同济大学：《数字信号处理（DSP）》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 z变换（5/6）

Q五、序列下m变换其付称性质 序列的 Fourier变换和反变换: X(eo)=DTFT[x(n)]=2x(n)e jon x(n)=dtFt X(e) X(e Jo) yon 2丌

五 、序列的Fourier变换及其对称性质 序列的Fourier变换和反变换： ( ) [ ( )] ( ) j j n n X e DTFT x n x n e         1 1 ( ) [ ( )] ( ) 2 j j j n x n DTFT X e X e e d            

若序列Xm)绝对可和,即 ∑x(n)e-m-2k(m)|<∞ 则其 Fourie变换k(e)存在且连续,是序 列的z变换在单位圆上的值: X(e0)=X()=m=∑x-m

若序列x(n)绝对可和，即 ( ) ( ) j n n n x n e x n            则其Fourier变换 存在且连续，是序 列的z变换在单位圆上的值： ( ) j X e  ( ) ( ) j ( ) j j n z e n X e X z  x n e         

若序列的 Fourier变换X(e)存在且连续, 且是其变换在单位圆上的值,则序列 x(n)定绝对可和,将X(e)展成 Fourier 级数,其系数即为x(n x(n) X(z)zdz 27j 1 X(eo )e o(n J lx(e"°)e 27j X(ee da

若序列的Fourier变换 存在且连续， 且是其z变换在单位圆上的值，则序列 x(n)一定绝对可和，将 展成Fourier 级数，其系数即为x(n)： ( ) j X e  ( ) j X e  1 1 1 ( ) ( ) 2 n z x n X z z dz  j     1 ( 1) ( ) 2 j j n j X e e de j           1 ( 1) ( ) 2 j j n j X e e je d j            1 ( ) 2 j j n X e e d         

Q序列的me变换的对称性质 定义: 共轭对称序列:x(m)=x2(-m) 共轭反对称序列:xn(m)=-x2(-n) 任意序列可表示成x(n)和x(n)之和 x(n)=x(n)+x(n) 其中:x(n)=[x(m)+x(-m) x(n)=-X(n)-x(-n

序列的Fourier变换的对称性质 定义： 共轭对称序列： * ( ) ( ) e e x n  x n * ( ) ( ) o o x n  x n ( ) ( ) ( ) e o x n  x n  x n 共轭反对称序列： 任意序列可表示成xe(n)和xo(n)之和: 1 * ( ) [ ( ) ( )] 2 e x n  x n  x n 1 * ( ) [ ( ) ( )] 2 o x n  x n  x n 其中：

同样,ⅹ(n)的 Fourier变换Y(e/)也可分解成 (e)=X(e)+X0(e/0) 其中 X(e10)=X(e)=X(e)+X(e) X(e)=-X(e)=[X(e)-X(e)

* 1 * ( ) ( ) [ ( ) ( )] 2 j j j j X e e e X e X e X e          * 1 * ( ) ( ) [ ( ) ( )] 2 j j j j X o o e X e X e X e           其中： ( ) j X e  ( ) ( ) ( ) j j j X e o e X e X e      同样，x(n)的Fourier变换 也可分解成：

Q对称性质 序列 Fourier变换 X(e) Rex(nI X(e) jIm[x(n) X(e") Relx(e o)l x,(n) jImlX(e)

对称性质 序列 Fourier变换 ( ) ( ) j x n X e  Re[ ( )] ( ) j e x n X e  Im[ ( )] ( ) j o j x n X e  ( ) Re[ ( )] j e x n X e  ( ) Im[ ( )] j o x n j X e 

Q实数序列的对称性质 序列 Fourier变换 Relx(n) X2(e)=X(e) jInx(n=o X(e)=0 Relx(e ) xo (n) jIm[X(e)

实数序列的对称性质 序列 Fourier变换 Re[ ( )] ( ) ( ) j j e x n X e X e    Im[ ( )] 0 ( ) 0 j o j x n X e    ( ) Re[ ( )] j e x n X e  ( ) Im[ ( )] j o x n j X e 

实数序列的 Fourier变换满足共轭对称性 X(e0)=X2(e)=X(e) 实部是o的偶函数Re[X(e)]=Re[X(e) 虚部是o的奇函数Im[X(e)=-Im[X(e) 幅度是o的偶函数X(em)=|X(em 幅角是o的奇函数arg(em)=-arg[Y(e)

* ( ) ( ) ( ) j j j X e e X e X e       实数序列的Fourier变换满足共轭对称性 Re[ ( )] Re[ ( )] j j X e X e     Im[ ( )] Im[ ( )] j j X e X e      实部是ω的偶函数 虚部是ω的奇函数 ( ) ( ) j j X e X e     arg[ ( )] arg[ ( )] j j X e X e      幅度是ω的偶函数 幅角是ω的奇函数