课时授倮计划 第三十虽次 【教学课题】:§3-7纯弯曲的梁的正应力 【微学目的】:掌握纯弯曲的梁的正应力 【教学會点及处理方法】:纯弯曲的梁的正应力 处理方法:详细讲解 【喾卓点及处方】:纯弯曲的梁的正应力的应用 处理方法:结合例题分析讲解 【学方】:讲授法 【敬具】 【时间分配】:引入新课5min 新课80min 小结、作业5min
课 时 授 课 计 划 第三十五次课 【教学课题】：§3-7 纯弯曲的梁的正应力 【教学目的】： 掌握纯弯曲的梁的正应力 【教学重点及处理方法】： 纯弯曲的梁的正应力 处理方法：详细讲解 【教学难点及处理方法】：纯弯曲的梁的正应力的应用 处理方法： 结合例题分析讲解 【教学方法】: 讲授法 【教具】： 【时间分配】： 引入新课 5min 新课 80 min 小结、作业 5min
第三十五次课 【提示启发引出新课】 在上次课中已经讨论剪力图和弯矩图的绘制及他们之间的关系。 在这次课中讨论纯弯曲的梁的正应力的计算 【新课内容】 53-10纯弯曲时梁的正应力 在平面弯曲时,工程上近似地认为梁横截面上的弯矩是由截面上的 正应力形成的,而剪力则由截面上的切应力所形成。本章将在梁弯曲时 的内力分析的基础上,导出梁弯曲时的应力与变形的计算,建立梁的强 度和刚度条件。 为了研究梁橫截面上的正应力分布规律,取一矩形截面等直梁,在 表面画些平行于梁轴线的纵线和垂直干梁轴线的横线。在梁的两端施加 对位于梁纵向对称面内的力偶,梁则发生弯曲。梁任意横截面上的内 力只有弯矩而无剪力,这种弯曲称为纯弯曲,这种梁称为纯弯曲梁 通常从变形的几何关系、物理关系和静力平衡条件三个方面来推导 出纯弯曲梁横截面上的正应力公式 、实验观察 梁发生弯曲变形后,我们可以观察到以下现象:
第三十五次课 【提示启发 引出新课】 在上次课中已经讨论剪力图和弯矩图的绘制及他们之间的关系。 在这次课中讨论纯弯曲的梁的正应力的计算。 【新课内容】 §3-10 纯弯曲时梁的正应力 在平面弯曲时，工程上近似地认为梁横截面上的弯矩是由截面上的 正应力形成的，而剪力则由截面上的切应力所形成。本章将在梁弯曲时 的内力分析的基础上，导出梁弯曲时的应力与变形的计算，建立梁的强 度和刚度条件。 为了研究梁横截面上的正应力分布规律，取一矩形截面等直梁，在 表面画些平行于梁轴线的纵线和垂直干梁轴线的横线。在梁的两端施加 一对位于梁纵向对称面内的力偶，梁则发生弯曲。梁任意横截面上的内 力只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯弯曲，这种梁称为纯弯曲梁。 通常从变形的几何关系、物理关系和静力平衡条件三个方面来推导 出纯弯曲梁横截面上的正应力公式。 一、实验观察 梁发生弯曲变形后，我们可以观察到以下现象：
1、横向线仍是直线且仍与梁的轴线正交,只是相互倾斜了一个角 度 2、纵向线(包括轴线)都变成了弧线。 梁横截面的宽度发生了微小变形 根据上述现象,可对梁的变形提出如下假设 ①平面假设:梁弯曲变形时,其横截面仍保持平面,且绕某轴转 过了一个微小的角度 ②单向受力假设:设梁由无数纵向纤维组成,则这些纤维处于单 向受拉或单向受压状态。 可以看出,梁下部的纵向纤维受拉伸长,上部的纵向纤维受压缩短, 其间必有一层纤维既不伸长也木缩短,这层纤维称为中性层。中性层和 横截面的交线称为中性轴,即图中的Z轴。梁的横截面绕Z轴转动一个 微小角度 变形的几何关系 图中梁的两个横截面之间距离为dx,变形后中性层纤维长度仍为 dx且dx=pd。距中性层为y的某一纵向纤维的线应变ε为
