超音速射流流场中湍流模型

第36卷第3期 北京科技大学学报 Vol.36 No.3 2014年3月 Journal of University of Science and Technology Beijing Mar.2014 超音速射流流场中湍流模型 赵飞，张延玲四，朱荣，王慧 北京科技大学钢铁治金新技术国家重点实验室，北京100083 ☒通信作者，E-mail:zhangyanling@(metall.usth.edu.cn 摘要为了确定适用于超音速射流流场数值模拟的湍流模型，首先从理论上分析常用的五种湍流模型之间的差异及其适 用范围：其次，采用五种湍流模型，分别对不同马赫数下超音速射流流场进行数值模拟，将数值模拟结果与实测值和理论值进 行对比分析.结果表明：剪切压力传输kw模型与其他模型相比，通过对输运方程的修正，保证其在计算射流流场时具有较高 的准确性：在喷管内部和外部射流流场的模拟中，剪切压力传输一ω模型的计算结果与理论值和实测值具有较高的吻合度， 在五种湍流模型中最适合于超音速射流流场的数值模拟研究. 关键词超音速射流：流场：模拟：湍流模型 分类号0354.3 Turbulence model in supersonic jet flow field ZHAO Fei,ZHANG Yan-ling,ZHU Rong,WANG Hui State Key Laboratory of Advanced Metallurgy,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:zhangyanling@metall.ustb.edu.cn ABSTRACT To determine a suitable turbulence model for the numerical simulation of supersonic jet flow fields,the differences and application scopes of five turbulence models were analyzed theoretically first,and then supersonic jet flow fields with different Mach numbers were numerically simulated using these five turbulence models.The numerical simulation results were comparatively analyzed with the measured and theoretical values.It is shown that compared with other models,the shear stress transmissionw(SST) model has a relative higher accuracy in calculating the supersonic jet flow fields through modifying the transport equation.In the simu- lation of flow fields inside and outside the nozzle,the simulation result of the SST model is more in agreement with the measured and the theoretical values.Among the five turbulence models,the SST kw model is most suitable for the numerical simulation of the supersonic jet flow fields. KEY WORDS supersonic jet;flow fields:simulation:turbulence models 超音速射流在现代工业的发展中扮演着越来越领域，而是逐步扩展到其他领域：在材料检测领域， 重要的角色，成为某些行业不可或缺的部分.例如， 超音速射流可以创造出某些极端特殊环境，为特殊 在航空航天领域，超音速射流喷管是飞机等飞行器环境下材料和构件的检测提供一种重要的手段：在 发动机的重要组成部分，是为飞行器提供动力的关 材料表面防护领域，超音速射流成为材料表面冷喷 键装置：在冶金领域，通过超音速射流氧枪为金属熔 涂的新方法，以经济和高效地方式防护和强化零件 池供氧，并与熔池中的钢液和熔渣相互作用，进行流 表面的物理化学性能. 动、传热、传质和化学反应，完成钢种的治炼和生产. 许多学者已经开展了超音速射流流场特性的研 随着超音速射流技术的不断发展，其应用范围也越 究工作.为了节省研究成本和加快研究速度，多数 来越广，不仅仅局限于传统的航空航天领域和治金 学者采用数值模拟的方法对超音速射流进行研究： 收稿日期：2012-12-31 基金项目：国家重大科学仪器设备开发专项资助项目(2011YQ14014505) DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2014.03.014:http://journals.ustb.edu.cn

第 36 卷 第 3 期 2014 年 3 月 北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol． 36 No． 3 Mar． 2014 超音速射流流场中湍流模型 赵 飞，张延玲，朱 荣，王 慧 北京科技大学钢铁冶金新技术国家重点实验室，北京 100083  通信作者，E-mail: zhangyanling@ metall． ustb． edu． cn 摘 要 为了确定适用于超音速射流流场数值模拟的湍流模型，首先从理论上分析常用的五种湍流模型之间的差异及其适 用范围; 其次，采用五种湍流模型，分别对不同马赫数下超音速射流流场进行数值模拟，将数值模拟结果与实测值和理论值进 行对比分析． 结果表明: 剪切压力传输 k--ω 模型与其他模型相比，通过对输运方程的修正，保证其在计算射流流场时具有较高 的准确性; 在喷管内部和外部射流流场的模拟中，剪切压力传输 k--ω 模型的计算结果与理论值和实测值具有较高的吻合度， 在五种湍流模型中最适合于超音速射流流场的数值模拟研究． 关键词 超音速射流; 流场; 模拟; 湍流模型 分类号 O 354. 