第三章！ 导数应用 理论：判别函数的单调性，求函数的极值、最值 实际：对实际问题作最优决策、寻找最优方案 §3.1函数的单调性 y=f(x) y=f(x) 定理 a b a b 设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导， (I)若在(a,b)内恒有f'(x)>0,则y=f(x)在[a,b]上单调增加； (2) 若在(a,b)内恒有f'(x)<0,则y=f(x)在[a,b]上单调减少
第三章 导数应用 §3.1 函数的单调性 实际：对实际问题作最优决策、寻找最优方案 理论：判别函数的单调性，求函数的极值、最值 y = f (x) y = f (x) 定理 a b a b （ ）若在 内恒有 ，则 在 上单调减少。 （） 若在 内恒有 ，则 在 上单调增加； 设函数 在闭区间 上连续，在开区间 内可导， 2 ( , ) ( ) 0 ( ) [ , ] 1 ( , ) ( ) 0 ( ) [ , ] ( ) [ , ] ( , ) a b f x y f x a b a b f x y f x a b y f x a b a b = = =
注 1、定理对于任何区间都成立； 2、定理的条件充分但不必要 如：函数y=x3,在(-0，+0)内，它的导数并不是总大于0， 但它在(-0，+o)内，仍然单调增加。 函数y= 2x-1,x≤1 x,x>1' 在(-0，+0)内并不是总可导， 但它在(-∞，+∞)内，仍然单调增加。 8寸 4 2 6 -8
注 1 、定理对于任何区间都成立； 2、定理的条件充分但不必要。 但它在 内，仍然单调增加。 如：函数 ，在 内，它的导数并不是总大于 ， ( , )( , ) 0 3 − + y = x − + 但它在 内，仍然单调增加。 函数 ，在 内并不是总可导， ( , ) ( , ) , 1 2 1, 1 − + − + − = x x x x y 1
峰项点 谷底点 y=f(x) X3 X4 a x X2 b 求函数y=f(x)的单调区间的一般步骤 1) 求出函数f(x)的定义域D: (2)计算f'(x),求出D内所有使f'(x)等于零及不存在的x点； (3)用上述点将函数的定义域分成若干开区间，列表讨论； (4)写出结论
a b y = f (x) 1 2 x x 3 4 x x 求函数 y = f ( x)的单调区间的一般步骤 （ ）写出结论。 （ ）用上述点将函数的定义域分成若干开区间，列表讨论； （ ）计算 ，求出 内所有使 等于零及不存在的 点； （）求出函数 的定义域 ； 4 3 2 ( ) ( ) 1 ( ) f x D f x x f x D 峰顶点 谷底点
例1 求函数y=(x-1)Vx2单调区间 解 函数的定义域为（一0，+0） 52 y=x3-x3 J= 5 2 2 x3 5x-2 3 3.x 当x=2时，y=0,当5，=0时，y不存在 5 x (-00,0) (0, y' + + y 函数在(-0)和（子+四内单调增加，在0，内单调减少
解例1 求函数 y = ( x − 1 ) 3 x 2 单调区间 函数的定义域为（− ，+ ）32 35 y = x − x 3 31 32 35 2 32 35 x x y x x − = − = − 当 x = 时，y = 0，当 x = 0时，y不存在 52 1 2 yy x (−, 0) ) 52 (0, , ) 52( + + − + 函数在 和 内单调增加，在 )内单调减少。 52 , ) (0, 52 (−, 0) ( +
讨论函数y=x-n(1+x)单调性。 解 函数的定义域为（-1，+o) :1+x 当x=0时，y'=0 x (-1,0) (0,+∞) y 十 y 函数在(-1,0)内单调减少，在(0，+∞)内单调增加
讨论函数 y = x − ln(1 + x) 单调性。 函 数 的 定 义 域 为 （ − 1，+ ） x x x y + = + = − 1 1 1 1 当 x = 0时 ，y = 0 y y x (−1, 0) (0, + ) − + 函数在 (−1, 0)内单调减少，在 (0, + )内单调增加。 解
§3.2 函数极值 函数的极值 1、定义 设函数f(x)在点x,的某个邻域U内有定义。 (1) 如果当x∈U且x≠x,时恒有：f(x)>f(xo), 则称x是f(x)的极小值点，称f(x)为f(x)的一个极小值； (2)如果当x∈U且x≠x,时恒有：f(x)<f(x), 则称x是f(x)的极大值点，称f(x)为f(x)的一个极大值。 2、极值与最值的关系 区别：①范围 (2)个数 (3)大小 (4)位置 联系：（①）内部的最值是极值；(2)唯一的极值是最值。 3、极值的必要条件 定理 若函数f(x)在极值点x处可导，则f'(x)=0
