同济大学：《数字信号处理（DSP）》课程教学资源（PPT课件讲稿）第一章 离散时间信号与系统（4/4）

Q,连续间信号的样 →>x 当→>0 x(t)=x(1)·Pn() (t)=x(1)·O7() 02 0A 10 04 n

四、连续时间信号的抽样 ( ) ˆ ( ) a a x t  x t ˆ ( ) ( ) ( ) a a T x t  x t  p t 0 ˆ ( ) ( ) ( ) a a T x t x t t      当

Q讨论: ◆采样前后信号频谱的变化 ◆什么条件下,可以从采样信号不失真地 恢复出原信号

讨论： ¨ 采样前后信号频谱的变化 ¨ 什么条件下，可以从采样信号不失真地 恢复出原信号

1、理想抽样r→0 冲激函数:8(0)=∑6(-m7 理想抽样输出: ()=x()6()=∑ xa(mr)8(t-mT) h=-0 求理想抽样的频谱x2(j2)

1、理想抽样 冲激函数： ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a T a m x t x t  t x mT  t mT          0 ˆ ( ) Xa 求理想抽样的频谱 j ( ) ( ) T m  t  t mT      理想抽样输出：

Xa(Q2)=DTFTIxa (()]=xa(t)e 2丌 文(92)=D7F[合 △7(12)=D7FT[d1() ∑ 32[X(92)*A(2) ∫=。Xa(j(12-j)d0 24(22x5(2-A2-0 T T ∑X2(-jg2,)

1 ( ) ( ) 2 Xa T j j j d         2 ( ) [ ( )] ( ) T T s k j DTFT t k T              1 ˆ ( ) [ ˆ ( )] [ ( )* ( )] 2 Xa a a T j DTFT x t X j j        1 2 [ ( ) ( ) ] 2 a s k X j k d T                  1 ( ) ( ) a s k X j k d T                1 ( ) a s k X j jk T        ( ) [ ( )] ( ) j t Xa a a j DTFT x t x t e dt        

ikOt 单9,=2n为级数的基频,f=为采样频率 T TJ-T2 T ∫∑0-m) d(te sdt 6()=∑ j231 T 其频谱:4(A9)=DF(切)=r∑DFI|e j231 (g2-{g2 2丌 T ∑2z6(g2-kg2,)=n∑ 6(g2-kg) k: T

( ) 2 1 s jk t T k k s s t A e f T T           其中: 为级数的基频， 为采样频率 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) s s T T jk t jk t k T T T m A t e dt t mT e dt T T               系数   : 1 ( ) [ ( )] [ ] s jk t T T k j DTFT t DTFT e T     其频谱：     1 2 2 ( ) ( ) s s k k k k T T                  2 2 1 1 ( ) s T jk t T t e dt T T        1 ( ) s jk t T k t e T        1 1 ( ) s s jk t j t j k t k k e e dt e dt T T                     

◆抽样信号的频谱是模拟信号频谱以抽样 频率为周期进行周期延拓而成 ◆频谱幅度是原信号频谱幅度的1/倍 ◆若信号的最高频率 Q 为折叠频率 10 则延拓分量产生 频谱混叠 0

¨ 抽样信号的频谱是模拟信号频谱以抽样 频率为周期进行周期延拓而成 ¨ 频谱幅度是原信号频谱幅度的1/T倍 ¨ 若信号的最高频率 2 2 s h s     ， 为折叠频率 则延拓分量产生 频谱混叠

奈奎斯特抽样定理 要想抽样后能够不失真地还原出原 信号,则抽样频率必须大于两倍信 号谱的最高频率 2,>2g即f>2f

奈奎斯特抽样定理 要想抽样后能够不失真地还原出原 信号，则抽样频率必须大于两倍信 号谱的最高频率 2 2 s h s h    即f  f

Q2、抽样的恢复 利用低通滤波器还原满足奈奎斯特抽样定 理的抽样信号。 X(9) Ya(Q2) HLj 理想低通滤波器 ↑H() H(Q) 0o/、9 2/209229 Y(j)=X(j2)·H(192)=Xa(92)

2、抽样的恢复 利用低通滤波器还原满足奈奎斯特抽样定 理的抽样信号。 2 ( ) 0 2 s s T H j              -Ωs /2 Ωs /2 Ω T 0 H(jΩ) H[jΩ] ˆ ( ) Xa j ( ) Ya j 理想低通滤波器: ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) Ya a a j  X j  H j  X j

讨论x(1)→>x2(t) HOS jQ2t 2丌 T sin(st) sin(t) 输出;y()=x(0)=丁x(m)(-dr ∫「∑x()6(z-mm)W(=)dr ∑Jx,()(-t)(-mT)dr = sin(t-mT) ∑x(m)h(t-m7)=∑ =-00 xa(m1兀(t-m 7)

ˆ ( ) ( ) a a x t  x t 1 ( ) ( ) 2 j t h t H j e d         ( ) ( ) ˆ ( ) ( ) a a a y t x t x  h t  d       sin[ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) a a m m t mT T x mT h t mT x mT t mT T              sin( ) sin( ) 2 2 2 s s s j t s t t T T e d t t T              [ ( ) ( )] ( ) a m x    mT h t  d          ( ) ( ) ( ) a m x  h t    mT d          输出： 讨论

sin(t-mT) 内插函数:h(t-mT) (t-mT) sin x/T(t-mTI (t-nn x(t mT (m-2)T(m-1)T(m+1)T(m+2)T 内插函数 0 2T 3T 抽样的内查恢复 信号的抽样值x2(m7)经内插函数得到连续信号x(t)

( ) ( ) a a 信号的抽样值x mT 经内插函数得到连续信号x t sin[ ( )] ( ) ( ) t mT T h t mT t mT T       内插函数：