3 Turbulence model in supersonic jet flow field ZHAO Fei，ZHANG Yan-ling ，ZHU Ｒong，WANG Hui State Key Laboratory of Advanced Metallurgy，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China  Corresponding author，E-mail: zhangyanling@ metall． ustb． edu． cn ABSTＲACT To determine a suitable turbulence model for the numerical simulation of supersonic jet flow fields，the differences and application scopes of five turbulence models were analyzed theoretically first，and then supersonic jet flow fields with different Mach numbers were numerically simulated using these five turbulence models． The numerical simulation results were comparatively analyzed with the measured and theoretical values． It is shown that compared with other models，the shear stress transmission k-ω ( SST k-ω) model has a relative higher accuracy in calculating the supersonic jet flow fields through modifying the transport equation． In the simu￾lation of flow fields inside and outside the nozzle，the simulation result of the SST k-ω model is more in agreement with the measured and the theoretical values． Among the five turbulence models，the SST k-ω model is most suitable for the numerical simulation of the supersonic jet flow fields． KEY WOＲDS supersonic jet; flow fields; simulation; turbulence models 收稿日期: 2012--12--31 基金项目: 国家重大科学仪器设备开发专项资助项目( 2011YQ14014505) DOI: 10． 13374 /j． issn1001--053x． 2014． 03． 014; http: / /journals． ustb． edu． cn 超音速射流在现代工业的发展中扮演着越来越 重要的角色，成为某些行业不可或缺的部分． 例如， 在航空航天领域，超音速射流喷管是飞机等飞行器 发动机的重要组成部分，是为飞行器提供动力的关 键装置; 在冶金领域，通过超音速射流氧枪为金属熔 池供氧，并与熔池中的钢液和熔渣相互作用，进行流 动、传热、传质和化学反应，完成钢种的冶炼和生产． 随着超音速射流技术的不断发展，其应用范围也越 来越广，不仅仅局限于传统的航空航天领域和冶金 领域，而是逐步扩展到其他领域: 在材料检测领域， 超音速射流可以创造出某些极端特殊环境，为特殊 环境下材料和构件的检测提供一种重要的手段; 在 材料表面防护领域，超音速射流成为材料表面冷喷 涂的新方法，以经济和高效地方式防护和强化零件 表面的物理化学性能． 许多学者已经开展了超音速射流流场特性的研 究工作． 为了节省研究成本和加快研究速度，多数 学者采用数值模拟的方法对超音速射流进行研究:

第3期 赵飞等：超音速射流流场中湍流模型 ·367· 王英)和杨春回采用标准k一ε模型对聚合射流氧 变密度问题，一般选择求解Favre质量平均Navier-- 枪射流进行数值模拟研究：Hunter同和Balabel等 Stokes方程组B-(密度加权后的NS方程)来解决 对超音速喷管射流进行了数值模拟研究，其湍流模 此问题：但avre控制方程组自身不封闭，一般采用 型采用了剪切压力传输k-w(SSTk-w)模型.但从 Boussinesq假设把雷诺应力和平均速度梯度联系起 目前可查阅的文献来看，关于超音速射流模拟所选 来，使方程组封闭.这种假设的好处就是只需要较 用的湍流模型的文献有限，众人说法不一，没有形成 低的计算成本就可以对湍流黏度进行计算.在此假 统一的结论.湍流模型的选择对超音速射流流场模 设的基础之上，产生了基于湍流动能(k)和湍流耗 拟的精度有着决定性作用.因此，有必要从根本上 散率（ε）上的k一ε模型，包括标准k-ε模型、重整化 对超音速射流流场模拟所选用的湍流模型进行理论 k-s(RNGk-E)模型和可实现k-e模型，之后k一ε 分析和比较，从中选出最佳模型进行数值模拟计算， 模型又进一步发展为基于湍流动能(k)和比耗散率 以保证数值模拟结果的准确性. (o)的kw模型，包括标准kw模型和SSTk一w模 本研究针对上述问题展开，从理论上对Fluent 型，上述五种湍流模型输运方程和适用范围的对比 软件中常用的五种湍流模型进行深入分析，然后 如表1所示.表中，t为时间，x和y为坐标轴，p为 采用这五种湍流模型，分别对五个不同马赫数下 流体密度，μ为流体黏度，山，为湍流黏度，”为动力 的超音速射流流场进行数值模拟，得到不同湍流 黏度，u:为速度在i方向上分量，G是由平均速度 模型情况下射流超音速区域长度和喷管内（外）速 梯度而产生的湍流动能，G,是由浮力而产生的湍流 度和压力分布，并与实测值和理论值进行对比，以 动能，G,是由ω产生的湍流动能，YM是由在可压缩 此选择出超音速射流流场数值模拟的最佳湍流 湍流过渡到全部扩散速率而引起的波动扩张，Y。和 模型. Y表示由于湍流而引起的k和w的耗散，σk和σ。 1 理论模型 分别为k和ε的湍流普朗特数，Tk和T。表示k和 w的有效扩散率，D。是阻尼交叉扩散项，C、C2、C2 流体在拉瓦尔喷管中的流动被认为是可压缩实 和C均为常数，R。为快速变形流修正项，S和S。 际流体的定常流动.可压缩流动问题的实质也就是 为自定义源相. 表1五种湍流模型的对比 Table 1 Comparison of five turbulence models 模型名称 输运方程 适用范围及特点 是+是a)=号[(u+台)]+6+-e-+s 半经验模型圆.假设整个流场为湍 流，忽略分子黏性的影响，在较广的 标准一ε 是e+是e,)=[(u+台)=]+G.÷G+6.-Gp÷+ 湍流流动范围内均表现出较好的稳 定性、经济性和合理性 是o+,)=[u影]+G+-ae-+s 基于严格的统计技术回，提高了对 快速变形流动计算的准确性：考虑 RNG k-e 是ae+是a,小=号[h]+c,会G+6.W-%p÷-R,+ 了湍流漩涡的影响：具有更广的适 用范围 是+号，)=号[(u+兰)]+6+6-e-+s 采用了不同的湍流黏度计算公 式回，对平板和圆柱射流扩张率， 可实现一6 o+em)[(+台)等]nds-%,泰68 以及强逆压梯度、分离流条件下的 边界层模拟具有很好的表现。 是+是o咖)=[n#]+6-+ 经验模型.考虑了低雷诺数的影 响网、可压缩性以及剪切流扩张， 标准一w 是o)+县aa)=[r]+6.-+ 对自由剪切流，模型具有较高的准 确度 在边界层内部引入了一个混合函 数，并在。方程中引入了一个阻 SST k-w 尼交叉扩散项，湍流黏度也被修改用 是o)+)={r.] +G-Y+D+S 于解释湍流剪切力，使其具有更高的 准确性和更为广泛的应用环境

