[由导函数求曲线方程 不定积分 第五章 积分应用 解微分方程 定积分 求平面图形的面积 §51积分的几何应用 求旋转体的体积 一、 已知切线斜率求曲线方程 例1 已知曲线y=F(x)在任一点x处的切线斜率为3x2+1, 且过点(0,2)，求曲线方程。 定性 定量 解 由题设y'=3x2+1 则y=∫(3x2+1)dk=x3+x+c 曲线过(0,2)点 .2=03+0+c解得c=2 从而所求曲线方程是y=x3+x+2
第五章 积分应用 §5.1 积分的几何应用 一、已知切线斜率求曲线方程 解 例1 且过点 ，求曲线方程。 已知曲线 在任一点 处的切线斜率为 ， (0,2) ( ) 3 1 2 y = F x x x + 定性 定量 3 1 2 由题设 y = x + y = x + dx = x + x + c 2 3 则 (3 1) (0,2) 2 = 0 + 0+ c 曲线过 点 3 解得 c = 2 2 3 从而所求曲线方程是 y = x + x + 定积分 不定积分 解微分方程 由导函数求曲线方程 求旋转体的体积 求平面图形的面积
二、平面图形的面积 不加证明地给出如下结论 定理 如果平面图形由两条连续曲线y=f(x人y=g(x) 与两条垂直于x轴的直线x=a、x=b(a<b)围成， 则图形的面积为： A=01f)-gx)1 y=f(x y=g(x) 0 b A=∫Af(x)-g(xk
二、平面图形的面积 不加证明地给出如下结论 定理 = − = = = = b a A f x g x dx x x a x b a b y f x y g x | ( ) ( )| ( ) ( ) ( ) 则图形的面积为： 与两条垂直于 轴的直线 、 围成， 如果平面图形由两条连续曲线 、 = − b a A [ f (x) g(x)]dx 0 b x y y = g ( x) y = f ( x) a
例2求由y=2,y=1+c0sx,x=0,x=2π 所围成的平面图形的面积 解 S=[2-(1+cosx)c y=2 -f"(1-cosx)dx =(x-snx)=2元 0y=1+cosx2π 1 例3求由y=hx,y=0,x=2x=e y=Inx 所围成的平面图形的面积 解s=-h)d+nx =-(xlnx-x)i+(xhx-x):=(3-l2)
例 2 解 所围成的平面图形的面 积 求由 y = 2，y =1+ cos x，x = 0，x = 2 02 = − + 2 0 S [ 2 ( 1 cos x)]dx ( sin ) 2 ( 1 cos ) 20 20 = − = = − x x x dx 2 y = 2 y =1+ cos x 2 e 1 y = ln x 例 3解 所围成的平面图形的面 积 求由 y = x，y = ，x = ，x = e 21 ln 0 = − + e S x dx xdx 1 121 ( ln ) ln 1 (3 ln 2) 21 ( ln ) ( ln ) 21 12 = − x x − x 1 + x x − x = −
例4 求由曲线y=x3与y=x所围成的平面图形的面积。 解 解方程组 y=x3 =x3 y=x 得x=1,x2=-1 图形关于原点对称 图形的面积为：A=2(x-x3)dk 求图形面积的步骤 (1)画草图，考察对称性； (2)求出所需交点坐标； (3)转化为定积分计算
例4 解 求由曲线 y = x 3 与 y = x所围成的平面图形的面积。3 y = x y = x 1 1 2 1 3 = = − = = x x y x y x 得 ， 解方程组 = − 1 0 3 图形的面积为：A 2 (x x )dx 图形关于原点对称 2 1 ) 2 4 2( 1 0 2 4 = − = x x （1）画草图，考察对称性； （2）求出所需交点坐标； （3）转化为定积分计算。 求图形面积的步骤
§5.2微分方程 已知导函数求原函数，用不定积分解决。 例如：由y'=2x-3求y y=J(2x-3)d=x2-3x+c 然而有些时候，我们所遇到的问题会更复杂一些一并不 知道导函数，而只有导函数所满足的方程，如： y"+2xy'=sin x 依据这种条件求函数，就是微分方程要解决的问题。从这个 角度说，微分方程是不定积分的推广和发展
§5.2 微分方程 已知导函数求原函数，用不定积分解决。 例如：由 y = 2x − 3 求 y y = x − d x = x − x + c (2 3) 3 2 然而有些时候，我们所遇到的问题会更复杂一些 —— 并不 知道导函数，而只有导函数所满足的方程，如： y + 2 xy = sin x 依据这种条件求函数，就是微分方程要解决的问题。从这个 角度说，微分方程是不定积分的推广和发展
、 微分方程的基本概念 1、微分方程含有未知函数的导数（或微分）的方程 -- 常微分方程 偏微分方程 y'+2xy=x2 (y")4+5(y5-y+x7=0 ydx+xdy=0 y"-y'=sin(x-y) y+x=3-sint dx y5)-2w'=e1 2、微分方程的阶方程中出现的未知函数导数的最高阶数 n阶微分方程的一般形式为：F(xy,y,y”,…,ym)=0