§3.2 函数极值 一、函数的极值 1、定义 则称 是 的极大值点，称 为 的一个极大值。 如果当 且 时恒有： ， 则称 是 的极小值点，称 为 的一个极小值； （）如果当 且 时恒有： ， 设函数 在点 的某个邻域 内有定义。 ( ) ( ) ( ) (2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x f x f x f x x U x x f x f x x f x f x f x x U x x f x f x f x x U 2、极值与最值的关系 区别：(1)范围 (2)个数 (3)大小 (4)位置 联系：(1)内部的最值是极值；（2）唯一的极值是最值。 3、极值的必要条件 定理 ( ) ( ) 0. 若函数 f x 在极值点x0处可导，则 f x0 =
定义 使f'(x)=0的x点，称为函数f(x)的驻点。 必要条件告诉我们，对于可导的函数，极值点一定是驻点。 除此之外，函数的不可导点也可能是极值点，如：y=x便在 不可导点x=0处取得了极小值，因此极值点只需从驻点以及 不可导点中去找，为了叙述方便，将这两种类型的点统称为函数 的可能极值点。但要注意，它们只是可能极值点，并不能肯定， 如：y=x3的驻点x=0不是极值点；y= 2x,x≤0 1x,x>0 的不可导点 x=0也不是极值点。 驻点 极值点 不可导点
也不是极值点。 如： 的驻点 不是极值点； 的不可导点 的可能极值点。但要注意，它们只是可能极值点，并不能肯定， 不可导点中去找 为了叙述方便 将这两种类型的点统称为函数 不可导点 处取得了极小值，因此极值点只需从驻点以及 除此之外，函数的不可导点也可能是极值点，如： 便在 必要条件告诉我们，对于可导的函数，极值点一定是驻点。 0 , 0 2 , 0 0 , , 0 | | 3 = = = = = = x x x x x y x x y x y x 驻 点 不 可 导 点 极值点 定义 使 f (x) = 0的x点，称为函数 f (x)的驻点
4、极值的充分条件 定理 (极值的第一充分条件) 设f(x)在x点的某邻域内可导（在x点只要求连续），则 x是可能极值点 x点左侧 x点右侧 结论 + x是极大值点 x,是极小值点 f'(x) 十 + + x,不是极值点
4、极值的充分条件 定理 （极值的第一充分条件） 设 f (x)在 x0点的某邻域内可导（在 x0点只要求连续），则 x0是可能极值点 x0点左侧 x0点右侧 结 论 x0是极大值点 x0是极小值点 x0不是极值点 f (x) + + + + − − − −
定理 (极值的第二充分条件) 设函数f(x)在点x处具有二阶导数，且f'(x)=0,"(x)≠0 则(1)当f"(x)0时，f(x)为函数f(x)的极小值。 注 极值的第二充分条件适用范围较窄。 5、求极值的一般步骤 (I)求出函数f(x)的定义域D; (2)计算f'(x),求出D内的所有可能极值点； (3)用上述点将函数的定义域分成若干开区间，列表讨论； (4)写出结论
定理 （极值的第二充分条件） （ ）当 时， 为函数 的极小值。 则（）当 时， 为函数 的极大值； 设函数 在点 处具有二阶导数，且 ， 2 ( ) 0 ( ) ( ) 1 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 f x f x f x f x f x f x f x x f x f x = 注 极值的第二充分条件适用范围较窄。 5、求极值的一般步骤 （ ）写出结论。 （ ）用上述点将函数的定义域分成若干开区间，列表讨论； （ ）计算 ，求出 内的所有可能极值点； （）求出函数 的定义域 ； 4 3 2 ( ) 1 ( ) f x D f x D
例2 求函数f(x)=x-3.(x-1)2的极值 解 函数的定义域为(-o,+o) -1-36--2 3x-1 当x=9时，f'(x)=0,当x=1时，f'(x)不存在 X (-0,1) 1 (1,9) 9 (9,+0) y + 0 + y 极大 极小 函数在x=1处取得极大值f(I)=1: 在x=9处取得极小值f(9)=-3
例2 解 求函数 f (x) = x −3 3 (x −1) 2 的极值 函数的定义域为（−, +） 3 3 3 1 1 1 2 ( 1) 3 2 ( ) 1 3 − − − = − − = − x x f x x 当x = 9时，f (x) = 0，当x =1时，f (x)不存在 y y x (−,1) 1 (1, 9) 9 (9,+ ) + − 极大 + 极小0 9 (9) 3 1 (1) 1 = = − = = x f x f 在 处取得极小值 函数在 处取得极大值 ；