第 3 期 赵 飞等: 超音速射流流场中湍流模型 王英［1］和杨春［2］采用标准 k--ε 模型对聚合射流氧 枪射流进行数值模拟研究; Hunter［3］和 Balabel 等［4］ 对超音速喷管射流进行了数值模拟研究，其湍流模 型采用了剪切压力传输 k--ω ( SST k--ω) 模型． 但从 目前可查阅的文献来看，关于超音速射流模拟所选 用的湍流模型的文献有限，众人说法不一，没有形成 统一的结论． 湍流模型的选择对超音速射流流场模 拟的精度有着决定性作用． 因此，有必要从根本上 对超音速射流流场模拟所选用的湍流模型进行理论 分析和比较，从中选出最佳模型进行数值模拟计算， 以保证数值模拟结果的准确性． 本研究针对上述问题展开，从理论上对 Fluent 软件中常用的五种湍流模型进行深入分析，然后 采用这五种湍流模型，分别对五个不同马赫数下 的超音速射流流场进行数值模拟，得到不同湍流 模型情况下射流超音速区域长度和喷管内( 外) 速 度和压力分布，并与实测值和理论值进行对比，以 此选择出超音速射流流场数值模拟的最佳湍流 模型． 1 理论模型 流体在拉瓦尔喷管中的流动被认为是可压缩实 际流体的定常流动． 可压缩流动问题的实质也就是 变密度问题，一般选择求解 Favre 质量平均 Navier-- Stokes 方程组［5--7］( 密度加权后的 NS 方程) 来解决 此问题; 但 Favre 控制方程组自身不封闭，一般采用 Boussinesq 假设把雷诺应力和平均速度梯度联系起 来，使方程组封闭． 这种假设的好处就是只需要较 低的计算成本就可以对湍流黏度进行计算． 在此假 设的基础之上，产生了基于湍流动能( k) 和湍流耗 散率( ε) 上的 k--ε 模型，包括标准 k--ε 模型、重整化 k--ε ( ＲNG k--ε) 模型和可实现 k--ε 模型，之后 k--ε 模型又进一步发展为基于湍流动能( k) 和比耗散率 ( ω) 的 k--ω 模型，包括标准 k--ω 模型和 SST k--ω 模 型，上述五种湍流模型输运方程和适用范围的对比 如表 1 所示． 表中，t 为时间，x 和 y 为坐标轴，ρ 为 流体密度，μ 为流体黏度，μt 为湍流黏度，ν 为动力 黏度，ui 为速度在 i 方向上分量，Gk 是由平均速度 梯度而产生的湍流动能，Gb 是由浮力而产生的湍流 动能，Gω 是由 ω 产生的湍流动能，YM 是由在可压缩 湍流过渡到全部扩散速率而引起的波动扩张，Yk 和 Yω 表示由于湍流而引起的 k 和 ω 的耗散，σk 和 σε 分别为 k 和 ε 的湍流普朗特数，Γk 和 Γω 表示 k 和 ω 的有效扩散率，Dω 是阻尼交叉扩散项，C1ε、C2、C2ε 和 C3ε均为常数，Ｒε 为快速变形流修正项，Sk 和 Sε 为自定义源相． 表 1 五种湍流模型的对比 Table 1 Comparison of five turbulence models 模型名称 输运方程 适用范围及特点 标准 k--ε  t ( ρk) +  x ( ρkux ) =  y [ ( μ + μt σ ) k k y ] + Gk + Gb － ρε － YM + Sk  t ( ρε) +  x ( ρεux ) =  y [ ( μ + μt σ ) ε ε y ] + C1ε ε k ( Gk + C3εGb ) － C2ε ρ ε2 k + Sε 半经验模型［8］． 假设整个流场为湍 流，忽略分子黏性的影响，在较广的 湍流流动范围内均表现出较好的稳 定性、经济性和合理性． ＲNG k--ε  t ( ρk) +  x ( ρkux ) =  y [ αkμeff k y ] + Gk + Gb － ρε － YM + Sk  t ( ρε) +  x ( ρεux ) =  y [ αεμeff ε y ] + C1ε ε k ( Gk + C3εGb ) － C2ε ρ ε2 k － Ｒε + Sε 基于严格的统计技术［9］，提高了对 快速变形流动计算的准确性; 考虑 了湍流漩涡的影响; 具有更广的适 用范围． 可实现 k--ε  t ( ρk) +  y ( ρkuy ) =  y [ ( μ + μt σ ) k k y ] + Gk + Gb － ρε － YM + Sk  t ( ρε) +  y ( ρεuy ) =  y [ ( μ + μt σ ) ε ε y ] + ρC1 Sε － ρC2 ε2 k + 槡νε + C1ε ε k C3εGb + Sε 采用了不同的湍流黏度计算公 式［9］，对平板和圆柱射流扩张率， 以及强逆压梯度、分离流条件下的 边界层模拟具有很好的表现． 标准 k--ω  t ( ρk) +  x ( ρkux ) =  y [ Γk k y ] + Gk － Yk + Sk  t ( ρω) +  x ( ρωux ) =  y [ Γω ω y ] + Gω － Yω + Sω 经验 模 型． 考 虑 了 低 雷诺数的影 响［10］、可压缩性以及剪切流扩张， 对自由剪切流，模型具有较高的准 确度． SST k--ω  t ( ρk) +  x ( ρkux ) =  y [ Γk k y ] + G槇k － Yk + Sk  t ( ρω) +  x ( ρωux ) =  y [ Γω ω y ] + Gω － Yω + Dω + Sω 在边界层内部引入了一个混合 函 数［11］，并在 ω 方程中引入了一个阻 尼交叉扩散项，湍流黏度也被修改用 于解释湍流剪切力，使其具有更高的 准确性和更为广泛的应用环境． · 763 ·

