同济大学：《数字信号处理（DSP）》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 z变换（6/6）

Q六、离数系统的系统函数 LSI系统的系统函数H(z) 单位抽样响应h(n)的z变换 H(2)=Z(m)=∑h(n) Y(二) 1=-0 X(二) 其中:y(n)x(n)*h(n)Y(z)X(z)H(z)

六 、离散系统的系统函数、 系统的频率响应 LSI系统的系统函数H(z)： 单位抽样响应h(n)的z变换 ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) n n Y z H z ZT h n h n z X z        其中：y(n)=x(n)*h(n) Y(z)=X(z)H(z)

系统的频率响应H(em) 单位圆上的系统函数 单位抽样响应h(n)的 Fourie变换 H(e)=H(=) dTFTih(n)

系统的频率响应 H(e j ) ： ( ) ( ) j [ ( )] j z e H e H z  DTFT h n     单位圆上的系统函数 单位抽样响应h(n)的Fourier变换

1、因果稳定系统 1)因果:R< 2)稳定: 序列(n)绝对可和,即∑h(m)< 而h()的变换的Ro:∑hn=nk< 稳定系统的系统函数H(z)的Roc须包含单位圆, 即频率响应存在且连续 3)因果稳定:Roc:1s H(z)须从单位圆到∞的整个z域内收敛 即系统函数H(z)的全部极点必须在单位圆内

1、因果稳定系统 稳定系统的系统函数H(z)的Roc须包含单位圆， 即频率响应存在且连续 H(z)须从单位圆到 的整个z域内收敛 即系统函数H(z)的全部极点必须在单位圆内  x 1）因果： R   z   2）稳定： ( ) n h n   序列h(n)绝对可和，即    ( ) n n h n z    而h(n)的z变换的Roc：    3）因果稳定：Roc： 1  z  

例一系统的极点有: 0.2e//4,0.2e/4,0.4,2 e2/6 jT/6 e 问什么情况下,系统为因果系统, 什么情况下,系统为稳定系统 jIm[e 0.4 Real 0.2 解:因果系统:|>2 稳定系统:04<k<1.5

/ 4 / 4 / 6 / 6 0.2 , 0.2 , 0.4, 2 , 2 , 1.5 j j j j e e e e       例：一系统的极点有： 问什么情况下，系统为因果系统， 什么情况下，系统为稳定系统 Re[z] jIm[z] 0 1 4 0.2 j e  4 0.2 j e  0.4 1.5 6 2 j e  6 2 j e   解：因果系统： z  2 稳定系统： 0.4  z 1.5

2、系统函数与差分方程 常系数线性差分方程: ∑ay(n-k)=∑bnx(n-m) 0 取z变换 ∑a=(z)=∑bnmY() k=0 0 则系统函数 H(=)=Y()/X(=)=m0 K ∏I(1-dk=-) k=0

2、系统函数与差分方程 常系数线性差分方程： 0 0 ( ) ( ) N M k m k m a y n k b x n m        0 0 ( ) ( ) N M k m k m k m a z Y z b z X z        1 0 1 1 0 1 (1 ) ( ) ( )/ ( ) (1 ) M M m m m m m N N k k k k k b z c z H z Y z X z K a z d z                  取z变换 则系统函数

例:已知离散LSI系统的差分方程 y(n) 34 y(n-1)+y(n-2)=x(n)+x(n-1) 其中:x(m)为输入,y(n)为输出。 1)求系统函数,指出系统的零极点; 2)若该系统是因果稳定的,指出系统的收敛域; 3)求该因果稳定系统的单位抽样响应

LSI 3 1 1 ( ) ( 1) ( 2) ( ) ( 1) 4 8 3 ( ) ( ) 1 2 3 y n y n y n x n x n x n y n        例：已知离散 系统的差分方程： 其中： 为输入， 为输出。 ）求系统函数，指出系统的零极点； ）若该系统是因果稳定的，指出系统的收敛域； ）求该因果稳定系统的单位抽样响应

解:1)对差分方程两边取z变换: Y(二) 3Y(z)+azY(=)=X(x)+2X(z) 8 系统函数: ()=1(=)1k 1+ X(z 1--z-1+-z 零点 0极点 3 24 jIm[z 2)由于系统为因果稳定系统, 1/3 Rely 故收敛域: 0.2 2

解：1）对差分方程两边取z变换： 3 1 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 8 3 Y z z Y z z Y z X z z X z        1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ( ) 3 3 ( ) ( ) 3 1 1 1 1 1 1 4 8 2 4 z z Y z H z X z z z z z                         1 1 1 , 0 , 3 2 4 零点：z   极点：z  系统函数： 2 1 2 z  ）由于系统为因果稳定系统， 故收敛域： Re[z] jIm[z] 0 0.5 0.25 1 1/ 3

3)对H(z)求z反变换即得单位抽样响应h(m) 用部分分式法 1+ H(=)= 4 2 4 H 4 H 10 A= Res

  1 1 1 1 3 1 1 3 1 1 1 1 2 4 1 1 2 4 z z H z z z z z z                                      1 2 1 3 1 1 1 1 2 4 2 4 z H z A A z z z z z                          1 1 2 1 2 1 1 10 3 2 1 1 3 2 4 z z z H z A Res z z  z z                             3) 对H(z)求z反变换即得单位抽样响应h(n)， 用部分分式法

H A= Res 4 10 圆∴h(=)=-3 4 根据Roc:|>,查表2-1得 10(17 h(n) 3(2)3(4

  2 1 4 1 4 1 1 7 3 4 1 1 3 2 4 z z z H z A Res z z  z z                              10 7 3 3 ( ) 1 1 2 4 z z H z z z      1 : 2-1 2 根据Roc z  ，查表 得   10 1 7 1 ( ) 3 2 3 4 n n h n u n                    

3、系统的频率响应的意义 1)LSI系统对复指数序列的稳态响应: on 0<n<0 y(m)=∑ h(m)e Jo(n-m)=ejon ∑h(m)e n=-00 n=-0 H(e)

3、系统的频率响应的意义 1）LSI系统对复指数序列的稳态响应： ( ) j n x n e n       ( ) ( ) ( ) ( ) j n m j n j m m m y n h m e e h m e              ( ) j n j e H e   