KdⅤ方程的解直接有关。此后,人们 发现,在许多物理体系中都存在KdV方程,说明孤立波是种普遍存在的 物理现象。KdV方程成为数学物理的一个基本方程 孤立浪方程 在理论上和实验上已对孤立波巳作了大量的研究。此后发现,除KdV方 程外还有其它微分方程具有孤立波解。 在数学上通常认为下列非线性方程的解的性质具有孤立波特性。 (1)KdV方程 2)正弦高登( Sine-Gordon)方程 (3)户田( M. Toda)非线性晶格方程 (4)非线性薛定谔方程(NLSE
1. 一个奇特的水波 1965年 两位美国数学家,采布斯基(Zabusky)与克鲁思卡尔(Kruskal) ,用计算机计算发现, FPU 问题与 KdV 方程的解直接有关。此后,人们 发现,在许多物理体系中都存在KdV方程,说明孤立波是一种普遍存在的 物理现象。 KdV方程成为数学物理的一个基本方程 孤立波方程 在理论上和实验上已对孤立波巳作了大量的研究。此后发现,除KdV方 程外还有其它微分方程具有孤立波解。 在数学上通常认为下列非线性方程的解的性质具有孤立波特性。 (1)KdV方程 (2)正弦—高登(Sine-Gordon)方程 (3)户田(M.Toda)非线性晶格方程 (4)非线性薛定谔方程(NLSE) 漫长的发展史
2.孤立波与孤立子 孤立波 在形态上孤立波是存在于自然界里的相王结构 coherent structure,或称拟 序结构)。从美丽的木星上的巨型红斑到固体中的电荷密度波都属于这样的 有序结构。 从运动形式上相干结构与混沌运动既是相互对立的。混沌运动是非线性 中奇妙的无序状态,相干结构反映了非线性系统中的惊人有序性。 在尺度上:大到天文范围 木星上巨型红斑达4×10米, 约地球与月亮之间的距离;泰 国安达曼海面出现的孤立波约 150公里宽;水面上孤立水波 的尺寸在1米量级),小到纳米 二硫化钽晶体中的电菏密度孤 立波)
在形态上孤立波是存在于自然界里的相干结构(coherent structure,或称拟 序结构)。从美丽的木星上的巨型红斑到固体中的电荷密度波都属于这样的 有序结构。 从运动形式上相干结构与混沌运动既是相互对立的。混沌运动是非线性 中奇妙的无序状态,相干结构反映了非线性系统中的惊人有序性。 孤立波 在尺度上:大到天文范围( 木星上巨型红斑 达4×108米, 约地球与月亮之间的距离;泰 国安达曼海面出现的孤立波约 150公里宽;水面上孤立水波 的尺寸在1米量级),小到纳米( 二硫化钽晶体中的电菏密度孤 立波)。 2.孤立波与孤立子
2.孤立波与孤立子 孤立子 计算发现,两个在空间传播的孤立波具有邳橦特性,说明 (1)孤立波非常的稳定;(2)象一个物质粒子。 人们将具有碰撞特性孤立波称为“孤立子- soliton”,简称“孤子"。孤立子 是由非线性场所激发的、能量不弥散的、形态上稳完的准粒拉子。 8
2.孤立波与孤立子 孤立子 计算发现,两个在空间传播的孤立波具有碰撞特性,说明: (1)孤立波非常的稳定;(2)象一个物质粒子。 人们将具有碰撞特性孤立波称为“孤立子-soliton”,简称“孤子”。孤立子 是由非线性场所激发的、能量不弥散的、形态上稳定的准粒子
2.孤立波与孤立子 孤立子 定义 ①向单方向传播的行波; ②分布在空间的一个小区域中; ③波动形状不随时间演变而发生变化; ④孤立波之间的相互作用具有类似粒子一样的弹性碰撞。 孤立子具有一切粒子所具有的特性,如能量、动量、质量、电荷、自旋等 等,也遵循一般的自然规律,如能量、动量、质量守恒定律。它又有波动 性,存在于一切可以出现波动的介质里 孤立波子哪里? 孤立波除存在于浅水层外,还可在水层深处。固体介质、电磁场、等离子 体、生物体、以及微观粒子的波动性中都可能有孤立波存在。它是—种行 波,既可以速度ν在空间传播,又可以处于静止状态
2.孤立波与孤立子 孤立子 定义 ①向单方向传播的行波; ②分布在空间的一个小区域中; ③波动形状不随时间演变而发生变化; ④孤立波之间的相互作用具有类似粒子一样的弹性碰撞。 孤立子 具有一切粒子所具有的特性,如能量、动量、质量、电荷、自旋等 等,也遵循一般的自然规律,如能量、动量、质量守恒定律。它又有波动 性,存在于一切可以出现波动的介质里。 孤立波子哪里? 孤立波除存在于浅水层外,还可在水层深处。固体介质、电磁场、等离子 体、生物体、以及微观粒子的波动性中都可能有孤立波存在。它是一种行 波,既可以速度v 在空间传播,又可以处于静止状态