·368 北京科技大学学报 第36卷 1500mm 2 数值模拟方案 压力入口 压力人口 2.1数学模型 绝热壁 本研究模型采用1：1比例对超音速射流流场进 对称轴 行数值模拟，设定x为沿喷管轴线方向，y为沿喷管 径向方向，计算空间域包括气体进入拉瓦尔喷管到 射流后的无限大空间，考虑到计算成本和边界条件 的合理性，整个流体计算域采用二维轴旋转几何模 型，射流空间计算区域为350mm×1500mm的平面， 网格为四边形网格，喷管内部及出口处网格较密 整个模型尺寸及边界条件如图1(a)所示，图1(b) 和图1（©）分别为计算区域和喷管内部的网格划分. 本研究分别采用上述五种湍流模型进行计算， 图1计算模型和网格.(a)计算域：()总计算网格：()喷管计 能量方程中考虑了黏性耗散热.在建立数学模型时 算网格 采取以下几点假设： Fig.1 Calculation model and grid:(a)computation domain:(b) total computation grid:(c)computation grid of the nozzle (1)拉瓦尔喷管内部所有连接处都是光滑的， 忽略管内摩擦☒； 力T=0) (2)拉瓦尔管内靠近壁面的流体是黏性的，拉 2.2模拟方案 瓦尔管外整个流场中的气体均为理想气体： 本研究所采用喷管设计马赫数为1.2、1.5、 (3)采用总能量模型，喷管壁面是绝热面： 1.8、2.1和2.4，喷管流量均为2000m3h-1,拉瓦尔 (4)喷管壁面采用无滑移边界条件（壁面剪应 管具体尺寸见表2. 表2拉瓦尔管尺寸 Table 2 Size of the Laval noazle 马赫数 入口直径/mm 收缩段长度/mm 喉口直径/mm 喉口段长度/mm 出口直径/mm 扩张段长度/mm 1.2 84.5 65.0 42.3 8 42.9 9.1 1.5 68.7 52.9 34.3 8 37.3 41.6 1.8 54.9 42.2 27.5 8 32.9 78.5 2.1 43.5 33.5 21.8 8 29.5 110.7 2.4 34.4 26.5 17.2 8 26.7 135.6 边界条件直接影响计算结果的正确性，考虑到 敛，根据可压缩流体的特性给出如表3所示的边界 压缩流体的总能量方程在压力入口边界下容易收 条件 表3计算域边界条件 Table 3 Boundary conditions of the computational domain 马赫数 边界入口压力/Pa 边界入口温度/K 边界出口压力Pa 边界出口温度/K 喷管入口压力/Pa 喷管入口温度/K 1.2 101325 300 101325 300 245708 300 1.5 101325 300 101325 300 371971 300 1.8 101325 300 101325 300 582194 300 2.1 101325 300 101325 300 926612 300 2.4 101325 300 101325 300 1481360 300 流衰减的快慢程度.射流的超音速区域长度越大， 3 数值模拟结果 表示射流的冲击能力越强.采用不同的湍流模型计 3.1超音速区域长度对比 算得到射流超音速区域长度是不同的.图2所示为 沿射流轴线方向超音速射流区域的长度叫做超 喷管设计出口马赫数均为2.1的条件下，采用不同 音速区域长度.超音速区域长度的大小，标志着射 湍流模型计算得到的超音速射流速度分布云图，图

北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 2 数值模拟方案 2. 1 数学模型 本研究模型采用 1∶ 1比例对超音速射流流场进 行数值模拟，设定 x 为沿喷管轴线方向，y 为沿喷管 径向方向，计算空间域包括气体进入拉瓦尔喷管到 射流后的无限大空间，考虑到计算成本和边界条件 的合理性，整个流体计算域采用二维轴旋转几何模 型，射流空间计算区域为 350 mm × 1500 mm 的平面， 网格为四边形网格，喷管内部及出口处网格较密． 整个模型尺寸及边界条件如图 1( a) 所示，图 1( b) 和图 1( c) 分别为计算区域和喷管内部的网格划分． 本研究分别采用上述五种湍流模型进行计算， 能量方程中考虑了黏性耗散热． 在建立数学模型时 采取以下几点假设: ( 1) 拉瓦尔喷管内部所有连接处都是光滑的， 忽略管内摩擦［12］; ( 2) 拉瓦尔管内靠近壁面的流体是黏性的，拉 瓦尔管外整个流场中的气体均为理想气体; ( 3) 采用总能量模型，喷管壁面是绝热面; ( 4) 喷管壁面采用无滑移边界条件( 壁面剪应 图 1 计算模型和网格． ( a) 计算域; ( b) 总计算网格; ( c) 喷管计 算网格 Fig． 1 Calculation model and grid: ( a) computation domain; ( b) total computation grid; ( c) computation grid of the nozzle 力 τ = 0) ． 2. 2 模拟方案 本研究所采用喷管设计马赫数为 1. 2、1. 5、 1. 8、2. 1 和 2. 4，喷管流量均为 2000 m3 ·h － 1，拉瓦尔 管具体尺寸见表 2 ［13］． 表 2 拉瓦尔管尺寸 Table 2 Size of the Laval nozzle 马赫数 入口直径/mm 收缩段长度/mm 喉口直径/mm 喉口段长度/mm 出口直径/mm 扩张段长度/mm 1. 2 84. 5 65. 0 42. 3 8 42. 9 9. 1 1. 5 68. 7 52. 9 34. 3 8 37. 3 41. 6 1. 8 54. 9 42. 2 27. 5 8 32. 9 78. 5 2. 1 43. 5 33. 5 21. 8 8 29. 5 110. 7 2. 4 34. 4 26. 5 17. 2 8 26. 7 135. 6 边界条件直接影响计算结果的正确性，考虑到 压缩流体的总能量方程在压力入口边界下容易收 敛，根据可压缩流体的特性给出如表 3 所示的边界 条件． 表 3 计算域边界条件 Table 3 Boundary conditions of the computational domain 马赫数 边界入口压力/Pa 边界入口温度/K 边界出口压力/Pa 边界出口温度/K 喷管入口压力/Pa 喷管入口温度/K 1. 2 101325 300 101325 300 245708 300 1. 5 101325 300 101325 300 371971 300 1. 8 101325 300 101325 300 582194 300 2. 1 101325 300 101325 300 926612 300 2. 4 101325 300 101325 300 1481360 300 3 数值模拟结果 3. 1 超音速区域长度对比 沿射流轴线方向超音速射流区域的长度叫做超 音速区域长度． 超音速区域长度的大小，标志着射 流衰减的快慢程度． 射流的超音速区域长度越大， 表示射流的冲击能力越强． 采用不同的湍流模型计 算得到射流超音速区域长度是不同的． 图 2 所示为 喷管设计出口马赫数均为 2. 1 的条件下，采用不同 湍流模型计算得到的超音速射流速度分布云图，图 · 863 ·