1、横向线仍是直线且仍与梁的轴线正交，只是相互倾斜了一个角 度 2、纵向线（包括轴线）都变成了弧线。 3、梁横截面的宽度发生了微小变形， 根据上述现象，可对梁的变形提出如下假设： ① 平面假设：梁弯曲变形时，其横截面仍保持平面，且绕某轴转 过了一个微小的角度。 ② 单向受力假设：设梁由无数纵向纤维组成，则这些纤维处于单 向受拉或单向受压状态。 可以看出，梁下部的纵向纤维受拉伸长，上部的纵向纤维受压缩短， 其间必有一层纤维既不伸长也木缩短，这层纤维称为中性层。中性层和 横截面的交线称为中性轴，即图中的 Z 轴。梁的横截面绕 Z 轴转动一个 微小角度。 二、变形的几何关系 图中梁的两个横截面之间距离为 dx，变形后中性层纤维长度仍为 dx 且 dx=ρdθ。距中性层为 y 的某一纵向纤维的线应变 ε 为：
即梁内任一纵向纤维的线应变E与它到中性层的距离y成正比 、变形的物理关系 由单向受力假设,当正应力不超过材料的比例极限时,将虎克定律 代入上式,得: 可见矩形截面梁在纯弯曲时的正应力的分布有如下特点 ①中性轴上的线应变为零,所以其正应力亦为零。 ②到中性轴距离相等的各点,其线应变相等。根据虎克定律,它 们的正应力也相等 ③在图示的受力情况下,中性轴上部各点正应力为负值,中性轴 下部各点正应力为正值。 ④正应力沿y轴线性分布。最大正应力(绝对值)在离中性轴最 四、梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律 、纯弯曲时梁横截面上只有正应力而无切应力 由于梁横截面保持平面,所以沿橫截面高度方向纵向纤维从缩 短到伸长是线性变化的,因此横截面上的正应力沿横截面高度方向也是 线性分布的。 以中性轴为界,凹边是压应力,使梁缩短,凸边是拉应力,使 梁伸长,横截面上同一高度各点的正应力相等,距中性轴最远点有最大 拉应力和最大压应力,中性轴上各点正应力为零
即梁内任一纵向纤维的线应变 ε 与它到中性层的距离 y 成正比。 三、变形的物理关系 由单向受力假设，当正应力不超过材料的比例极限时，将虎克定律 代入上式，得： 可见矩形截面梁在纯弯曲时的正应力的分布有如下特点： ① 中性轴上的线应变为零，所以其正应力亦为零。 ② 到中性轴距离相等的各点，其线应变相等。根据虎克定律，它 们的正应力也相等。 ③ 在图示的受力情况下，中性轴上部各点正应力为负值，中性轴 下部各点正应力为正值。 ④ 正应力沿 y 轴线性分布。最大正应力（绝对值）在离中性轴最 四、梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律 1、纯弯曲时梁横截面上只有正应力而无切应力。 由于梁横截面保持平面，所以沿横截面高度方向纵向纤维从缩 短到伸长是线性变化的，因此横截面上的正应力沿横截面高度方向也是 线性分布的。 以中性轴为界，凹边是压应力，使梁缩短，凸边是拉应力，使 梁伸长，横截面上同一高度各点的正应力相等，距中性轴最远点有最大 拉应力和最大压应力，中性轴上各点正应力为零
2、梁纯弯曲时正应力计算公式 在弹性范围内,经推导可得梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力为 式中,M为作用在该截面上的弯矩(Nmm);y 为计算点到中性轴的距离(mm);I为横截面对中性轴z的惯性矩 在中性轴上y=0,所以σ=0;当yyma时,o=max。最大正 应力产生在离中性轴最远的边缘处, My 或 M 22 x 横截面对中性轴z的抗弯截面模量mm)