1、微分方程 含有未知函数的导数（或微分）的方程 常微分方程 偏微分方程 x x y yy e dx dy x dx d y ydx xdy y y x y y x y x y y y x + = − − = + = − = − + = + − + = 3 sin 2 0 sin( ) 2 ( ) 5( ) 0 (5) 3 3 2 4 5 7 2、微分方程的阶 方程中出现的未知函数导数的最高阶数 ( , , , , , ) 0 ( ) = n n阶微分方程的一般形式为：F x y y y y 一、微分方程的基本概念
3、微分方程的解、通解和特解 定义 如果将已知函数代入微分方程后，使其成为了恒等 式，则称此函数为该微分方程的解 解既可以是显函数，也可以是隐函数。 例5验证由方程y3+e'=x2-sinx所确定的隐函数 是微分方程(e'+3y2)y'=2x-cosx的解。 解 在隐函数方程y3+e'=x2-sinx两端对x求导 3y2y'+e"y'=2x-cosx 解得 =2x-cosx 3y2+e 代入微分方程，有 左端=(e'+3y2)2 r-cOsx」 3y2+e' =2x-c0sx=右端
解既可以是显函数，也可以是隐函数。 例5 解 是微分方程 的解。 验证由方程 所确定的隐函数 e y y x x y e x x y y ( 3 ) 2 cos sin 2 3 2 + = − + = − 在隐函数方程y 3 + e y = x 2 −sin x两端对x求导 y y e y x x y 3 2 cos 2 + = − y y e x x y + − = 2 3 2 cos 解得左端 右端 代入微分方程，有 = − = + − = + x x y e x x e y y y 2 cos 3 2 cos ( 3 ) 2 2 3、微分方程的解、通解和特解 定义 如果将已知函数代入微分方程后，使其成为了恒等 式，则称此函数为该微分方程的解
故给定的隐函数是微分方程的解。 对于一个给定的微分方程，如果它有解的话，解就不 止一个，而是有无穷多个。 定义 微分方程所有解的一般形式，叫做微分方程的通解 若微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个 数与方程的阶数相同，则称此解为微分方程的通解 定义 不含任意常数的解称为微分方程的特解
对于一个给定的微分方程，如果它有解的话，解就不 止一个，而是有无穷多个。 定义 微分方程所有解的一般形式，叫做微分方程的通解 若微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个 数与方程的阶数相同，则称此解为微分方程的通解 故给定的隐函数是微分方程的解。 定义 不含任意常数的解称为微分方程的特解
4、初始条件、初值问题 为了得到符合实际需要的特解，需要对微分方程附加 一些条件，常见的是： 当x=x时，=ay1-=a,y1=aya-l=a-l y(o)=ao,y(o)=a y"(xo)=az,y(xo)=a 阶数=通解中任意常数的个数=初始条件的个数 微分方程与初始条件合在一起就构成了一个初值问题 微分方程 初始条件
4、初始条件、初值问题 为了得到符合实际需要的特解，需要对微分方程附加 一些条件，常见的是： 1 ( 1) 0 0 1 2 0 0 0 0 − = − = = = = = = = = n x x n x x x x x x 当x x 时，y a ，y a，y a ，，y a 0 1 ( 1) 0 0 0 1 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) − − = = = = n n y x a ，y x a，y x a ，，y x a 阶数= 通解中任意常数的个数= 初始条件的个数 微分方程与初始条件合在一起就构成了一个初值问题 初始条件 微分方程
5、线性微分方程关于未知函数及其各阶导数的一次方程 本节只介绍两种一阶微分方程的解法，要求是能够认出 类型，会用固定的方法求解。 二、变量可分离的微分方程 1、定义形如少=fg0) dx 显式变量可分离方程 y'=f(x)g(y) 或f(x)81(y)dk=f(x)g2(y)d一微分形式"" 的微分方程称为变量可分离的微分方程
5、线性微分方程 关于未知函数及其各阶导数的一次方程 本节只介绍两种一阶微分方程的解法，要求是能够认出 类型，会用固定的方法求解。 二、变量可分离的微分方程 1、定义 的微分方程称为变量可分离的微分方程。 或 形如 f x g y dx f x g y dy y f x g y f x g y dx dy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 = 2 2 = = 显式变量可分离方程 — 微分形式 "