第3期 赵飞等：超音速射流流场中湍流模型 ·369· 中虚线为Ma=1的等马赫数线 为随着马赫数的增加，超音速区域长度在增加.这 是由于随着马赫数的增加，射流出口速度随之增大， 标准k-e 射流从超声速衰减到声速的长度也会相应变长.此 外，与湍流动能(k)和湍流耗散率（ε）相关的标准 k一E、RNGk一ε和可实现k一E这三个模型与实测值 RNG k-E Ma 差距较大.这是由于标准k一ε模型是最早提出的输 运方程，是建立在湍流动能()和湍流耗散率（ε）方 可实现k-E 程上的一个半经验模型，其假设整个流场全部为湍 流，忽略了壁面边界层的影响，这对超音速射流流场 的模拟是不适合的：RNGk一ε模型虽然在标准k一ε 标准k-0 模型基础上有所改进，但其只增加湍流漩涡的影响， 对瞬变流和流线弯曲的影响做出更好的反应，而超 SsTk-0■ 音速射流流场中并没有出现湍流漩涡，故其也不完 全适合超音速射流流场的模拟；可实现k一ε模型作 -0.200.2 0.40.60.81.01.2 为标准k一ε模型和RNGk一ε模型的补充，采用新的 x/m 图2不同湍流模型的速度分布云图（喷管设计出口马赫数为 ε输运方程形式，使其适合旋转均匀剪切流和自由 2.1) 射流的模拟，但其并没有真正对射流的边界层进行 Fig.2 Velocity contours using different turbulence models (Ma at 修正，因此其曲线基本与实测值曲线平行，但还有一 the exit of the nozzle is 2.1) 定差距.标准kw模型计算结果和SST k-w模型的 有学者经实验分析得到，当出口压力等于环 计算结果与实测值较为接近.标准k模型考虑了 境压力时，随着喷管出口马赫数的增加，射流超音速 低雷诺数的影响，提高了预测自由剪切流模型的准 区域长度增加.蔡志鹏等对Ma=1.0~2.5的精 确度：SSTk-w模型在此基础上在边界层内部引入 密电铸Laval喷头在设计工况下射流特性进行研 了一个混合函数，使其在近壁面使用k一w模型，在 究，采用音速测定法得出超音速区域长度与马赫数 远场使用k一ε模型，对自由射流的模拟进行了更好 的关系： 的修正，所以SSTk一w模型在五个模型中最适合进 Ls 行超音速射流流场的模拟，其计算结果与实测值也 P =5+1.878Ma281 (1) 基本一致. 式中，L、为超音速区域长度，D为喷管出口直径. 3.2喷管内射流轴向压力对比 不同马赫数下超音速区域长度的变化曲线如图 为了单独地研究不同湍流模型对超音速射流数 3所示. 值模拟结果的影响，忽略马赫数的影响，现以设计出 1.4 一。实测值 口马赫数为2.1的喷管为例，研究不同湍流模型下 。-标准￡ 1.2 --RNG k-E 喷管内射流轴向和径向的压力和速度分布曲线.根 。-可实现k龙 据下式可以计算得到沿轴线方向不同距离处截面压 1.0 -4SST k-0 力和滞止压力比值的关系 08 0.6 的 (2) 0.4 0.2 - 1.21.41.6182.02.22.4 式中：A为喷管截面面积，m;A为喷管喉口面积， Ma m2:P为截面处的压力，Pa;P。为气流滞止压力，Pa;r 图3实测与模拟计算的超音速核心段长度对比 Fig.3 Comparison of supersonic region length between the measured 为气体定压比热容与定容比热容之比. and simulated values 将理论计算和模拟计算结果绘制成曲线，如图 4所示. 从图3中可以看出，五个模型计算结果的趋势 图4显示为喷管内气体压力与滞止压力的比值

第 3 期 赵 飞等: 超音速射流流场中湍流模型 中虚线为 Ma = 1 的等马赫数线． 图 2 不同湍流模型的速度分布云图( 喷管设计出口马赫数为 2. 1) Fig． 2 Velocity contours using different turbulence models ( Ma at the exit of the nozzle is 2. 1) 有学者［14］经实验分析得到，当出口压力等于环 境压力时，随着喷管出口马赫数的增加，射流超音速 区域长度增加． 蔡志鹏等［15］对 Ma = 1. 0 ～ 2. 5 的精 密电铸 Laval 喷头在设计工况下射流特性进行研 究，采用音速测定法得出超音速区域长度与马赫数 的关系: LS De = 5 + 1. 878Ma2. 81 ． ( 1) 式中，LS为超音速区域长度，De为喷管出口直径． 不同马赫数下超音速区域长度的变化曲线如图 3 所示． 图 3 实测与模拟计算的超音速核心段长度对比 Fig． 3 Comparison of supersonic region length between the measured and simulated values 从图 3 中可以看出，五个模型计算结果的趋势 为随着马赫数的增加，超音速区域长度在增加． 这 是由于随着马赫数的增加，射流出口速度随之增大， 射流从超声速衰减到声速的长度也会相应变长． 此 外，与湍流动能( k) 和湍流耗散率( ε) 相关的标准 k--ε、ＲNG k--ε 和可实现 k--ε 这三个模型与实测值 差距较大． 这是由于标准 k--ε 模型是最早提出的输 运方程，是建立在湍流动能( k) 和湍流耗散率( ε) 方 程上的一个半经验模型，其假设整个流场全部为湍 流，忽略了壁面边界层的影响，这对超音速射流流场 的模拟是不适合的; ＲNG k--ε 模型虽然在标准 k--ε 模型基础上有所改进，但其只增加湍流漩涡的影响， 对瞬变流和流线弯曲的影响做出更好的反应，而超 音速射流流场中并没有出现湍流漩涡，故其也不完 全适合超音速射流流场的模拟; 可实现 k--ε 模型作 为标准 k--ε 模型和 ＲNG k--ε 模型的补充，采用新的 ε 输运方程形式，使其适合旋转均匀剪切流和自由 射流的模拟，但其并没有真正对射流的边界层进行 修正，因此其曲线基本与实测值曲线平行，但还有一 定差距． 标准 k--ω 模型计算结果和 SST k--ω 模型的 计算结果与实测值较为接近． 标准 k--ω 模型考虑了 低雷诺数的影响，提高了预测自由剪切流模型的准 确度; SST k--ω 模型在此基础上在边界层内部引入 了一个混合函数，使其在近壁面使用 k--ω 模型，在 远场使用 k--ε 模型，对自由射流的模拟进行了更好 的修正，所以 SST k--ω 模型在五个模型中最适合进 行超音速射流流场的模拟，其计算结果与实测值也 基本一致． 3. 2 喷管内射流轴向压力对比 为了单独地研究不同湍流模型对超音速射流数 值模拟结果的影响，忽略马赫数的影响，现以设计出 口马赫数为 2. 1 的喷管为例，研究不同湍流模型下 喷管内射流轴向和径向的压力和速度分布曲线． 根 据下式可以计算得到沿轴线方向不同距离处截面压 力和滞止压力比值的关系: A A* ( = r － 1 r ) ( + 1 2 r ) + 1 2 r ( － 1 P P ) 0 2 r － ( P P ) 0 r + 1 槡 r ． ( 2) 式中: A 为喷管截面面积，m2 ; A* 为喷管喉口面积， m2 ; P 为截面处的压力，Pa; P0为气流滞止压力，Pa; r 为气体定压比热容与定容比热容之比． 将理论计算和模拟计算结果绘制成曲线，如图 4 所示． 图 4 显示为喷管内气体压力与滞止压力的比值 · 963 ·