2、梁纯弯曲时正应力计算公式 在弹性范围内，经推导可得梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力为 式中， M 为作用在该截面上的弯矩（Nmm）； y 为计算点到中性轴的距离（mm）； I 为横截面对中性轴 z 的惯性矩 （mm4）。 在中性轴上 y=0，所以=0 ；当 y=ymax 时，=max 。最大正 应力产生在离中性轴最远的边缘处， 或 __________横截面对中性轴 z 的抗弯截面模量 mm 3 )
计算时,M和y均以绝对值代入,至于弯曲正应力是拉应力还 是压应力,则由欲求应力的点处于受拉侧还是受压侧来判断。受拉侧的 弯曲正应力为正,受压侧的为负。 弯曲正应力计算式虽然是在纯弯曲的情况下导出的,但对于剪 切弯曲的梁,只要其跨度L与横截面高度h之比Lh>5,仍可运用这 些公式计算弯曲正应力。 5、惯性矩和抗弯截面模量 简单截面的惯性矩和抗弯截面模量计算公式 截面形状 Iz=12 1=L= (D-d) .=l ≈0.05D(-a4) 惯性矩抗弯截面模量 ≈0.05D4 式中a= W=W,=(1-a) 6 := ≈0.1D(1-a4) ≈0.1D3 d 式中= 6、梁纯弯曲时的强度条件
计算时， M 和 y 均以绝对值代入，至于弯曲正应力是拉应力还 是压应力，则由欲求应力的点处于受拉侧还是受压侧来判断。受拉侧的 弯曲正应力为正，受压侧的为负。 弯曲正应力计算式虽然是在纯弯曲的情况下导出的，但对于剪 切弯曲的梁，只要其跨度 L 与横截面高度 h 之比 L/h ＞5，仍可运用这 些公式计算弯曲正应力。 5、惯性矩和抗弯截面模量 简单截面的惯性矩和抗弯截面模量计算公式 6、梁纯弯曲时的强度条件
对于等截面梁,弯矩最大的截面就是危险截面,其上、下边缘各点 的弯曲正应力即为最大工作应力,具有最大工作应力的点一般称为危险 点。 梁的弯曲强度条件是:梁内危险点的工作应力不超过材料的许用应 力。运用梁的弯曲强度条件,可对梁进行强度校核、设计截面和确定 许可载荷。 例7-6在例7-3中的简支梁,若选用D=100mm,d=60mm的空 心圆形截面钢制造,已知梁的跨度l=3m,a=lm,b=2m,集中载荷 F=25kN,许用正应力[o]=200MPa。不计梁的自重,试校核该梁的强 度
对于等截面梁，弯矩最大的截面就是危险截面，其上、下边缘各点 的弯曲正应力即为最大工作应力，具有最大工作应力的点一般称为危险 点。 梁的弯曲强度条件是：梁内危险点的工作应力不超过材料的许用应 力。 运用梁的弯曲强度条件，可对梁进行强度校核、设计截面和确定 许可载荷。 例 7－6 在例 7－3 中的简支梁，若选用 D=100mm，d=60mm 的空 心圆形截面钢制造，已知梁的跨度 l=3m，a=1m，b=2m，集中载荷 F=25kN，许用正应力[]=200MPa。 不计梁的自重，试校核该梁的强 度
解(1)确定最大弯矩据例7-3,梁C点的最大弯矩为 03×2 F=2-×25×103N,mm=1.667×10N,mm 2)确定抗弯截面模量 W≈0.1D(1-a4)=0.1×100×/1(60、mm3=8.7×10mm3 100 (3)校核强度 M1.667×10 max MPa=1916MPa <[o]=200MPa W.8.7×10 所以,该梁强度足够 【小结】:纯弯曲的梁的正应力 【作业】:5 【后记】:
【小结】： 纯弯曲的梁的正应力 【作业】：5 【后记】：