·370 北京科技大学学报 第36卷 1.0 喉口截面 一一理论值 0.8 0-标准k-E --RNGk-E Ma1 -可实现k-E 0一标准km 0.4 -SST k-@ 0.2 0 -0.20 0.15-0.10-0.05 图5喷管内马赫数分布示意图 xim Fig.5 Schematic diagram of Ma distribution in the nozzle 图4喷管内射流沿轴向的压比曲线（喷管设计出口马赫数为 2.1) 11 Fig.4 Pressure ratio along the jet axial direction inside the nozzle 1.0 (Ma at the exit of the nozzle is 2.1) 0.9 沿轴向分布曲线.可以看出五种模型计算喷管内轴 0.8 标准k-e RNG k-E 向压力比分布曲线几乎重叠，与理论值也基本一致， 可实现k-E 0.7 标准k-0 说明五种湍流模型均适用于管内流动模拟的研究 管轴线 SST k-o 0.6 在喷管收缩段内，各模型模拟计算结果与理论计算 结果一致，扩张段内各模型计算结果与理论计算结 050200.0w20.040060.080.000012 ylm 果呈现出略微差别，在出口处SSTk一w模型和RNG 图6喷管喉口处沿径向的马赫数分布曲线（喷管设计出口马赫 k-e模型计算得到的P/P。为0.11，其他三个模型的 数为2.1) 计算结果较高.根据等熵流函数可知，设计马赫数 Fig.6 Distribution of Ma along the radial direction in the nozzle 为2.1的拉瓦尔喷管，其出口与入口压力比值应为 throat (Ma at the exit of the nozzle is 2.1) 0.109,SSTk一w模型和RNGk一e模型模拟结果与 理论值吻合较好，因此SSTk一w模型和RNGk一e模 ω模型、RNGk一e模型和可实现k一e模型的计算结 型对拉瓦尔喷管内流场的模拟具有较高的准确性。 果曲线基本重合，喷管喉口截面射流最大马赫数为 3.3喷管内射流径向速度对比 1,符合拉瓦尔喷管的设计要求，因此SST k-w模型、 喷管根据气体动力学原理设计为收缩一扩张 RNGk一ε模型和可实现k一e模型对超音速喷管的 管，收缩段内气流马赫数小于1，随着喷管截面积的 数值模拟表现出更好准确性. 减小，气流马赫数不断增大，在喉口处达到音速，然 3.4喷管外射流轴向速度对比 后扩张段内射流速度随着喷管面积的增大而增大. 喷管外射流沿轴向速度分布曲线如图7所示， 图5是喷管内马赫数分布示意图.由于喉口段射流 横轴为喷管外部轴线方向距喷管出口的长度，纵轴 速度为音速，比较特殊，因而对不同模型条件下设计 为距喷管出口不同距离处的射流速度 出口马赫数均为2.1的喷管喉口处截面上射流的径 从图7可以看出：气流首先在喷管出口处形成 向马赫数进行对比，结果如图6所示，其中横轴为喷 激波，这是运动气体的强压缩波，当气流以超音速运 管横截面上距轴线（横轴的0点）的纵向距离，纵轴 动时，扰动来不及传到前面去，结果前面的气体受到 为气流马赫数. 超音速射流突跃式的压缩，形成集中的强扰动，出现 总体来看，五种湍流模型的计算结果，其射流径 一个压缩过程的界面：随后，射流在经过激波后不断 向速度分布趋势基本一致，均随着距喷管轴线纵向 衰减，射流速度与沿轴线方向距出口距离成反比，随 距离的增大而增大，然后以较大的速度梯度减小. 着距出口距离的不断增加，射流速度不断衰减.SST 这与图5所示结果一致：射流从喷管中心轴线开始 k一w模型、RNGk一ε模型和可实现k一e模型在射流 沿径向方向不断增大，在声速线达到声速，然后在近 速度衰减之前有一稳定段，也就是势核段，在势核段 壁面的速度边界层内迅速减小.比较这五种湍流模 内射流速度保持不变并等于射流出口速度，这与超 型，标准k一w模型和标准k一ε模型计算得到喷管喉 声速轴对称射流的结构一致.从势核段和超音速核 口截面射流最大马赫数小于1，还没有达到音速，不 心段的定义可知，势核段的长度必然小于超音速核 符合拉瓦尔喷管的设计要求：其余三个模型，SSTk一 心段的长度.图7所示SST k-@模型计算得到射流

北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 图 4 喷管内射流沿轴向的压比曲线( 喷管设计出口马赫数为 2. 1) Fig． 4 Pressure ratio along the jet axial direction inside the nozzle ( Ma at the exit of the nozzle is 2. 1) 沿轴向分布曲线． 可以看出五种模型计算喷管内轴 向压力比分布曲线几乎重叠，与理论值也基本一致， 说明五种湍流模型均适用于管内流动模拟的研究． 在喷管收缩段内，各模型模拟计算结果与理论计算 结果一致，扩张段内各模型计算结果与理论计算结 果呈现出略微差别，在出口处 SST k--ω 模型和 ＲNG k--ε 模型计算得到的 P /P0为 0. 11，其他三个模型的 计算结果较高． 根据等熵流函数可知，设计马赫数 为 2. 1 的拉瓦尔喷管，其出口与入口压力比值应为 0. 109，SST k--ω 模型和 ＲNG k--ε 模型模拟结果与 理论值吻合较好，因此 SST k--ω 模型和 ＲNG k--ε 模 型对拉瓦尔喷管内流场的模拟具有较高的准确性． 3. 3 喷管内射流径向速度对比 喷管根据气体动力学原理设计为收缩--扩 张 管，收缩段内气流马赫数小于 1，随着喷管截面积的 减小，气流马赫数不断增大，在喉口处达到音速，然 后扩张段内射流速度随着喷管面积的增大而增大． 图 5 是喷管内马赫数分布示意图． 由于喉口段射流 速度为音速，比较特殊，因而对不同模型条件下设计 出口马赫数均为 2. 1 的喷管喉口处截面上射流的径 向马赫数进行对比，结果如图 6 所示，其中横轴为喷 管横截面上距轴线( 横轴的 0 点) 的纵向距离，纵轴 为气流马赫数． 总体来看，五种湍流模型的计算结果，其射流径 向速度分布趋势基本一致，均随着距喷管轴线纵向 距离的增大而增大，然后以较大的速度梯度减小． 这与图 5 所示结果一致: 射流从喷管中心轴线开始 沿径向方向不断增大，在声速线达到声速，然后在近 壁面的速度边界层内迅速减小． 比较这五种湍流模 型，标准 k--ω 模型和标准 k--ε 模型计算得到喷管喉 口截面射流最大马赫数小于 1，还没有达到音速，不 符合拉瓦尔喷管的设计要求; 其余三个模型，SST k-- 图 5 喷管内马赫数分布示意图 Fig． 5 Schematic diagram of Ma distribution in the nozzle 图 6 喷管喉口处沿径向的马赫数分布曲线( 喷管设计出口马赫 数为 2. 1) Fig． 6 Distribution of Ma along the radial direction in the nozzle throat ( Ma at the exit of the nozzle is 2. 1) ω 模型、ＲNG k--ε 模型和可实现 k--ε 模型的计算结 果曲线基本重合，喷管喉口截面射流最大马赫数为 1，符合拉瓦尔喷管的设计要求，因此 SST k--ω 模型、 ＲNG k--ε 模型和可实现 k--ε 模型对超音速喷管的 数值模拟表现出更好准确性． 3. 4 喷管外射流轴向速度对比 喷管外射流沿轴向速度分布曲线如图 7 所示， 横轴为喷管外部轴线方向距喷管出口的长度，纵轴 为距喷管出口不同距离处的射流速度． 从图 7 可以看出: 气流首先在喷管出口处形成 激波，这是运动气体的强压缩波，当气流以超音速运 动时，扰动来不及传到前面去，结果前面的气体受到 超音速射流突跃式的压缩，形成集中的强扰动，出现 一个压缩过程的界面; 随后，射流在经过激波后不断 衰减，射流速度与沿轴线方向距出口距离成反比，随 着距出口距离的不断增加，射流速度不断衰减． SST k--ω 模型、ＲNG k--ε 模型和可实现 k--ε 模型在射流 速度衰减之前有一稳定段，也就是势核段，在势核段 内射流速度保持不变并等于射流出口速度，这与超 声速轴对称射流的结构一致． 从势核段和超音速核 心段的定义可知，势核段的长度必然小于超音速核 心段的长度． 图 7 所示 SST k--ω 模型计算得到射流 · 073 ·

第3期 赵飞等：超音速射流流场中湍流模型 ·371· 600 得到的速度是不同的，可实现k一ε模型和RNGk一e 标准k-e RNG /-e 模型计算得到的射流速度最大，SSTk一w模型的速 可实现k- 标准~@ 度最小，与图7中显示在X=0.5m处模型计算结果 400 SSTk-0 吻合 200 喷管出口 4结论 (1)从理论模型上来看，SST k-w模型通过对输 运方程的修正，在近壁面使用k一w模型，在远场使 0.5 1.0 15 2.0 m 用k一ε模型，其在计算射流流场时具有较高的准 图7喷管外射流沿轴向的速度分布曲线（喷管设计出口马赫数 确性. 为2.1) (2)在喷管内部流场的模拟中，五种模型计算 Fig.7 Velocity distribution along the axial direction outside the noz- 得到的喷管收缩段轴向压力比分布曲线与理论值一 zle (Ma at the exit of the nozzle is 2.1) 致，扩张段内各模型计算结果与理论计算结果呈现 势核段长度为0.36m,RNGk-e模型和可实现k一e 出略微差别，SST k-w模型和RNGk一e模型模拟结 模型计算得到射流势核段长度为0.46m,均小于图 果与理论值吻合较好；五种湍流模型计算喷管内径 3理论计算超音速核心段的长度0.59m.从势核段 向速度分布趋势基本一致，但标准k一w模型和标准 长度来看，三个模型均适合于超音速射流流场的模 k一ε模型计算得到喷管喉口截面射流最大马赫数小 拟，但考虑到SSTk-w模型的超音速核心段长度与 于1，不符合拉瓦尔喷管的设计要求，SST k-w模型、 理论计算结果完全一致，因此与另外两个模型相比， RNGk一e模型和可实现k一ε模型的计算结果曲线 SSTk-w模型更加适合超音速射流流场的模拟 符合拉瓦尔喷管的设计要求. 3.5喷管外射流径向速度对比 (3)在喷管外部射流流场的模拟中，SSTk-w模 喷管外射流沿径向速度分布曲线如图8所示， 型、RNGk一e模型和可实现k一e模型存在势核段， 横轴为喷管外部距喷管出口0.5m处横截面上距轴 符合超声速轴对称射流的结构，但SSTk一w模型计 线的径向距离，纵轴为横截面上距轴线不同距离处 的射流速度 算得到超音速射流区域长度更为精准，与实测值基 本一致；不同模型计算得到的射流速度沿径向衰减 2.0 的趋势一致，各模型计算得到起始衰减速度不同，与 喷管外射流沿轴向速度分布吻合.综合考虑，SST 1.5 标准k-E RNG k-g k-w模型在五种湍流模型中最适合于超音速射流流 1.0 可实现k-e 场的数值模拟研究. 标准k-) SST k-@ 05 参考文献 0.1 0.2 03 0.4 ]Wang Y.Numerical Simulation on Jet Flow Field of Cluster Oxy- ylm gen Lance in Steelmaking [Dissertation].Shenyang:Northeastern 图8喷管外射流沿径向的马赫数分布曲线（喷管设计出口马赫 University,2003 数为2.1) (王英.炼钢聚合射流氧枪流场的数值模拟研究[学位论文]. Fig.8 Distribution of Ma along the radial direction outside the nozzle 沈阳：东北大学，2003) (Ma at the exit of the nozzle is 2.1) ] Yang C.Numerical Simulation on Coherent Jet Oxygen Lance Characteristic DDissertation].Liaoning:University of Science and 图8为距喷管出口0.5m处横截面上射流速度 Technology Liaoning,2008 沿径向的分布曲线.从总体来看，不同模型计算的 (杨春。聚合射流氧枪射流特性的数值模拟[学位论文].辽 射流速度沿径向衰减的趋势一致，SSTk一w模型计 宁：辽宁科技大学，2008) B] Hunter C A.Experimental theoretical and computational investiga- 算结果与其他模型计算结果相比射流速度衰减稍 tion of separated nozzle flows.AlAA J,1998,36(7):3107 慢，但差别不大.另一方面，各模型速度衰减的起点 [4]Balabel A,Hegab A M,Nasr M,et al.Assessment of turbulence 不同，这是由于在距喷管出口0.5m处，各模型计算 modeling for gas flow in two-dimensional convergent-divergent

第 3 期 赵 飞等: 超音速射流流场中湍流模型 图 7 喷管外射流沿轴向的速度分布曲线( 喷管设计出口马赫数 为 2. 1) Fig． 7 Velocity distribution along the axial direction outside the noz￾zle ( Ma at the exit of the nozzle is 2. 1) 势核段长度为 0. 36 m，ＲNG k--ε 模型和可实现 k--ε 模型计算得到射流势核段长度为 0. 46 m，均小于图 3 理论计算超音速核心段的长度 0. 59 m． 从势核段 长度来看，三个模型均适合于超音速射流流场的模 拟，但考虑到 SST k--ω 模型的超音速核心段长度与 理论计算结果完全一致，因此与另外两个模型相比， SST k--ω 模型更加适合超音速射流流场的模拟． 3. 5 喷管外射流径向速度对比 喷管外射流沿径向速度分布曲线如图 8 所示， 横轴为喷管外部距喷管出口 0. 5 m 处横截面上距轴 线的径向距离，纵轴为横截面上距轴线不同距离处 的射流速度． 图 8 喷管外射流沿径向的马赫数分布曲线( 喷管设计出口马赫 数为 2. 1) Fig． 8 Distribution of Ma along the radial direction outside the nozzle ( Ma at the exit of the nozzle is 2. 1) 图 8 为距喷管出口 0. 5 m 处横截面上射流速度 沿径向的分布曲线． 从总体来看，不同模型计算的 射流速度沿径向衰减的趋势一致，SST k--ω 模型计 算结果与其他模型计算结果相比射流速度衰减稍 慢，但差别不大． 另一方面，各模型速度衰减的起点 不同，这是由于在距喷管出口 0. 5 m 处，各模型计算 得到的速度是不同的，可实现 k--ε 模型和 ＲNG k--ε 模型计算得到的射流速度最大，SST k--ω 模型的速 度最小，与图 7 中显示在 X = 0. 5 m 处模型计算结果 吻合． 4 结论 ( 1) 从理论模型上来看，SST k--ω 模型通过对输 运方程的修正，在近壁面使用 k--ω 模型，在远场使 用 k--ε 模型，其在计算射流流场时具有较高的准 确性． ( 2) 在喷管内部流场的模拟中，五种模型计算 得到的喷管收缩段轴向压力比分布曲线与理论值一 致，扩张段内各模型计算结果与理论计算结果呈现 出略微差别，SST k--ω 模型和 ＲNG k--ε 模型模拟结 果与理论值吻合较好; 五种湍流模型计算喷管内径 向速度分布趋势基本一致，但标准 k--ω 模型和标准 k--ε 模型计算得到喷管喉口截面射流最大马赫数小 于 1，不符合拉瓦尔喷管的设计要求，SST k--ω 模型、 ＲNG k--ε 模型和可实现 k--ε 模型的计算结果曲线 符合拉瓦尔喷管的设计要求． ( 3) 在喷管外部射流流场的模拟中，SST k--ω 模 型、ＲNG k--ε 模型和可实现 k--ε 模型存在势核段， 符合超声速轴对称射流的结构，但 SST k--ω 模型计 算得到超音速射流区域长度更为精准，与实测值基 本一致; 不同模型计算得到的射流速度沿径向衰减 的趋势一致，各模型计算得到起始衰减速度不同，与 喷管外射流沿轴向速度分布吻合． 综合考虑，SST k--ω模型在五种湍流模型中最适合于超音速射流流 场的数值模拟研究． 参 考 文 献 ［1］ Wang Y． Numerical Simulation on Jet Flow Field of Cluster Oxy￾gen Lance in Steelmaking ［Dissertation］． Shenyang: Northeastern University，2003 ( 王英． 炼钢聚合射流氧枪流场的数值模拟研究［学位论文］． 沈阳: 东北大学，2003) ［2］ Yang C． Numerical Simulation on Coherent Jet Oxygen Lance Characteristic［Dissertation］． Liaoning: University of Science and Technology Liaoning，2008 ( 杨春． 聚合射流氧枪射流特性的数值模拟［学位论文］． 辽 宁: 辽宁科技大学，2008) ［3］ Hunter C A． Experimental theoretical and computational investiga￾tion of separated nozzle flows． AIAA J，1998，36( 7) : 3107 ［4］ Balabel A，Hegab A M，Nasr M，et al． Assessment of turbulence modeling for gas flow in two-dimensional convergent-divergent · 173 ·

·372 北京科技大学学报 第36卷 rocket nozzle.J Appl Math Modell,2011,35(7):3408 dustries Press,1998 [5]Fu D X,Ma Y W.Direct Numerical Simulation of Compresible [11]Menter F R.Two-equation eddy-viscosity turbulence models for Turbulence.Beijing:Science Press,2010 engineering applications.AlAA J,1994,32(8):1598 (傅德熏，马延文可压缩湍流直接数值模拟.北京：科学出 [12]Shen Y S,Li B W.Basis of Metallurgy Transfer Principle.Bei- 版社，2010) jing:Metallurgical Industry Press,2003 6]Zhang D L.A Course in Computational Fluid Dynamics.Beijing: (沈颐身，李保卫.治金传输原理基础.北京：治金工业出版 Higher Educiation Press,2010 社，2003) (张德良.计算流体力学教程.北京：高等教有出版社，2010) [13]Yuan ZF,Pan Y F.Oxygen Lance Technology for Steelmaking. ]Anderson JDJr.Computational Fluid Dynamics.Beijing:Tsing- Beijing:Metallurgical Industry Press,2007 hua University Press,2010 (袁章福，潘贻芳.炼钢氧枪技术.北京：治金工业出版社， (Anderson J D Jr.计算流体力学入门.北京：清华大学出版 2007) 社，2010) [14]Kapner J D,Kun Li,Larson R H.An experimental study of mix- 8]Launder B E.Spalding D B.Lectures in Mathematical Models of ing phenomena of turbulent supersonic jets.Int J Heat Mass Turbulence.London:Academic Press,1972 Transfer,1970,13:932 Shih T H,Liou WW,Shabbir A,et al.A new ks eddy viscosity [15]Cai Z P,Xie Y S,Xia A W.The interaction of supersonic jet on model for high Reynolds number turbulent flows.Comput Fluids liquid bath in oxygen steelmaking.Iron Steel,1980,15(1):14 1995,24(3):227 (蔡志鹏，谢欲生，夏安武.氧气炼钢过程中射流对熔池的作 [10]Wileox D C.Turbulence Modeling for CFD.California:DCW In- 用.钢铁，1980,15(1)：14)

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